欧おう几里得とく空そら间

三维欧几里得空间中的每个点由三个坐标确定。

欧おう几里得とく空そら间是ぜ在ざい约公元もと前まえ300年ねん，由ゆかり古希こき腊数学すうがく家か欧おう几里得とく建立こんりゅう的てき角かく和わ空そら间中なか距离之これ间联系けい的てき法ほう则。欧おう几里得とく首くび先さき开发了りょう处理平面へいめん上じょう二に维物体ぶったい的てき“平面へいめん几何”，他た接着せっちゃく分析ぶんせき三さん维物体ぶったい的てき“立体りったい几何”，所有しょゆう欧おう几里得とく的てき公理こうり在ざい幾何きか原本げんぽん中ちゅう都と有ゆう所しょ體現たいげん。

这些数学すうがく空そら间可以被扩展来らい应用于任何なん有限ゆうげん维度，而这种空间叫做 n维欧几里得とく空そら间（甚至简称 $n$ 维空间）或ある有限ゆうげん维实内ない积空间。

这些数学すうがく空そら间还可か被ひ扩展到いた任意にんい维的情じょう形がた，称しょう为实内うち积空间（不ふ一定いってい完かん备）， 希まれ尔伯特とく空そら间在ざい高等こうとう代数だいすう教科きょうか书中也被称しょう为欧几里得とく空そら间。 为了开发更さら高だか维的欧おう几里得とく空そら间，空そら间的性せい质必须非常ひじょう仔こ细的表ひょう达并被ひ扩展到いた任意にんい维度。 尽つき管かん结果的てき数学すうがく非常ひじょう抽象ちゅうしょう，它却呈てい现了我わが们熟悉的欧おう几里得とく空そら间的根本こんぽん本ほん质，根本こんぽん性せい质是它的平面へいめん性せい。 另外也存在そんざい其他種類しゅるい的てき空そら间，例れい如球面めん非ひ欧おう几里得とく空そら间，相あい对论所ところ描述的てき四よん维时空在ざい重力じゅうりょく出で现的时候也不是ぜ欧おう几里得とく空そら间。

直ちょく觉概述じゅつ

有ゆう一いち种方法ほう论把欧おう几里得とく平面へいめん看み作さく满足可か依よ据すえ距离和わ角かく表ひょう达的特定とくてい联系的てき点てん所ところ成しげる的てき集合しゅうごう。其一是ぜ平ひら移うつり，它意味いみ着ぎ移うつり动这个平面めん就使得とく所有しょゆう点てん都と以相同どう方向ほうこう移うつり动相同どう距离。其二そのじ是ぜ关于在ざい这个平面へいめん中ちゅう固定こてい点てん的てき旋转，其中在ざい平面へいめん上じょう的てき所有しょゆう点てん关于这个固定こてい点てん旋转相しょう同どう的てき角度かくど。欧おう几里得とく几何的てき一个基本原则是，如果通どおり过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面へいめん的てき两个图形（也就是ぜ子こ集しゅう）应被认为是ぜ等とう价的（全ちょん等ひとし）。（参まいり见欧おう几里得とく群ぐん）。

为了使し这些在ざい数学すうがく上じょう精せい确，必须明あかり确定义距离、角すみ、平たいら移うつり和わ旋转的てき概念がいねん。标准方式ほうしき是ぜ定てい义欧几里得とく平面へいめん为装备了内うち积的てき二に维实数的てき向むかい量りょう空そら间。有ゆう着ぎ:

• 在ざい这个向むこう量りょう空そら间中的てき向むかい量りょう对应于在欧おう几里得とく平面へいめん中ちゅう的てき点てん，
• 在ざい向むこう量りょう空そら间中的てき加法かほう运算对应于平移うつり，
• 内うち积蕴涵了角かく和わ距离的てき概念がいねん，它可被ひ用よう来き定てい义旋转。

一旦欧几里得平面用这种语言描述了，扩展它的概念がいねん到いた任意にんい维度就是简单的てき事情じじょう了りょう。对于大だい多数たすう部分ぶぶん，词汇、公式こうしき、和かず计算对更高だか维的出で现不造成ぞうせい任にん何なに困こま难。（但ただし是ぜ，旋转在高ありだか维中是非ぜひ常つね微妙びみょう，而高维空间的可か视化仍很困难，即そく使つかい对有经验的てき数学すうがく家か也一样）。

欧おう几里得とく空そら间的最さい后きさき问题是ぜ它在技わざ术上不ふ是ぜ向むこう量りょう空そら间，而是向むこう量りょう空そら间作用さよう于其上じょう仿射空そら间。直ちょく觉上，区く别在于对于原点げんてん应当位い于这个空间的什么地方ちほう没ぼつ有ゆう标准选择，因いん为它可か以到处移动。这种技わざ术本文中ぶんちゅう很大程度ていど上じょう被ひ忽ゆるがせ略りゃく了りょう。

實數じっすう坐すわ標しるべ空間くうかん

以$\mathbb {R}$表示ひょうじ實數じっすう域いき。對たい任意にんい一いち個こ正せい整數せいすうn，實數じっすう的てきn元もと組くみ的てき全體ぜんたい構成こうせい了りょう$\mathbb {R}$上うえ的てき一いち個こn維度向むかい量りょう空間くうかん，用よう$\mathbb {R} ^{n}$來らい表示ひょうじ。有ゆう時じ稱しょう之の為ため實數じっすう坐すわ標しるべ空間くうかん。

$\mathbb {R} ^{n}$中なか的てき元素げんそ寫うつし作さく$X=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$，这裡的てき$x_{i}$都みやこ是ただし實數じっすう。$\mathbb {R} ^{n}$作為さくい向こう量りょう空間くうかん，其運算うんざん是ぜ這樣定義ていぎ的てき：

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

$a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n})$

通常つうじょう引入實數じっすう坐すわ標しるべ空間くうかん$\mathbb {R} ^{n}$的てき標準ひょうじゅん正せい交基：

$\mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0)$

$\mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0)$

$\vdots$

$\mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1)$

於是$\mathbb {R} ^{n}$中ちゅう任意にんい的てき向むこう量りょう可か以表示ひょうじ成なり下面かめん的てき形式けいしき：

$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}$

n維實數すう坐すわ標しるべ空間くうかん是ぜ實みn維向量りょう空間くうかん的てき原型げんけい。事實じじつ上じょう，每まい一いち个n維向量りょう空間くうかん$V\$都と可か以看作さく實數じっすう坐すわ標しるべ空間くうかん——$V\$與あずか$\mathbb {R} ^{n}$是これ同どう構的てき（isomorphic）。不ふ過か這個同どう構不是ぜ正則せいそく（Canonical）的てき，每まい個こ同どう構的選擇せんたく都と相當そうとう於在$V\$中ちゅう選擇せんたく了りょう一いち組くみ基もと（即そく$\mathbb {R} ^{n}$的てきn個こ标准基もと在ざい$V\$中なか的てき同どう構像ぞう）。我わが們有時候じこう只ただ着眼ちゃくがん於任意にんいn維向量りょう空間くうかん而不是ぜ具體ぐたい的てき$\mathbb {R} ^{n}$，這是因いん為ため不ふ希望きぼう為ため坐すわ標的ひょうてき概念がいねん所しょ束縛そくばく（即そく，有ゆう時候じこう不ふ必選擇せんたく$V\$中ちゅう特定とくてい的てき一いち組くみ基もと）。

歐おう幾里いくさと得どく結構けっこう

至いたり於歐幾里いくさと得とく空間くうかん，則のり是ぜ在ざい$\mathbb {R} ^{n}$上うえ再さい添加てんか一いち些內容よう：歐おう幾里いくさと得どく結構けっこう。
為ため了りょう做歐おう氏し幾何きか，人にん们希望きぼう能のう討論とうろん兩りょう點てん間あいだ的てき距離きょり，直線ちょくせん或ある向こう量りょう間あいだ的てき夾角。一いち個こ自然しぜん的てき方法ほうほう是ぜ在ざい$\mathbb {R} ^{n}$上うえ，對たい任意にんい兩個りゃんこ向むこう量りょう$\mathbf {x}$、$\mathbf {y}$，引入它們的てき「標準ひょうじゅん內積」$<\mathbf {x} ,\mathbf {y} >$（一些文獻上稱為點てん積せき，記き為ため$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y}$）：

$<\mathbf {x} ,\mathbf {y} >=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$。

也就是ぜ說せつ，$\mathbb {R} ^{n}$中なか的てき任意にんい兩個りゃんこ向むこう量りょう對應たいおう着ぎ一いち個こ實數じっすう值。 我わが們把$\mathbb {R} ^{n}$及這樣さま定義ていぎ的てき內積，稱たたえ為ため$\mathbb {R} ^{n}$上うえ的てき歐おう幾里いくさと得どく結構けっこう；此時的てき$\mathbb {R} ^{n}$也被稱しょう為ためn維歐幾里いくさと得とく空間くうかん，內積"<,>"稱たたえ為ため歐おう氏し內積。

利用りよう這個內積，可か以建立こんりゅう距離きょり、長なが度たび、角度かくど等とう概念がいねん：

• 向むかい量りょう$\mathbf {x}$的まと長ちょう度ど：

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {<\mathbf {x} ,\mathbf {x} >}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}$

這裡的てき長ちょう度ど函数かんすう滿足まんぞく範はん數すう所ところ需的性質せいしつ，故こ又また稱しょう為ため$\mathbb {R} ^{n}$上うえ的てき歐おう氏範うじのり數すう。

• $\mathbf {x}$和わ$\mathbf {y}$所ところ夾的內角以下いか列れつ式子しょくし给出

$\theta =\cos ^{-1}\left({\frac {<\mathbf {x} ,\mathbf {y} >}{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)$

這裡的てき$\cos ^{-1}$為ため反はん餘弦よげん函數かんすう。

• 最さい后きさき，可か以利用よう歐おう氏範うじのり數すう來らい定義ていぎ$\mathbb {R} ^{n}$上うえ的てき距離きょり函數かんすう，或ある稱しょう度量どりょう：

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$。

這個距離きょり函數かんすう稱たたえ為ため歐おう幾里いくさと得度とくど量りょう，它可以看作さく勾股定理ていり一種いっしゅ形式けいしき。

這裡的てき$\mathbb {R} ^{n}$僅指實數じっすう向むこう量りょう空間くうかん，而加入かにゅう了りょう如上じょじょう定義ていぎ的てき歐おう幾里いくさと得とく結構けっこう後ご才ざい稱たたえ為ため歐おう氏し空間くうかん；有ゆう些作者しゃ會かい用よう符號ふごう$\mathbb {E} ^{n}$來らい標記ひょうき之の。歐おう氏し結構けっこう使つかい$\mathbb {E} ^{n}$具有ぐゆう這些空間くうかん結構けっこう：內積空間くうかん、希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん、賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん以及度量どりょう空間くうかん。

欧おう氏し拓ひらけ扑

因いん为欧氏し空そら间是一いち个度量どりょう空そら间，因いん此也是ぜ一个具有由度量推导出的自然拓扑的拓つぶせ扑空间。$\mathbb {E} ^{n}$上うえ的てき度量どりょう拓つぶせ扑被称しょう为是欧おう氏し拓ひらけ扑。欧おう氏し拓ひらけ扑中的てき集しゅう是ぜ开的てき当とう且仅当とう它包含ほうがん了りょう该集的てき每ごと一いち点てん周しゅう边的开球。可か以证明あきら，欧おう氏し拓ひらけ扑等价于$\mathbb {R} ^{n}$上うえ的てき积拓扑。

关于$\mathbb {R} ^{n}$上うえ拓たく扑的一个并不浅显易懂的重要结论是，鲁伊兹·布ぬの劳威尔的てき区域くいき不ふ变性。任意にんい$\mathbb {R} ^{n}$的てき子こ集しゅう（以及其子こ拓つぶせ扑）与あずか另外一いち个$\mathbb {R} ^{n}$的てき子こ集しゅう同どう胚はい的てき话，那な么这个子集しゅう自己じこ是ぜ开的てき。这个结果的てき一个直接的结论就是$\mathbb {R} ^{m}$与あずか$\mathbb {R} ^{n}$不ふ同どう胚はい，当とう$m\neq n$。

与あずか流りゅう形がた的てき关系

在ざい现代数学すうがく中ちゅう，欧おう几里得とく空そら间形成けいせい了りょう其他更さら加か复杂的てき几何对象的てき原型げんけい。特とく别是流ながれ形がた，它是逻辑上じょう同どう胚はい于欧几里得とく空そら间的豪ごう斯多夫おっと拓つぶせ扑空间。

$n$维欧氏し空そら间是n维流形がた的てき典型てんけい例れい子こ，事こと实上也就是ぜ光ひかり滑すべり流りゅう形がた。对于$n\neq 4$，任意にんい与あずか$\mathbb {R} ^{n}$同どう胚はい的まと可か微ほろn维流形がた，也是微分びぶん同どう胚はい的てき。值得惊奇的てき结果是ぜ，1982年ねん西にし蒙こうむ·唐から纳森证明了りょう对于$n=4$的てき情じょう况不成立せいりつ；其反例れい被ひ称しょう为是怪かいR⁴。

欧おう氏し空そら间也被ひ理解りかい为线性流りゅう形がた。一いち个$\mathbb {R} ^{n}$中なか的てきm维线性せい子こ流りゅう形がた是ぜ一いち个（作さく为仿射空そら间）嵌入かんにゅう其中的てきm维欧氏し空そら间。例れい如，任意にんい高だか维（$n>1$）欧おう氏し空そら间中的てき任意にんい直ちょく线是该空间中的てき一いち个1维线性せい子こ流りゅう形がた。

一般いっぱん的てき说，流りゅう形がた的てき概念がいねん包含ほうがん了りょう欧おう几里得とく几何和わ非ひ欧おう几里得とく几何二に者しゃ。在ざい这个观点上じょう，欧おう几里得とく空そら间的根本こんぽん性せい质为它是平坦へいたん的てき，也就是非ぜひ弯曲的てき。现代物理ぶつり学がく特とく别是相あい对论，展示てんじ我わが们的宇宙うちゅう不ふ是ぜ真正しんせい的てき欧おう几里得とく时空。尽つき管かん这在理り论上甚至在ざい某ぼう些实际问题如全ぜん球たま定位ていい系けい统和わ航空こうくう中ちゅう是ぜ重要じゅうよう的てき，欧おう几里得とく模型もけい仍足够精确的用よう于大多数たすう其他实际问题。

相あい关条目め

• 欧おう几里得とく几何
• 欧おう几里得とく距离
• 閔可夫おっと斯基時空じくう
• 黎はじむ曼几何なに

引用いんよう

• Kelley, John L. General Topology. Springer-Verlag. 1975. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Munkres, James. Topology. Prentice-Hall. 1999. ISBN 978-0-13-181629-9.