迹类算さん子こ

在ざい数学すうがく中なか，迹类算さん子こ（英語えいご：Trace class）是ぜ一个满足如下条件的紧算子こ，可か以为其定义迹，使つかい得とく迹有限げん且与基底きてい的てき选择无关。迹类算さん子こ本ほん质上与あずか核かく型がた算さん子こ相あい同どう，但ただし是ぜ许多作たさく者しゃ将はた希まれ尔伯特とく空そら间上うえ的てき核かく型がた算さん子こ这一特殊情况称为“迹类算さん子こ”，而将“核かく型がた算さん子こ”用よう于更一般いっぱん的てき巴ともえ拿赫空そら间。

定てい义

模かたぎ拟矩阵的定てい义，在ざい可分かぶん希まれ尔伯特とく空そら间H上うえ的てき有界ゆうかい线性算さん子こA被ひ称しょう为属于迹类，如果对于H的てき所有しょゆう标准正せい交基{e_k}_k

$\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle$

有限ゆうげん。此时

${\rm {Tr}}A:=\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle$

绝对收おさむ敛且不依よ赖于标准正せい交基的てき选择。这个值被称しょう为A的てき迹。当とうH是ぜ有限ゆうげん维空间时，每まい个线性せい算さん子こ都と是ぜ迹类的てき，并且A的てき迹的定てい义与矩のり阵的迹的てき定てい义一致いっち。

如果A是非ぜひ负自じ伴とも算さん子こ，我わが们也可か以通过可能かのう发散的てき求もとめ和かず将すすむA的てき迹定义为扩展实数

$\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle .$

性せい质

1.	如果A是非ぜひ负自伴とも算さん子こ，当とう且仅当とうTr(A)<∞时，A是ぜ迹类的てき。 因よし此，自じ伴とも算さん子こA是ぜ迹类的てき，当とう且仅当とう其正部ぶA+和かず负部A−都みやこ是ただし迹类的てき。 （自じ伴とも算さん子こ的てき正せい负部通どおり过连续泛函演算えんざん得え到いた。）
2.	迹是迹类算さん子こ空そら间上的てき线性泛函，即そく $\operatorname {Tr} (aA+bB)=a\,\operatorname {Tr} (A)+b\,\operatorname {Tr} (B)$。 双そう射い $\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)$ 是ぜ迹类算さん子こ空そら间上的てき內积; 相あい应的范数被ひ称しょう为希尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく范数。 迹类算さん子こ在ざい希まれ尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく范数意い义下的てき完かん备化被ひ称しょう为希尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく算さん子こ。
3.	如果$A$有界ゆうかい且$B$是ぜ迹类的てき，则$AB$和わ$BA$也是迹类的てき，且有 $\|AB\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AB|)\leq \|A\|\|B\|_{1},\qquad \|BA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|BA|)\leq \|A\|\|B\|_{1}$ 此外，在ざい同どう样的假かり设下， $\operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$ 最さい后きさき的てき断言だんげん在ざい$A$和わ$B$都みやこ是ただし希まれ尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく算さん子こ这样较弱的てき假かり设下也成立せいりつ。
4.	如果$A$是ぜ迹类的てき，则可以定义$1+A$的てき弗どる雷かみなり德とく霍姆行列ぎょうれつ式しき ${\rm {det}}(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)]$ 其中$\{\lambda _{n}(A)\}_{n}$是これ$A$的てき谱。$A$的てき迹类条件じょうけん保ほ证这一无限乘积是有限的：实际上じょう ${\rm {det}}(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}$。 这还意味いみ着ぎ${\rm {det}}(I+A)\neq 0$当とう且仅当とう$(I+A)$是ぜ可逆かぎゃく的てき。

Lidskii定理ていり

令れい$A$是ぜ可分かぶん希まれ尔伯特とく空そら间$H$中なか的てき迹类算さん子こ，并且令れい$\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},$ $N\leq \infty$为$A$的てき特とく征せい值。 假かり设$\lambda _{n}(A)$在ざい计数时考虑了代だい数すう重じゅう数すう（即そく如果$\lambda$的まと代だい数すう重じゅう数すう为$k$，则$\lambda$在ざい计数时被重じゅう复$k$次じ如$\lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots$）。Lidskii定理ていり（以Victor Borisovich Lidskii命名めいめい）指出さしで

$\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)=\operatorname {Tr} (A)$。

注意ちゅうい到いた由よし于外尔不等式とうしき，左ひだり侧的数列すうれつ绝对收おさむ敛

$\sum _{n=1}^{N}|\lambda _{n}(A)|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)$

在ざい特とく征せい值$\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}$和かず紧算子こ$A$的てき奇き异值$\{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}$之これ间。参まいり见例如

几类算さん子こ间的关系

通つう过将迹类算さん子こ作さく为序列じょれつ空そら间l¹(N)的てき非ひ交换类比，可か以将某ぼう些类的てき有界ゆうかい算さん子こ视为经典序列じょれつ空そら间的てき非ひ交换类比。

实际上じょう，可か以应用よう谱定理ていり证明可分かぶん希まれ尔伯特とく空そら间上的てき每まい个正规迹类算子こ可か以以某ぼう种方式しき视作l¹序列じょれつ，通つう过对一对希尔伯特基底的某种选择来实现。 同どう样，有界ゆうかい算さん子こ是ぜl^∞(N)的てき非ひ交换类比，紧算子こ对应c₀（序列じょれつ收おさむ敛到0），希まれ尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく算さん子こ对应于l²(N)，有限ゆうげん秩算子こ对应只ただ有ゆう有限ゆうげん多おお非ひ零れい项的序列じょれつ。 在ざい某ぼう种程度ていど上じょう，这些类的算さん子こ之の间的关系类似于它们的可か交换类比之の间的关系。

希まれ尔伯特とく空そら间上的てき每まい个紧算さん子こT都みやこ有ゆう如下标准型がた

$\forall h\in H,\;Th=\sum _{i=1}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\mbox{其中}}\quad \alpha _{i}\geq 0\quad {\mbox{且}}\quad \alpha _{i}\rightarrow 0$

对于某ぼう组标准なぞらえ正せい交基{u_i}和かず{v_i}。为了使し上述じょうじゅつ启发式しき评论更さら精せい确，如果序列じょれつ∑_iαあるふぁ_i收おさむ敛，则有T是ぜ迹类的てき；如果∑_iαあるふぁ_i²收おさむ敛，T是ぜ希まれ尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく算さん子こ；如果序列じょれつ{αあるふぁ_i}只ただ有ゆう有限ゆうげん多おお非ひ零れい项，T是ぜ有限ゆうげん秩的。

上述じょうじゅつ描述可か以得到いた一いち些事さじ实，将はた这些类算子こ联系起おこり来らい。例れい如下述じゅつ包含ほうがん关系成立せいりつ（包括ほうかつH是ぜ无限维空间的情じょう形がた）：{有限ゆうげん秩算子こ}⊂{迹类算さん子こ}⊂{希まれ尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく算さん子こ}⊂{紧算子こ}。

迹类算さん子こ赋有迹范数すう||T||₁=Tr[(T*T)^½]=∑_iαあるふぁ_i。范数对应的てき希まれ尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく内ない积是||T||₂=(TrT*T)^½=(∑_iαあるふぁ_i²)^½。一般いっぱん的てき算さん子こ范数是ぜ||T|| = sup_i(αあるふぁ_i)。利用りよう序列じょれつ的てき经典不等式ふとうしき，

$\|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1},$

对于适当的てきT。

清楚せいそ的てき是ぜ，有限ゆうげん秩算子こ在ざい迹类算さん子こ空そら间和希まれ尔伯特とく-施ほどこせ密みつ特とく算さん子こ空そら间中在ざい它们各自かくじ范数意い义下稠密ちゅうみつ。

迹类作さく为紧算さん子こ的てき对偶

c₀的てき对偶空そら间是l¹(N)。类似的てき，紧算子こ的てき对偶空そら间记作さくK(H)*，是ぜ迹类算さん子こ，记作C_1。下面かめん的てき陈述与あずか序列じょれつ空そら间相对应。令れいf∈K(H)*，给出f的まと等とう价形式しき算さん子こT_f定てい义如下か

$\langle T_{f}x,y\rangle =f(S_{x,y}),$

其中S_x,y是ぜ秩为1的てき算さん子こ，如下给定

$S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.$

这一等式成立因为有限秩算子在K(H)中ちゅう的てき范数意い义下稠密ちゅうみつ。在ざいT_f是正ぜせい算さん子こ的てき情じょう况下，对于任意にんい标准正せい交基u_i，有ゆう

$\sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,$

其中I是ぜ恒等こうとう算さん子こ

$I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.$

这意味いみ着ぎT_f是ぜ迹类的てき。利用りよう极分解ぶんかい可か以将上述じょうじゅつ讨论拓つぶせ展てん到いた一般いっぱん情じょう形がた，T_f不ふ需要じゅよう是正ぜせい算さん子こ。

通つう过对有限ゆうげん秩算子取ことり极限可か以证明あきら||T_f||₁=||f||。因よし此K(H)*等とう距同构到C₁。

有界ゆうかい算さん子こ的てき预对偶

l¹(N)的てき对偶是ぜl^∞(N)。迹类算さん子こC₁的てき对偶是ぜ有界ゆうかい算さん子こB(H)。更さら准じゅん确地说，集合しゅうごうC₁是ぜB(H)中ちゅう的てき双そう边理想りそう。因よし此，给定B(H)中ちゅう任意にんい算さん子こT，可か以通过φふぁい_T(A)=Tr(AT)定てい义$C_{1}$上うえ连续线性泛函φふぁい_T。有界ゆうかい线性算さん子こ和わ$C_{1}$的てき对偶空そら间中的てき元素げんそφふぁい_T的てき对应关系是ぜ一个等距同构。因よし此，B(H)是これ$C_{1}$的てき对偶空そら间。这可以用于定义B(H)上じょう的てき弱じゃく-*拓つぶせ扑。

参考さんこう文献ぶんけん

• Dixmier, J, Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien, Gauthier-Villars, 1969