截線定理ていり

截線定理ていり（英語えいご：Intercept theorem），是ぜ平面へいめん幾何きか中なか的てき基本きほん定理ていり之の一いち。截線定理ていり說明せつめい，平面へいめん上うえ的てき一いち個こ三角形さんかっけい中なか，若わか在ざい其中一いち條じょう腰こし的てき中點ちゅうてん作さく一いち條じょう直線ちょくせん，與あずか其底邊べ平行へいこう，則のり該線穿ほじ過か另一いち條じょう腰こし的中てきちゅう點てん。這定理ていり可か推廣到いた梯形ていけい上うえ，以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理ていり與あずか另外兩りょう條じょう幾何きか定理ていり中點ちゅうてん定理ていり和わ等比とうひ定理ていり有ゆう密みつ切きり關係かんけい。

定理ていり

截線定理ていり的てき最さい基本きほん形式けいしき是ぜ在ざい三角形さんかっけい上じょう的てき應用おうよう。

圖ず中有ちゅうう三角形さんかっけい $ABC$ ，作さく一いち條じょう直線ちょくせん $DE$ 與あずか底邊ていへん $AB$ 平行へいこう。

截線定理ていり說明せつめい，若わか $AD=DC$ ，則のり $BE=EC$ 。

換かわ句く話はなし說せつ， $DE$ 是ぜ三角形さんかっけい $ABC$ 的てき中位ちゅうい線せん。

這定理ていり能のう簡單かんたん推廣到いた梯形ていけい上じょう應用おうよう。

圖ず中有ちゅうう梯形ていけい $FGIH$ ，其中 $FG\parallel HI$ 。作さく一いち條じょう直線ちょくせん $JK$ 與あずか上底あげぞこ $HI$ 和わ下か底そこ $FG$ 平行へいこう。

截線定理ていり說明せつめい，若わか $FJ=JH$ ，則のり $GK=KI$ 。

同樣どうよう地ち， $JK$ 是ぜ梯形ていけい $FGIH$ 的中てきちゅう位い線せん。

一般いっぱん化か定理ていり

對たい於平行へいこう線せん將はた腰こし分割ぶんかつ成なり任意にんい比例ひれい的てき情じょう形がた，一般化截線定理則給出，左右さゆう兩りょう條じょう腰こし的てき分割ぶんかつ比例ひれい相等そうとう。

在ざい上うえ圖ず的てき三角形さんかっけい $ABC$ 中なか，若わか $DE\parallel AB$ ，則のり有ゆう ${\frac {AD}{DC}}={\frac {BE}{EC}}$ 。

同樣どうよう地ち，在ざい梯形ていけい $FGIH$ ，若わか $JK\parallel FG\parallel HI$ ，則のり有ゆう ${\frac {FJ}{JH}}={\frac {GK}{KI}}$ 。

證明しょうめい

這定理ていり能のう以相似そうじ三角形さんかっけい簡單かんたん證明しょうめい。

考慮こうりょ上じょう圖ず的てき $\Delta ABC$ 和わ $\Delta DEC$ 。由よし於

$\angle ACB=\angle DCE$ （公共こうきょう角かく）
$\angle CAB=\angle CDE$ （平行へいこう線せん的てき同位どうい角かく）
$\angle CBA=\angle CED$ （平行へいこう線せん的てき同位どうい角かく）

所以ゆえん $\Delta ABC\sim \Delta DEC$ 。（等角とうかく）

由よし此可得とく ${\frac {AC}{DC}}={\frac {BC}{EC}}$ 。（相似そうじ三角形さんかっけい的てき對應たいおう邊べ）

因いん此 ${\frac {AD}{DC}}={\frac {BE}{EC}}$ 。

證あかし畢。

對たい於梯形がた的てき情況じょうきょう，考慮こうりょ梯形ていけい $FGIH$ ，在ざい $I$ 上作じょうさく一直線いっちょくせん，與あずか $FH$ 平行へいこう，並なみ與あずか $JK$ 和わ $FG$ 分別ふんべつ相しょう交於 $L$ 和わ $M$ 。

由よし定義ていぎ可知かち， $FMLJ$ 和わ $JLIH$ 是これ平行四邊形へいこうしへんけい。

因いん此 $FJ=ML$ 及 $JH=LI$ 。（平行四邊形へいこうしへんけい的てき對邊たいへん）

上面うわつら已やめ證明しょうめい，由ゆかり $JK\parallel FG$ ，可知かち ${\frac {ML}{LI}}={\frac {GK}{KI}}$ 。

代入だいにゅう可か得とく ${\frac {FJ}{JH}}={\frac {GK}{KI}}$ 。

證あかし畢。

參まいり見み

参考さんこう来らい源げん

Schupp, H. Elementargeometrie. UTB Schöningh. 1977: 124–126. ISBN 3-506-99189-2 （德とく语）.
Leppig, Manfred. Lernstufen Mathematik. Girardet. 1981: 157–170. ISBN 3-7736-2005-5 （德とく语）.
Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas. Elementary Geometry. AMS. 2008: 10–13, 16–18 [2018-04-14]. ISBN 0-8218-4347-8. （原始げんし内容ないよう存そん档于2022-06-01）（英えい语）.
Stillwell, John. The Four Pillars of Geometry. Springer. 2005: 34 [2018-04-14]. ISBN 978-0-387-25530-9. （原始げんし内容ないよう存そん档于2022-06-01）（英えい语）.
Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard. Geometry by Its History. Springer. 2012: 3–7 [2018-04-14]. ISBN 978-3-642-29163-0. （原始げんし内容ないよう存そん档于2022-06-01）（英えい语）.

外部がいぶ链接

截线定理ていり（PlanetMath）（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
Alexander Bogomolny: Thales' Theorems （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） and in particular Thales' Theorem （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） at Cut-the-Knot