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2的12次方根2的12次方根 |
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識別 |
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種類 | 無理數 |
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符號 | ![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc835f27425fb3140e1f75a5faa35b1e8b9efc35) |
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位數數列編號 | A010774 |
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性質 |
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連分數 | [1; 16, 1, 4, 2, 7, 1, 1, 2, 2, 7, 4, 1, 2, 1, 60, 1, 3, 1, 2] |
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以此為根的多項式或函數 | ![{\displaystyle x^{12}-2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bbff4363bb1296711f4a80713e4092d4930737) |
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表示方式 |
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值 | 1.05946309... |
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二进制 | 1.00001111001110001111100100101101… |
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十进制 | 1.05946309435929526456182529494634… |
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十六进制 | 1.0F38F92D97962CBCB533704A0D391B84… |
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2的12次方根是一個代數無理數,計為
或
,是方程式
的正實根。它是音樂理論中的一個重要常數,它代表了十二平均律中半音的頻率比。
的近似值為1.0594630943593,其值略高於
[1] ≈ 1.0588。更好的近似值為
≈ 1.059459或
≈ 1.0594630948。
- 方程式
的正實根
- 超體積為2的12維超立方體之邊長
- 其值約為1.0594630943593 (OEIS數列A010774)
- 其連分數為:
(OEIS數列A103922)
因為音程是頻率的比例,等於平均律半音音階劃分八度(具有2:1的比例)成12等份。
利用此比值,以半音音階的音調從最接近且高於中央C的A以頻率440開始,產生音高的順序與波的頻率如下:
音符
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頻率 Hz
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倍率
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係數 (六處)
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A |
440.00 |
20/12 |
1.000000
|
A♯/B♭ |
466.16 |
21/12 |
1.059463
|
B |
493.88 |
22/12 |
1.122462
|
C |
523.25 |
23/12 |
1.189207
|
C♯/D♭ |
554.37 |
24/12 |
1.259921
|
D |
587.33 |
25/12 |
1.334839
|
D♯/E♭ |
622.25 |
26/12 |
1.414213
|
E |
659.26 |
27/12 |
1.498307
|
F |
698.46 |
28/12 |
1.587401
|
F♯/G♭ |
739.99 |
29/12 |
1.681792
|
G |
783.99 |
210/12 |
1.781797
|
G♯/A♭ |
830.61 |
211/12 |
1.887748
|
A |
880.00 |
212/12 |
2.000000
|
最終的A(880 Hz)的頻率為初始的A(440 Hz)的兩倍,也就是說,他們差了八度。
由於一個半音的頻率比接近106%,一個錄音的播放速度增加或減慢6%將會使音高向上或向下一個半音移位“半步”。
- ^ 卓仁祥《从文化角度看十二平均律的发现》美国TEXAS大学
- Barbour, J.M.. A Sixteenth Century Approximation for Pi, The American Mathematical Monthly, Vol. 40, no. 2, 1933. Pp. 69–73.
- Ellis, Alexander and Hermann Helmholtz. On the Sensations of Tone. Dover Publications, 1954. ISBN 0-486-60753-4
- Partch, Harry. Genesis of a Music. Da Capo Press, 1974. ISBN 0-306-80106-X