算さん子こ拓つぶせ扑

泛函分析ぶんせき中なか，在ざい巴ともえ拿赫空そら间X上うえ有ゆう几种标准拓つぶせ扑被ひ赋予有界ゆうかい线性算さん子こ代数だいすう $B(H)$ 。

概がい述じゅつ

令れい $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 为巴拿赫空そら间X上うえ的てき线性算さん子こ序列じょれつ。考こう虑这样的陈述： $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 收おさむ敛到X上うえ某ぼう算さん子こT，这可能かのう有ゆう歧义：

若わか $\|T_{n}-T\|\to 0$ ，即そく $T_{n}-T$ 的てき算さん子こ范数（ $\|T_{n}x-Tx\|_{X}$ 的てき上じょう确界，其中x在ざいX中なか的てき单位球面きゅうめん上うえ）收おさむ敛到0，就称 $T_{n}\to T$ 在ざい一致算子拓扑中なか。
$\forall x\in X,\ T_{n}x\to Tx$ ，就称 $T_{n}\to T$ 在ざい强つよ算さん子こ拓つぶせ扑中なか。
假かり设 $\forall x\in X,\ T_{n}x\to Tx$ 在ざいX的てき弱じゃく拓つぶせ扑中なか。这是说，对X上うえ所有しょゆう连续线性泛函 $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ ，称しょう $T_{n}\to T$ 在ざい弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑中なか。

B(H)上じょう的てき拓つぶせ扑列表ひょう

除じょ上述じょうじゅつ拓ひらけ扑外， $B(X)$ 上うえ还可定てい义许多た拓つぶせ扑，大だい多た最初さいしょ只ただ是これ $X=H$ 为希尔伯特とく空そら间时才ざい被ひ定てい义，尽つき管かん很多时候都と有ゆう适当的てき推广。下した列れつ拓つぶせ扑都是ぜ局部きょくぶ凸とつ的てき，即そく由よし一族いちぞく半はん范数定てい义。

在ざい数学すうがく分析ぶんせき中ちゅう，若わか拓つぶせ扑有很多开集，则称强きょう拓つぶせ扑；若わか有ゆう较少的てき开集，称しょう为弱拓つぶせ扑。因よし此，相そう应的收おさむ敛模式しき分ぶん别是强きょう收おさむ敛和弱じゃく收おさむ敛（拓つぶせ扑学中ちゅう可能かのう有ゆう相反あいはん的てき含义，或ある改称かいしょう细拓扑与粗そ拓つぶせ扑）。右みぎ图是这些关系的てき简单总结，箭や头从强きょう指向しこう弱じゃく。

若わかH是ぜ希まれ尔伯特とく空そら间，则希まれ尔伯特とく空そら间 $B(X)$ 有ゆう（唯一ただいち）预对偶 $B(H)_{*}$ ，由ゆかり迹类算さん子こ组成，其对偶是 $B(X)$ 。预对偶中，w为正的てき半はん范数 $p_{w}(x)$ 定てい义为 $B(w,\ x^{*}x)^{1/2}$ 。

若わかB是ぜ向むこう量りょう空そら间A上うえ线性映うつ射的しゃてき向むこう量りょう空そら间，则 $\sigma (A,\ B)$ 被ひ定てい义为A上うえ最さい弱じゃく的てき拓つぶせ扑，使つかいB中ちゅう所有しょゆう元素げんそ都と连续。

范数拓つぶせ扑或ある一致いっち拓ひらけ扑或ある一致算子拓扑定てい义为 $B(H)$ 上うえ通常つうじょう的てき范数||x||，比ひ下面かめん所有しょゆう拓ひらけ扑都强きょう。
弱じゃく（巴ともえ拿赫空そら间）拓つぶせ扑是これ $\sigma (B(H),\ B(H)^{*})$ ，即そく使つかい对偶 $B(H)^{*}$ 的てき所有しょゆう元素げんそ都と连续的てき最さい弱じゃく拓つぶせ扑，是ぜ巴ともえ拿赫空そら间 $B(H)$ 上うえ的てき弱じゃく拓つぶせ扑。它比超ちょう弱じゃく、弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑要强きょう（注意ちゅうい：弱じゃく巴ともえ拿赫空そら间拓扑、弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑和超ちょう弱じゃく拓つぶせ扑有时被统称为弱拓つぶせ扑，但ただし它们是ぜ不同ふどう的てき）。
麦むぎ基もと拓つぶせ扑或あるArens-麦むぎ基もと拓つぶせ扑是これ $B(H)$ 上うえ对偶为 $B(H)_{*}$ 的てき最强さいきょう的てき局部きょくぶ凸とつ拓つぶせ扑，也是 $B\sigma (B(H)_{*})$ 上うえ的てき一致收敛拓扑， $B(H)_{*}$ 的てき $B(H)$ -紧凸子こ集しゅう。比ひ下面かめん所有しょゆう拓ひらけ扑都强きょう。
σしぐま-强つよし^*拓つぶせ扑或ある超ちょう强つよ^*拓つぶせ扑是ぜ比ひ超ちょう强つよ拓つぶせ扑更强的ごうてき最さい弱じゃく的てき拓つぶせ扑，其伴随したがえ映うつ射い连续，由ゆかり $B(H)_{*}$ 的てき正せい元素げんそw的てき半はん范数族ぞく $p_{w}(x),\ p_{w}(x^{*})$ 定てい义。比ひ下面かめん所有しょゆう拓ひらけ扑都强きょう。
σしぐま强つよ拓つぶせ扑或ある超ちょう强つよ拓つぶせ扑或ある最强さいきょう拓つぶせ扑或ある最强さいきょう算さん子こ拓つぶせ扑由ゆかり半はん范数族ぞく $p_{w}(x)$ 定てい义，w是これ $B(H)_{*}$ 的てき正せい元素げんそ。除じょ了りょう强きょう^*拓つぶせ扑，它比下面かめん所有しょゆう拓ひらけ扑都强きょう。注意ちゅうい：虽然叫さけべ“最强さいきょう拓つぶせ扑”，但ただし弱じゃく于范数すう拓つぶせ扑。
σしぐま弱じゃく拓つぶせ扑或ある超ちょう弱じゃく拓つぶせ扑或ある弱じゃく^*算さん子こ拓つぶせ扑或ある弱じゃく*拓つぶせ扑或ある弱じゃく拓つぶせ扑或ある $\sigma (B(H),\ B(H)_{*})$ 拓つぶせ扑由ゆかり半はん范数|(w, x)|定てい义，其中w是これ $B(H)_{*}$ 的てき元素げんそ。比ひ弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑强（注意ちゅうい：弱じゃく巴ともえ拿赫空そら间拓扑、弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑和超ちょう弱じゃく拓つぶせ扑有时被统称为弱拓つぶせ扑，但ただし它们是ぜ不同ふどう的てき）。
强つよ^* 算さん子こ拓つぶせ扑或ある强つよ^*拓つぶせ扑由ゆかり半はん范数||x(h)||、||x^*(h)||定てい义，其中h属ぞく于H。比ひ强きょう、弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑都强きょう。
强つよ算さん子こ拓つぶせ扑或ある强つよ拓つぶせ扑由ゆかり半はん范数||x(h)||定てい义，其中h属ぞく于H。比ひ弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑强。
弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑或ある弱じゃく拓つぶせ扑由ゆかり半はん范数|(x(h₁), h₂)|定てい义，其中所有しょゆうh都と属ぞく于H（注意ちゅうい：弱じゃく巴ともえ拿赫空そら间拓扑、弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑和超ちょう弱じゃく拓つぶせ扑有时被统称为弱拓つぶせ扑，但ただし它们是ぜ不同ふどう的てき）。

拓つぶせ扑之间的关系

弱じゃく、强つよし、强つよ^*（算さん子こ）拓つぶせ扑的 $B(H)$ 上うえ的てき连续线性泛函是ぜ相しょう同どう的てき，都みやこ是ただし线性泛函 $\forall h_{1},\ h_{2}\in H,\ (xh_{1},\ h_{2})$ 的てき有限ゆうげん线性组合。超ちょう弱じゃく、超ちょう强つよし、超ちょう强つよ^*、Arens-麦むぎ基もと拓つぶせ扑的 $B(H)$ 上うえ的てき连续线性泛函是ぜ相しょう同どう的てき，都みやこ是ただし预对偶 $B(H)_{*}$ 的てき元素げんそ。

由ゆかり定てい义，范数拓つぶせ扑中的てき连续线性泛函与あずか弱じゃく巴ともえ拿赫空そら间拓扑中的てき相しょう同どう。这对偶是个相当とう大だい的てき空そら间，其中有ちゅうう很多病びょう态元素げんそ。

在ざい $B(H)$ 的てき规范有界ゆうかい集しゅう上じょう，弱じゃく（算さん子こ）、超ちょう强つよ拓つぶせ扑是重合じゅうごう的てき。比ひ如，这可以从巴ともえ拿赫-阿おもね劳格鲁定理ていり看み出来でき。出で于基本きほん相しょう同どう的てき原因げんいん，超ちょう强つよ拓つぶせ扑与 $B(H)$ 的てき任にん何なに（规范）有界ゆうかい子こ集しゅう上じょう的てき强きょう拓つぶせ扑相同どう。 Arens-麦むぎ基もと、超ちょう强つよ^*、强つよ^*拓つぶせ扑也如此。

在ざい局部きょくぶ凸とつ空そら间中，凸とつ集しゅう的てき封ふう闭性可か由よし连续线性泛函来き表おもて征せい。因よし此，对 $B(H)$ 的てき凸とつ子こ集しゅう K，在ざい超ちょう强つよ^*、超ちょう强つよし、超ちょう弱じゃく拓つぶせ扑中封ふう闭的条件じょうけん都と等とう价，且也等とう价于：在ざい强つよ^*、强つよし、弱じゃく（算さん子こ）拓つぶせ扑中， $\forall r>0$ ，K与あずか半径はんけい为r的てき闭球有ゆう闭交集しゅう。范数拓つぶせ扑是可か度量どりょう化か的てき，其他的てき则不行ぎょう。实际上じょう，它们都と不ふ是ぜ第だい一可数空间。

H可分かぶん时，限げん制せい在ざい单位球だま（或ある任にん何なん范数有界ゆうかい子こ集しゅう）上じょう的てき所有しょゆう拓ひらけ扑都可か度量どりょう化か。

使用しよう拓ひらけ扑

最さい常用じょうよう的てき拓つぶせ扑是范数拓つぶせ扑、强つよし、弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑。弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑对关于紧性证明非常ひじょう好こう用もちい，因いん为据巴ともえ拿赫-阿おもね劳格鲁定理ていり，单位球だま是ぜ紧的。范数拓つぶせ扑是基本きほん拓つぶせ扑，因いん为它使し $B(H)$ 称しょう为巴拿赫空そら间，但ただし它对很多目的もくてき来らい说太强きょう了りょう。例れい如 $B(H)$ 在ざい这拓扑中是ぜ不可分ふかぶん的てき。强つよ算さん子こ拓つぶせ扑可能かのう是ぜ最さい常用じょうよう的てき拓つぶせ扑。

超ちょう弱じゃく、超ちょう强つよ拓つぶせ扑比弱じゃく、强つよ算さん子こ拓つぶせ扑的性せい质更好このみ，但ただし定てい义也更さら复杂，所以ゆえん除じょ非ひ真しん的てき需要じゅよう这更好このみ的てき性せい质，否いや则通常つうじょう不ふ会かい使用しよう。例れい如，弱じゃく、强つよ算さん子こ拓つぶせ扑中 $B(H)$ 的てき对偶空そら间太小しょう，没ぼつ有ゆう什么解析かいせき内容ないよう物ぶつ。

强つよ算さん子こ、超ちょう强つよ拓つぶせ扑中，伴とも随したがえ映うつ射い不ふ连续，而强^*、超ちょう强つよ^*拓つぶせ扑经过修改あらため后きさき则可使し伴とも随したがえ映うつ射い连续。它们并不常用じょうよう。

Arens–麦むぎ基もと拓つぶせ扑和弱じゃく巴ともえ拿赫空そら间拓扑相对少用よう。

总之， $B(H)$ 上うえ的てき3个基本きほん拓つぶせ扑是范数拓つぶせ扑、超ちょう强つよ拓つぶせ扑和超ちょう弱じゃく拓つぶせ扑。强つよ、弱じゃく算さん子こ拓つぶせ扑分别作为后两者的てき便びん捷とし近似きんじ，使用しよう广泛。其他拓つぶせ扑则较为少しょう见。

另见

参考さんこう文献ぶんけん

Functional analysis, by Reed and Simon, ISBN 0-12-585050-6
Theory of Operator Algebras I, by M. Takesaki (especially chapter II.2) ISBN 3-540-42248-X