泛函分析中,在巴拿赫空间X上有几种标准拓扑被赋予有界线性算子代数
。
令
为巴拿赫空间X上的线性算子序列。考虑这样的陈述:
收敛到X上某算子T,这可能有歧义:
- 若
,即
的算子范数(
的上确界,其中x在X中的单位球面上)收敛到0,就称
在一致算子拓扑中。
,就称
在强算子拓扑中。
- 假设
在X的弱拓扑中。这是说,对X上所有连续线性泛函
,称
在弱算子拓扑中。
B(H)上的拓扑列表
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有界算子空间
上的拓扑关系图
除上述拓扑外,
上还可定义许多拓扑,大多最初只是
为希尔伯特空间时才被定义,尽管很多时候都有适当的推广。
下列拓扑都是局部凸的,即由一族半范数定义。
在数学分析中,若拓扑有很多开集,则称强拓扑;若有较少的开集,称为弱拓扑。因此,相应的收敛模式分别是强收敛和弱收敛(拓扑学中可能有相反的含义,或改称细拓扑与粗拓扑)。
右图是这些关系的简单总结,箭头从强指向弱。
若H是希尔伯特空间,则希尔伯特空间
有(唯一)预对偶
,由迹类算子组成,其对偶是
。预对偶中,w为正的半范数
定义为
。
若B是向量空间A上线性映射的向量空间,则
被定义为A上最弱的拓扑,使B中所有元素都连续。
- 范数拓扑或一致拓扑或一致算子拓扑定义为
上通常的范数||x||,比下面所有拓扑都强。
- 弱(巴拿赫空间)拓扑是
,即使对偶
的所有元素都连续的最弱拓扑,是巴拿赫空间
上的弱拓扑。它比超弱、弱算子拓扑要强(注意:弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑,但它们是不同的)。
- 麦基拓扑或Arens-麦基拓扑是
上对偶为
的最强的局部凸拓扑,也是
上的一致收敛拓扑,
的
-紧凸子集。比下面所有拓扑都强。
- σ-强*拓扑或超强*拓扑是比超强拓扑更强的最弱的拓扑,其伴随映射连续,由
的正元素w的半范数族
定义。比下面所有拓扑都强。
- σ强拓扑或超强拓扑或最强拓扑或最强算子拓扑由半范数族
定义,w是
的正元素。除了强*拓扑,它比下面所有拓扑都强。注意:虽然叫“最强拓扑”,但弱于范数拓扑。
- σ弱拓扑或超弱拓扑或弱*算子拓扑或弱*拓扑或弱拓扑或
拓扑由半范数|(w, x)|定义,其中w是
的元素。比弱算子拓扑强(注意:弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑,但它们是不同的)。
- 强* 算子拓扑或强*拓扑由半范数||x(h)||、||x*(h)||定义,其中h属于H。比强、弱算子拓扑都强。
- 强算子拓扑或强拓扑由半范数||x(h)||定义,其中h属于H。比弱算子拓扑强。
- 弱算子拓扑或弱拓扑由半范数|(x(h1), h2)|定义,其中所有h都属于H(注意:弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑,但它们是不同的)。
弱、强、强*(算子)拓扑的
上的连续线性泛函是相同的,都是线性泛函
的有限线性组合。超弱、超强、超强*、Arens-麦基拓扑的
上的连续线性泛函是相同的,都是预对偶
的元素。
由定义,范数拓扑中的连续线性泛函与弱巴拿赫空间拓扑中的相同。这对偶是个相当大的空间,其中有很多病态元素。
在
的规范有界集上,弱(算子)、超强拓扑是重合的。比如,这可以从巴拿赫-阿劳格鲁定理看出来。出于基本相同的原因,超强拓扑与
的任何(规范)有界子集上的强拓扑相同。
Arens-麦基、超强*、强*拓扑也如此。
在局部凸空间中,凸集的封闭性可由连续线性泛函来表征。因此,对
的凸子集 K,在超强*、超强、超弱拓扑中封闭的条件都等价,且也等价于:在强*、强、弱(算子)拓扑中,
,K与半径为r的闭球有闭交集。
范数拓扑是可度量化的,其他的则不行。实际上,它们都不是第一可数空间。
H可分时,限制在单位球(或任何范数有界子集)上的所有拓扑都可度量化。
最常用的拓扑是范数拓扑、强、弱算子拓扑。弱算子拓扑对关于紧性证明非常好用,因为据巴拿赫-阿劳格鲁定理,单位球是紧的。
范数拓扑是基本拓扑,因为它使
称为巴拿赫空间,但它对很多目的来说太强了。例如
在这拓扑中是不可分的。
强算子拓扑可能是最常用的拓扑。
超弱、超强拓扑比弱、强算子拓扑的性质更好,但定义也更复杂,所以除非真的需要这更好的性质,否则通常不会使用。例如,弱、强算子拓扑中
的对偶空间太小,没有什么解析内容物。
强算子、超强拓扑中,伴随映射不连续,而强*、超强*拓扑经过修改后则可使伴随映射连续。它们并不常用。
Arens–麦基拓扑和弱巴拿赫空间拓扑相对少用。
总之,
上的3个基本拓扑是范数拓扑、超强拓扑和超弱拓扑。强、弱算子拓扑分别作为后两者的便捷近似,使用广泛。其他拓扑则较为少见。
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| 基本概念 | |
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| 主要结果 | |
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| 其他结果 | |
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| 映射 | |
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| 例子 | |
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