弱じゃく可か测函数すう

在ざい数学すうがく中なか，特とく别是泛函分析ぶんせき中なか，如果一いち个在巴ともえ拿赫空そら间中ちゅう取と值的函数かんすう与あずか其所在ざい空そら间的对偶空そら间中なか的てき任意にんい元素げんそ的てき复合是ぜ一般いっぱん（强つよし）意い义下的てき可か测函数すう，则该函数かんすう是ぜ弱じゃく可か测函数すう。 对于可分かぶん空そら间，弱じゃく可か测性和かず强つよし可か测性的てき概念がいねん是ぜ一致いっち的てき。

定てい义

(X,Σしぐま)是ぜ一いち个可か测空间，并且B是これ域いきK（通常つうじょう是ぜ实数空そら间R或ある复数空そら间C）上じょう的てき巴ともえ拿赫空そら间，如果函数かんすうf:X→B满足如下条件じょうけん，对于任意にんい连续线性泛函g:B→K，函数かんすう

$g\circ f\colon X\to \mathbf {K} \colon x\mapsto g(f(x))$

是ぜ关于Σしぐま和わK上うえ一般いっぱん的てき波なみ莱尔σしぐま代数だいすう的てき可か测函数すう，则f被ひ称しょう为是弱じゃく可か测的。

概がい率りつ空そら间上うえ的てき可か测函数すう通常つうじょう被ひ称しょう为随ずい机つくえ变量（或ある随ずい机つくえ向むこう量りょう，如果它在例れい如巴拿赫空そら间B的まと向むこう量りょう空そら间中取と值）。因よし此，作さく为上述じょうじゅつ定てい义的特殊とくしゅ情じょう形がた，如果(Ωおめが,Σしぐま,P)是ぜ一个概率空间，如果函数かんすうZ:Ωおめが→B满足，对于任意にんい连续线性泛函g:B→K，函数かんすう

$g\circ Z\colon \Omega \to \mathbf {K} \colon \omega \mapsto g(Z(\omega ))$

是ぜ在ざい一般意义下的关于Σしぐま和わK上うえ一般いっぱん的てき波なみ莱尔σしぐま代数だいすう的てきK值随机つくえ变量（即そく可か测函数すう），则函数すうZ被ひ称しょう为（B值）弱じゃく随ずい机つくえ变量（或ある弱じゃく随ずい机つくえ向むこう量りょう）。

性せい质

可か测性和わ弱じゃく可か测性之の间的关系由よし如下给出，被ひ称しょう为Pettis定理ていり或あるPettis可か测性定理ていり。

如果存在そんざい子こ集しゅうN⊆X有ゆう测度μみゅー(N)=0使つかい得とくf(X\N)⊆B是ぜ可分かぶん的てき，则函数すうf被ひ称しょう为几乎必然ひつぜん可分かぶん值的（或ある本性ほんしょう可分かぶん值的）。

定理ていり（Pettis）：一いち个函数すうf:X→B定てい义在在ざい测度空そら间(X,Σしぐま,μみゅー)上じょう在ざい巴ともえ拿赫空そら间B中ちゅう取と值，它是（强つよし）可か测的（关于Σしぐま上うえ的てき波なみ莱尔σしぐま代数だいすう）当とう且仅当とう它是弱じゃく可か测的且几乎必然ひつぜん可分かぶん值的。

在ざいB可分かぶん的てき情じょう形がた下か，由ゆかり于可分ぶん巴ともえ拿赫空そら间的任にん何なん子し集しゅう本身ほんみ是ぜ可分かぶん的てき，所以ゆえん可か以取上述じょうじゅつN为空集しゅう，由ゆかり此可知かち当とうB可分かぶん时弱可か测性和かず强つよし可か测性的てき概念がいねん一致いっち。

参まいり见

• 博ひろし赫纳可か测函数すう
• 博ひろし赫纳积分
• 佩蒂斯积分ぶん
• 向むかい量りょう值测度ど