線せん性せい無關むせき

在ざい線せん性せい代數だいすう裡うら，向むかい量りょう空間くうかん的てき一いち組くみ元素げんそ中ちゅう，若わか沒ぼつ有ゆう向むかい量りょう可用かよう有限ゆうげん個こ其他向こう量的りょうてき線せん性せい組合くみあい所ところ表示ひょうじ，则稱為ため線せん性せい無關むせき或ある線せん性せい獨立どくりつ（linearly independent），反たん之の稱たたえ為ため線せん性せい相關そうかん（linearly dependent）。例れい如在三さん維歐おう幾里いくさと得とく空間くうかんR³的てき三さん個こ向むこう量りょう(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和かず(0, 0, 1)線せん性せい無關むせき。但ただし(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和かず(3, −1, 2)線せん性せい相關そうかん，因いん為ため第だい三さん個こ是ぜ前ぜん兩個りゃんこ的てき和わ。

定義ていぎ

假設かせつV是ぜ在ざい域いきK上うえ的てき向むこう量りょう空間くうかん。如果$\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$是これV的まと向むこう量りょう，若わか它們為ため線せん性せい相關そうかん，则在域いきK 中有ちゅうう非ひ全ぜん零れい的てき元素げんそ$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$，使つかい得とく

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$；

或ある更さら簡略かんりゃく地ち表示ひょうじ成なり，

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0}$。

（注意ちゅうい右邊うへん的てき零れい是ぜV的てき零れい向こう量りょう，不ふ是ぜK的てき零れい元素げんそ。）

如果K中ちゅう不ふ存在そんざい這樣的てき元素げんそ，那な麼$\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$是これ線せん性せい無關むせき。

對たい線せん性せい無關むせき可か以給出で更さら直接的ちょくせつてき定義ていぎ。向むこう量りょう$\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$線せん性せい無關むせき，若わか且唯若わか它們滿足まんぞく以下いか條件じょうけん：如果$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$是これK的てき元素げんそ，適合てきごう：

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$，

那な麼對所有しょゆう$i=1,2,\dots ,n$都みやこ有ゆう$a_{i}=0$。

在ざいV中なか的てき一いち個こ無限むげん集しゅう，如果它任何なん一個有限子集都是線性無關，那な麼原來らい的てき無限むげん集しゅう也是線せん性せい無關むせき。

線せん性せい相關そうかん性せい是ぜ線せん性せい代數だいすう的てき重要じゅうよう概念がいねん，因いん為ため線せん性せい無關むせき的てき一組向量可以生成一個向量空間，而這組ぐみ向むこう量りょう則そく是ぜ這向量りょう空間くうかん的てき基もと。

相關そうかん性せい

• 含有がんゆう零れい向こう量的りょうてき向こう量りょう組ぐみ，必定ひつじょう線せん性せい相關そうかん。

若わか有向ゆうこう量りょう組ぐみ$a_{1},a_{2},...,a_{s}$，其中$a_{1}=0$，則のり$a_{1}=0\cdot a_{2}+...+0\cdot a_{s}$。

• 含有がんゆう兩個りゃんこ相等そうとう向こう量的りょうてき向こう量りょう組ぐみ，必定ひつじょう線せん性せい相關そうかん。

若わか有向ゆうこう量りょう組ぐみ$a_{1},a_{2},...,a_{s}$，其中$a_{1}=a_{2}$，則のり$a_{1}=1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+...+0\cdot a_{s}$。

• 若わか一向ひたぶる量りょう組ぐみ相關そうかん，則すなわち加か上じょう任意にんい個こ向むこう量りょう後ご，仍然線せん性せい相關そうかん；即そく局部きょくぶ線せん性せい相關そうかん，整體せいたい必線性せい相關そうかん。
• 整體せいたい線せん性せい無關むせき，局部きょくぶ必線性せい無關むせき。
• 向むかい量りょう個數こすう大だい於向量りょう維數，則のり此向量りょう組ぐみ線せん性せい相關そうかん。
• 若わか一向量組線性無關，即そく使し每ごと一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線せん性せい無關むせき。
• 若わか一向ひたぶる量りょう組ぐみ線せん性せい相關そうかん，即そく使つかい每ごと一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線せん性せい相關そうかん。
• 若わか$a_{1},a_{2},...,a_{s}$線せん性せい無關むせき，而$b,a_{1},a_{2},...,a_{s}$線せん性せい相關そうかん，則のり$b$必可由ゆかり$a_{1},a_{2},...,a_{s}$線せん性せい表示ひょうじ，且表示ひょうじ係數けいすう唯一ゆいいつ。
• 有向ゆうこう量りょう組ぐみ${\textrm {I}}\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}$和わ${\textrm {II}}\{b_{1},b_{2},...,b_{t}\}$，其中$t>s$，且${\textrm {II}}$中ちゅう每まい個こ向むこう量りょう都と可か由ゆかり${\textrm {I}}$線せん性せい表示ひょうじ，則のり向むこう量りょう組ぐみ${\textrm {II}}$必線性せい相關そうかん。即そく向こう量りょう個こ數多すうた的てき向こう量りょう組ぐみ，若わか可か被ひ向むこう量りょう個數こすう少しょう的てき向こう量りょう組ぐみ線せん性せい表示ひょうじ，則のり向むこう量りょう個こ數多すうた的てき向こう量りょう組ぐみ必線性せい相關そうかん。
• 若わか一向ひたぶる量りょう組ぐみ$b_{1},b_{2},...,b_{t}$可か由よし向むこう量りょう組ぐみ$a_{1},a_{2},...,a_{s}$線せん性せい表示ひょうじ，且$b_{1},b_{2},...,b_{t}$線せん性せい無關むせき，則のり$t\leq s$。即そく線せん性せい無關むせき的てき向こう量りょう組ぐみ，無法むほう以向量りょう個數こすう較少的てき向こう量りょう組ぐみ線せん性せい表示ひょうじ。

例れい子こ1

设V = Rⁿ，考こう虑V内的ないてき以下いか元素げんそ：

${\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}$

则e₁、e₂、……、e_n是ぜ线性无关的てき。

证明

假かり设a₁、a₂、……、a_n是これR中なか的てき元素げんそ，使つかい得とく：

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!$

由よし于

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!$

因いん此对于{1, ..., n}内的ないてき所有しょゆうi，都みやこ有ゆうa_i = 0。

例れい子こ2

设V是ぜ实变量りょうt的てき所有しょゆう函数かんすう的てき向むかい量りょう空そら间。则V内的ないてき函数かんすうe^t和わe^2t是ぜ线性无关的てき。

证明

假かり设a和わb是ぜ两个实数，使つかい得とく对于所有しょゆう的てきt，都みやこ有ゆう：

ae^t + be^2t = 0

我わが们需要よう证明a = 0且b = 0。我わが们把等式とうしき两边除じょ以e^t（它不能ふのう是ぜ零れい），得とく：

be^t = −a

也就是ぜ说，函数かんすうbe^t与あずかt一定いってい是ぜ独立どくりつ的てき，这只能のう在ざいb = 0时出现。可か推出a也一定いってい是ぜ零れい。

例れい子こ3

R⁴内的ないてき以下いか向むこう量りょう是ぜ线性相しょう关的。

${\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\\\\\end{matrix}}$

证明

我わが们需要求ようきゅう出で标量$\lambda _{1}$、$\lambda _{2}$和わ$\lambda _{3}$，使つかい得とく：

${\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}$

可か以形成けいせい以下いか的てき方かた程ほど组：

${\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned}}$

解かい这个方かた程ほど组（例れい如使用しよう高こう斯消元もと法ほう），可か得とく：

${\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda _{1}\\\lambda _{2}&=(-\lambda _{1})/3\\\lambda _{3}&=(-2\lambda _{1})/3.\\\end{aligned}}$

由よし于它们都是ぜ非ひ平凡へいぼん解かい，因いん此这些向量りょう是ぜ线性相しょう关的。

参考さんこう文献ぶんけん

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.