极分解ぶんかい

在ざい数学すうがく中なか，特とく别是线性代数だいすう和わ泛函分析ぶんせき裡うら，一いち个矩のり阵或ある线性算さん子こ的てき极分解ぶんかい是ぜ一种类似于复数之これ极坐标分解ぶんかい的てき分解ぶんかい方法ほうほう。一いち个复数すう z 可か以用它的模かたぎ长和わ辐角表示ひょうじ为：

z=re^{i\theta }\,

其中 r 是これ z 的てき模かたぎ长（因いん此是一いち个正ただし实数），而 $\theta$ 则为 z 的てき辐角。

矩のり阵的极分解ぶんかい

一个复系数矩阵 A 的てき极分解ぶんかい将はた其分解ぶんかい成なり两个矩のり阵的乘じょう积，可か以表示ひょうじ为：

A=UP\,

其中 U 是ぜ一いち个酉とり矩のり阵，P 是ぜ一いち个半はん正せい定じょう的てき埃ほこり尔米特とく矩のり阵。这样的てき分解ぶんかい对任意にんい的てき矩のり阵 A 都と存在そんざい。当とう A 是これ可逆かぎゃく矩のり阵时，分解ぶんかい是ぜ唯一ゆいいつ的てき，并且 P 必然ひつぜん为正せい定てい矩のり阵。注意ちゅうい到いた：

\det A=\det P\,\det U=re^{i\theta }

可か以看出で极分解ぶんかい与あずか复数的てき极坐标分解ぶんかい的てき相似そうじ之の处：P 对应着ぎ模も长（ $|\det A|=\det P$ ），而 U 则对应着辐角部分ぶぶん $\theta$ （ $\det U=e^{i\theta }$ ）。
矩のり阵 P 可か以由

P={\sqrt {A^{*}A}}

得え到いた，其中 A* 表示ひょうじ矩のり阵 A 的てき共きょう轭转置おけ。由よし于 $A^{*}A$ 为半正せい定じょう的てき埃ほこり尔米特とく矩のり阵，它的平方根へいほうこん唯一ゆいいつ存在そんざい，所以ゆえん这个式子しょくし是ただし有意ゆうい义的。而矩阵 U 可か以通过表达式

U=AP^{-1}

得え到いた。

当とう对矩阵 A 进行奇き异值分解ぶんかい得え到いた A = W Σしぐま V^*后きさき，可か以因而导出で其极分解ぶんかい：

P=V\Sigma V^{*}\,

U=WV^{*}\,

可か以看到いた导出的てき矩のり阵 P 是正ぜせい定てい矩のり阵，而 U 是ぜ酉とり矩のり阵。

对称地ち，矩のり阵 A 也可以被分解ぶんかい为：

A=P'U\,

这里的てき U 仍然是ぜ原ばら来らい的てき酉とり矩のり阵，而 P′ 则等于：

P'=UPU^{-1}={\sqrt {AA^{*}}}=W\Sigma W^{*}

这个分解ぶんかい一般いっぱん被ひ称しょう为左ひだり极分解ぶんかい，而文章ぶんしょう开头介かい绍的分解ぶんかい被ひ称しょう为右みぎ极分解ぶんかい。左ひだり极分解ぶんかい有ゆう时也被ひ称しょう为逆ぎゃく极分解ぶんかい。

矩のり阵 A 是これ正せい规的当とう且仅当とう P′ = P。这时候こう UΣしぐま = ΣしぐまU，并且 U 可か以用与あずか Σしぐま 交换的てき酉とり对称矩のり阵 S 进行酉とり对角化か，这样就有 S U S* = Φふぁい^-1，其中 Φふぁい 是ぜ一个表示辐角的酉对角矩阵e^iφふぁい。如果设 Q = V S^*，那な么极分解ぶんかい就可以被改あらため写うつし为：

A=(Q\Phi Q^{*})(Q\Sigma Q^{*}),\,

因いん此矩阵 A 有ゆう谱分解ぶんかい：

A=Q\Lambda Q^{*}\,

其中的てき特とく征せい值为复数，ΛらむだΛらむだ^* = Σしぐま²。

将はた A 射い到いた其极分解ぶんかい裡うら的てき酉とり部分ぶぶん U 是ぜ一いち个从一般いっぱん线性群ぐん GL(n,C) 射しゃ到いた酉とり群ぐん U(n) 的てき映うつ射しゃ。这是一いち个同どう伦等价，因いん为所有正ありまさ定てい矩のり阵构成なり的てき空そら间是一いち个可か缩空间。实际上じょう，U(n) 是ぜ GL(n,C) 的てき极大紧子群ぐん。

希まれ尔伯特とく空そら间上的てき有界ゆうかい算さん子こ

从复希まれ尔伯特とく空そら间到いた复希まれ尔伯特とく空そら间的てき有界ゆうかい线性算さん子こ A 的てき极分解ぶんかい，是これ将はた其正则分解ぶんかい为一个准じゅん等とう距变换和わ一个半正定算子的乘积。

矩のり阵的极分解ぶんかい被ひ推广为：如果 A 是ぜ一个有界线性算子，那な么可以将其唯一地分解为乘积 A = UP，其中 U 是ぜ一个准等距变换，而 P 是ぜ一个半正定的自伴算子，并且 U 的てき定てい义空间覆盖 P 的まと像ぞう集しゅう。

无界算さん子こ

如果 A 是ぜ复希尔伯特とく空そら间之间的闭稠定无界算さん子こ，那な么仍然しか有ゆう惟おもんみ一いち的てき极分解ぶんかい

A=U|A|\,

这里 $|A|$ 是ぜ一いち个（可能かのう无界）非ひ负自伴とも算さん子こ，与あずか $A$ 有ゆう相しょう同どう的てき定てい义域， $U$ 是ぜ一いち个在值域 $\operatorname {Range} (|A|)$ 的てき正せい交补上じょう为 0 的てき部分ぶぶん等とう距映射しゃ。

用よう上面うわつら同どう样的引理，在ざい无界算さん子こ同どう样一般いっぱん地ち成立せいりつ。如果 Dom(A*A) = Dom(B*B) 和わ A*Ah = B*Bh 对所有しょゆう h ∈ Dom(A*A) 成立せいりつ，那な么存在そんざい一个部分等距 U 使つかい得とく A = UB。如果 Ran(B)^⊥⊂ Ker(U)，则 U 是ぜ惟おもんみ一いち的てき。算さん子こ A 是ぜ闭稠定じょう的てき保ほ证了算さん子こ A*A 是ぜ自じ伴とも的てき（有ゆう同どう样的定てい义域），从而我わが们可以定义(A*A)^½。利用りよう引理便びん给出了りょう极分解ぶんかい。

如果一いち个无界かい算さん子こ A 是ぜ对冯·诺依曼代数すう M的てきaffiliated operator，且 A = UP是ぜ其极分解ぶんかい，那な么 U 在ざい M中ちゅう从而是ぜ P, 1_B(P) 对任何なに [0, ∞) 中ちゅう Borel 集しゅう B 的てき谱投影とうえい。

应用

连续介かい质力学がく中ちゅう使用しよう极分解ぶんかい来らい将はた形かたち变分解ぶんかい成なり拉ひしげ伸和のぶかず旋转的てき部分ぶぶん，其中 P 表示ひょうじ拉ひしげ伸しん的てき部分ぶぶん，U 表示ひょうじ旋转的てき部分ぶぶん。

参まいり见

参考さんこう来らい源げん

Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990

Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)