巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり

泛函分析ぶんせき和かず鄰近數學すうがく分ぶん支ささえ中ちゅう，巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり或ある阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり（英語えいご：Banach–Alaoglu theorem或あるAlaoglu's theorem）斷言だんげん，任意にんい賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん的てき連續れんぞく對偶たいぐう空間くうかん中なか，閉單位たんい球だま在ざい弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ中ちゅう為ため緊。常見つねみ證明しょうめい將しょう弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ中なか的てき單位たんい球だま看み成なり一いち系列けいれつ緊集之の積せき的てき閉子集しゅう。根據こんきょ吉よし洪ひろし诺夫定理ていり，該些緊集的てき積せき拓ひらけ撲なぐ空間くうかん仍為緊，故こ該球亦また然しか。

定理ていり在ざい量子力學りょうしりきがく方面ほうめん有ゆう應用おうよう。系統けいとう的てき可か觀測かんそく量りょう是ぜ某ぼう個こC*代數だいすう中なか的てき自じ伴とも算さん子こ，而量子りょうし態たい則のり是ぜ該代數すう上じょう的てき線せん性せい泛函。此框架か下か，定理ていり可か以推出で，每まい個こ量子りょうし態たい皆みな是ぜ純じゅん態たい的てき凸とつ線せん性せい組合くみあい。

歷史れきし

納おさめ里さと奇き（Narici）與あずか貝かい肯斯坦ひろし（Beckenstein）書中しょちゅう，稱たたえ阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり為ため「非常ひじょう重要じゅうよう的てき結果けっか——也許是ぜ關せき於弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ唯一ゆいいつ（the）最さい重要じゅうよう的てき事こと——迴響傳でん遍へん泛函分析ぶんせき。」1912年ねん，赫利（Helly）證明しょうめい，閉區間あいだ上じょう連續れんぞく函數かんすう的てき空間くうかん$C([a,b])$，其連續れんぞく對偶たいぐう空間くうかん的てき單位たんい球だま，為ため弱じゃく*可か數すう緊。1932年ねん，斯特凡·巴ともえ拿赫證明しょうめい，任にん何なに可分かぶん賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん的てき連續れんぞく對偶たいぐう中ちゅう，閉單位い球だま必為弱じゃく*序列じょれつ緊（他た僅考慮こうりょ了りょう序列じょれつ紧）。 一般いっぱん情況じょうきょう的てき證明しょうめい，是ぜ由ゆかり列れつ奧おく尼あま達たち·阿おもね勞ろう格かく魯於1940年ねん發表はっぴょう。納おさめ里さと奇き與あずか貝かい肯斯坦ひろし書中しょちゅう，引述Pietsch [2007]指ゆび，至いたり少しょう有ゆう12個こ數學すうがく家か可か以主張しゅちょう自己じこ證明しょうめい此定理ていり或ある某ぼう個こ重要じゅうよう前身ぜんしん。

布ぬの爾しか巴ともえ基はじめ-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり（英語えいご：Bourbaki–Alaoglu theorem）是これ尼あま古こ拉ひしげ·布ぬの尔巴基もと將はた原はら定理ていり推廣到いた局部きょくぶ凸とつ空間くうかん的てき對偶たいぐう拓ひらけ撲なぐ的てき結果けっか。此定理ていり亦また稱たたえ為ため巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり或ある弱じゃく*緊定理ていり（英語えいご：weak-* compactness theorem），也常簡稱為ため阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり（英語えいご：Alaoglu theorem）。

敍述じょじゅつ

一般いっぱん敍述じょじゅつ

参まいり见：拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん § 對偶たいぐう空間くうかん、對偶たいぐう系けい和わ極きょく集しゅう

對たい於域いき$\mathbb {K}$上うえ的てき向むこう量りょう空間くうかん$X$，以$X^{\#}$表示ひょうじ其代數だいすう對偶たいぐう（所有しょゆう線せん性せい泛函組成そせい的てき空間くうかん）。兩者りょうしゃ由ゆかり雙そう線せん性せい求もとめ值映射しゃ$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K}$所ところ聯れん繫，該映射しゃ由ゆかり

$\left\langle x,f\right\rangle :=f(x)$

定義ていぎ。所以ゆえん，三さん元げん組ぐみ$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$（兩個りゃんこ空間くうかん及一いち個こ映うつ射い）組成そせい對偶たいぐう系けい，稱たたえ為ため典範てんぱん對偶たいぐう系けい。

若わか$X$進一しんいち步ふ具有ぐゆう拓ひらけ撲なぐ，即そく為ため拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん（TVS），則のり可分かぶん辨べん其上的てき函數かんすう連續れんぞく與あずか否いや，並なみ定義ていぎ其連續れんぞく對偶たいぐう$X^{\prime }$為ため代數だいすう對偶たいぐう$X^{\#}$中なか，連續れんぞく泛函組成そせい的てき子こ集しゅう。以$\sigma \left(X^{\#},X\right)$表示ひょうじ$X^{\#}$上うえ的てき弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ。類似るいじ有ゆう$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$是これ$X^{\prime }$上うえ的てき弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ。

弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ又また稱しょう逐點收斂しゅうれん拓ひらけ撲なぐ，因いん為ため給きゅう定じょう映うつ射い$f$和一かずいち網あみ映うつ射い$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$，網あみ$f_{\bullet }$在ざい弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ中ちゅう收斂しゅうれん至いたり$f$，當とう且僅當とう對たい定義ていぎ域いき中ちゅう每ごと點てん$x$，函數かんすう值組成そせい的てき網もう$\left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}$收斂しゅうれん到いた$f(x)$。

阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり

設しつらえ$X$為ため任意にんい拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん（無む需豪ごう斯多夫おっと或ある局部きょくぶ凸とつ），$X^{\prime }$為ため其連續れんぞく對偶たいぐう，則のり對たい於$X$中原なかはら點てん的てき任にん何なに鄰域$U$（$0\in U\subseteq X$），其極きょく集しゅう

$U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',$

在ざい$X^{\prime }$上うえ的てき弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$中なか，必為緊集。

此外，$U^{\circ }$亦また是これ$U$相對そうたい於典範てんぱん對偶たいぐう系けい$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的てき極きょく集しゅう，在ざい拓ひらけ撲なぐ空間くうかん$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$同樣どうよう為ため緊。

賦ふ範はん特例とくれい

若わか$X$為ため賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん，則のり原點げんてん鄰域的てき極きょく集しゅう，在ざい對偶たいぐう空間くうかん中ちゅう為ため閉，且其範はん數すう有ゆう上じょう界かい。特別とくべつ地ち，若わか$U$為ため$X$的てき開ひらけ（或ある閉）單位たんい球だま，則のり$U$的てき極きょく集しゅう為ため連續れんぞく對偶たいぐう空間くうかん$X^{\prime }$的てき閉單位い球だま（對偶たいぐう空間くうかん配備はいび平常へいじょう的てき對偶たいぐう範はん數すう）。此時，定理ていり化か為ため以下いか特例とくれい：

巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり

若わか$X$為ため賦ふ範はん空間くうかん，則のり連續れんぞく對偶たいぐう空間くうかん$X^{\prime }$中なか，算さん子こ範はん數すう的てき閉單位い球だま，為ため弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ中なか的てき緊集。

當とう$X$的てき連續れんぞく對偶たいぐう$X^{\prime }$是ぜ無窮むきゅう維賦範はん空間くうかん時じ，$X^{\prime }$中なか的てき閉單位い球だま，不可能ふかのう是ぜ平常へいじょう範はん數すう拓ひらけ撲なぐ的てき緊集。原因げんいん是ぜ，範はん數すう拓ひらけ撲なぐ的てき閉單位い球だま為ため緊，當とう且僅當とう空間くうかん為ため有限ゆうげん維（見みF·里さと斯定理ていり）。此定理ていり顯示けんじ出で，在ざい同どう一いち個こ向むこう量りょう空間くうかん上じょう，考慮こうりょ不同ふどう的てき拓ひらけ撲なぐ，到いた㡳有何なん用よう。

但ただし注意ちゅうい，巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり並なみ不ふ推出弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ為ため局部きょくぶ緊，因いん為ため僅知閉單位い球だま在ざい強つよ拓ひらけ撲なぐ中ちゅう為ため原點げんてん的てき鄰域，在ざい弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ中ちゅう則のり不ふ一定いってい。弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ中なか，單位たんい球だま的てき內部可能かのう為ため空そら，除じょ非ひ空間くうかん為ため有限ゆうげん維。實際じっさい上じょう，韋伊證明しょうめい，局部きょくぶ緊的てき豪ごう斯多夫おっと拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん必為有限ゆうげん維。

證明しょうめい

對偶たいぐう理論りろん證明しょうめい

記き$X$的てき基もと域いき為ため$\mathbb {K}$，此處ここら為ため實數じっすう域いき$\mathbb {R}$或ある複數ふくすう域いき$\mathbb {C}$。證明しょうめい會かい用よう到いた極きょく集しゅう、對偶たいぐう系けい、连续线性算さん子こ的てき基本きほん性質せいしつ，可か參さん見み該些條目じょうもく，以下いか亦また會かい簡單かんたん提ひさげ及。

先さき列れつ舉一些常見定義和性質。當代とうだい數すう對偶たいぐう$X^{\#}$配備はいび弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ$\sigma \left(X^{\#},X\right)$時とき，為ため一いち個こ豪ごう斯多夫おっと局部きょくぶ凸とつ拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん，記き為ため$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$。空間くうかん$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$總そう是ぜ完備かんび，但ただし連續れんぞく對偶たいぐう$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$則のり不ふ一定いってい，此即證明しょうめい需牽涉わたる$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$的てき原因げんいん。具體ぐたい而言，本ほん證明しょうめい用よう到いた的てき性質せいしつ是ぜ：完備かんび豪ごう斯多夫おっと空間くうかん的てき子こ集しゅう為ため緊，當とう且僅當とう其為閉，且完全かんぜん有界ゆうかい。注意ちゅうい$X^{\prime }$從したがえ$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$繼承けいしょう的てき子こ空間くうかん拓ひらけ撲なぐ，等とう於弱*拓ひらけ撲なぐ$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$。為ため驗けん證しょう此事，只ただ需檢查對每ごと個こ$x^{\prime }\in X^{\prime }$，$X^{\prime }$中なか的てき網あみ在ざい其中一個拓撲中收斂到$x^{\prime }$，當とう且僅當とう在ざい另一個拓撲中亦然（因いん為ため兩個りゃんこ拓ひらけ撲なぐ結構けっこう相等そうとう，當とう且僅當とう其具有ぐゆう的てき收斂しゅうれん網もう完全かんぜん一いち樣よう）。

三さん元げん組ぐみ$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$也是對偶たいぐう對たい（有ゆう雙そう線せん性せい映うつ射い$(x,f)\mapsto f(x)$），但ただし與あずか$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$不同ふどう，前者ぜんしゃ一般而言未必是對偶系。以下いか定義ていぎ極きょく集しゅう時じ，會かい註明是ぜ對たい於何種しゅ對偶たいぐう而言。

設しつらえ$U$為ため$X$原點げんてん的てき鄰域，又また設しつらえ：

• $U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$為ため$U$相對そうたい$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的てき極きょく集しゅう；
• $U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}$為ため$U$相對そうたい$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的てき二に重じゅう極きょく集しゅう；
• $U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$為ため$U$相對そうたい$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的てき極きょく集しゅう。

極きょく集しゅう的てき基本きほん性質せいしつ有ゆう$U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }$。

下した證しょう巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり，分ふん若干じゃっかん步ふ：

1. 先さき證しょう$U^{\#}$在ざい拓ひらけ撲なぐ$\sigma \left(X^{\#},X\right)$中ちゅう為ため$X^{\#}$的てき閉子集しゅう：設しつらえ$f\in X^{\#}$，又また假設かせつ$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$為ため$U^{\#}$中なか的てき網もう，在ざい$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$中ちゅう收斂しゅうれん到いた$f$。欲よく證しょう$f\in U^{\#}$，即そく$|f(u)|\leq 1$對たい任意にんい$u\in U$皆みな成立せいりつ。因よし為ため在ざい純量じゅんりょう域いき$\mathbb {K}$中なか，$f_{i}(u)\to f(u)$，而每個こ值$f_{i}(u)$皆みな屬ぞく於（$\mathbb {K}$的まと）閉子集しゅう$\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}$，故こ網あみ的てき極限きょくげん$f(u)$亦また必在該子集中しゅうちゅう。於是$|f(u)|\leq 1$。
2. 其次，欲よく證しょう$U^{\#}=U^{\circ }$，以推出で$U^{\circ }$既すんで是ぜ$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$的てき閉子集しゅう，亦また是これ$\left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)$的てき閉子集しゅう：有ゆう包含ほうがん關係かんけい$U^{\circ }\subseteq U^{\#}$，因いん為ため連續れんぞく線せん性せい泛函尤ゆう其是線せん性せい泛函。反はん之これ，欲よく證しょう$\,U^{\#}\subseteq U^{\circ }$，設しつらえ$f\in U^{\#}$滿足まんぞく$\;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$，換言かんげん之の線せん性せい泛函$f$在ざい鄰域$U$上うえ有界ゆうかい，而泛函はこ有界ゆうかい等價とうか於連續れんぞく，故こ$f\in X^{\prime }$，從したがえ而$f\in U^{\circ }$，即そく所しょ求もとめ證しょう。用もちい第だい1步ほ，結合けつごう交集$U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }$在ざい$X^{\prime }$的てき子こ空間くうかん拓ひらけ撲なぐ中ちゅう為ため閉，推得$U^{\circ }$為ため閉。
3. 欲よく證しょう$U^{\circ }$對たい$X^{\prime }$的てき$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓ひらけ撲なぐ而言是ぜ完全かんぜん有界ゆうかい子こ集しゅう：由ゆかり二に重じゅう極きょく集しゅう定理ていり，$U\subseteq U^{\circ \circ }$，又また因いん為ため鄰域$U$為ため$X$中なか的てき吸收きゅうしゅう集しゅう，$U^{\circ \circ }$亦また同どう。可か以證明しょうめい，此結論けつろん推出$U^{\circ }$是これ$X^{\prime }$對たい$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$而言的てき有界ゆうかい子こ集しゅう。由よし於$X$分ぶん辨べん$X^{\prime }$各かく點てん，$X^{\prime }$的てき子こ集しゅう在ざい$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$意義いぎ下か有界ゆうかい，當とう且僅當とう在ざい同樣どうよう意義いぎ下か完全かんぜん有界ゆうかい。所以ゆえん，尤ゆう其有$U^{\circ }$在ざい$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$意義いぎ下か完全かんぜん有界ゆうかい。
4. 欲よく證しょう$U^{\circ }$亦また為ため$X^{\#}$在ざい$\sigma \left(X^{\#},X\right)$拓ひらけ撲なぐ下した的てき完全かんぜん有界ゆうかい子こ集しゅう：已やめ知ち$X^{\prime }$上うえ，$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓ひらけ撲なぐ等とう於$X^{\prime }$從したがえ$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$繼承けいしょう的てき子こ空間くうかん拓ひらけ撲なぐ，結合けつごう第だい3步ほ與あずか「完全かんぜん有界ゆうかい」的てき定義ていぎ，即そく推出$U^{\circ }$為ため$X^{\#}$在ざい$\sigma \left(X^{\#},X\right)$拓ひらけ撲なぐ下した的てき完全かんぜん有界ゆうかい子こ集しゅう。
5. 最後さいご，欲よく證しょう$U^{\circ }$為ため$X^{\prime }$在ざい$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$拓ひらけ撲なぐ下した的てき緊子集しゅう：因よし為ため$\left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)$為ため完備かんび拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん，又また$U^{\circ }$為ため其閉（第だい2步ほ）而完全ぜん有界ゆうかい（第だい4步ほ）的てき子こ集しゅう，所以ゆえん$U^{\circ }$為ため緊。定理ていり證しょう畢。

較初等とう的てき證明しょうめい

以下いか證明しょうめい，僅用到いた集合しゅうごう論ろん、點てん集しゅう拓ひらけ撲なぐ、泛函分析ぶんせき的てき基本きほん概念がいねん。拓ひらけ撲なぐ方面ほうめん，需要じゅよう熟じゅく悉使用しよう拓つぶせ扑空间中なか的てき網あみ、積せき拓ひらけ撲なぐ、兩者りょうしゃ與あずか逐點收斂しゅうれん的てき關聯かんれん（為ため方便ほうべん起おこり見み，證明しょうめい中也ちゅうや會かい給きゅう出で部分ぶぶん細ほそ節ぶし）。同時どうじ也要瞭あきら解かい，線せん性せい泛函為ため連續れんぞく，當とう且僅當とう其在原點げんてん的てき某ぼう個こ鄰域上じょう有界ゆうかい（見み次つぎ線せん性せい泛函）。

設しつらえ向こう量りょう空間くうかん$X$的てき基もと域いき為ため$\mathbb {K}$，為ため實數じっすう系けい$\mathbb {R}$或ある複數ふくすう系けい$\mathbb {C}$兩者りょうしゃ之の一いち。對たい任意にんい實數じっすう$r$，以

$B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}$

表示ひょうじ以原點てん為ため球心きゅうしん，半徑はんけい為ため$r$的てき閉球。在ざい$\mathbb {K}$中なか，此為緊的闭集。

極きょく集しゅう的てき等價とうか表示ひょうじ

由よし於$U$是これ$X$中原なかはら點てん的てき鄰域，可知かち$U$亦また是これ$X$的てき吸收きゅうしゅう集しゅう，即そく對たい每まい個こ$x\in X$，皆みな有正ありまさ實數じっすう$r_{x}>0$使つかい$x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}$。以

$U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}$

表示ひょうじ$U$相對そうたい典範てんぱん對偶たいぐう系けい$\left\langle X,X^{\#}\right\rangle$的てき極きょく集しゅう。將はた證明しょうめい，此極集しゅう$U^{\#}$，與あずか定理ていり提ひっさげ到いた，$U$相對そうたい$\left\langle X,X^{\prime }\right\rangle$的てき極きょく集しゅう$U^{\circ }$，兩者りょうしゃ相等そうとう。

$U^{\circ }\subseteq U^{\#}$成立せいりつ，是ぜ因いん為ため連續れんぞく線せん性せい泛函按定義ていぎ必是線せん性せい泛函。反はん之これ，欲よく證しょう$U^{\#}\subseteq U^{\circ }$，設しつらえ$f\in U^{\#}$滿足まんぞく$\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1$，即そく線せん性せい泛函$f$在ざい鄰域$U$上うえ有界ゆうかい。所以ゆえん$f$是これ连续线性算さん子こ（換言かんげん之の$f\in X^{\prime }$），從したがえ而有$f\in U^{\circ }$，即そく所しょ求もとめ證しょう。

至いたり此，已やめ證明しょうめい$U^{\circ }=U^{\#}$，餘よ下か的てき證明しょうめい中ちゅう，需理解りかい笛ふえ卡儿积${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$與あずか所有しょゆう$X\to \mathbb {K}$的てき映うつ射い構成こうせい的てき空間くうかん$\mathbb {K} ^{X}$等とう同どう。仍需證明しょうめい以下いか兩個りゃんこ命題めいだい：

1. $U^{\circ }$為ため$\mathbb {K} ^{X}$的てき閉子集しゅう。
   • 此處ここら$\mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K}$配備はいび的てき是ぜ逐點收斂しゅうれん拓ひらけ撲なぐ，等ひとし同どう於積せき拓ひらけ撲なぐ。
2. $U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.$
   • 其中$B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K}$表示ひょうじ以原點てん$0$為ため球心きゅうしん，$r_{x}$為ため半徑はんけい的てき閉球。本ほん證明しょうめい開始かいし時じ，對たい每まい個こ$x\in X$， 已やめ定義ていぎ$r_{x}$為ため使し$x\in r_{x}U$的てき任意にんい一いち個こ實數じっすう$r_{x}>0$。特別とくべつ地ち，對たい於$u\in U$，可か以選$r_{u}:=1$。

以上いじょう命題めいだい推出，$U^{\circ }$為ため${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$的てき閉子集しゅう，而由吉よし洪ひろし诺夫定理ていり，該积空间為ため緊（因いん為ため每ごと個こ閉球$B_{r_{x}}$皆みな為ため緊）。因よし為ため緊空間あいだ的てき閉子集しゅう仍為緊，所以ゆえん有ゆう$U^{\circ }$為ため緊集，從したがえ而證畢巴拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり的てき主要しゅよう結論けつろん。

極きょく集しゅう為ため閉

以下いか證明しょうめい前述ぜんじゅつ命題めいだい1。代數だいすう對偶たいぐう$X^{\#}$總そう是ぜ積せき空間くうかん${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ 的てき閉子集しゅう。要よう證明しょうめい$U^{\circ }$在ざい$\mathbb {K} ^{X}$中ちゅう為ため閉，祇需證明しょうめい集合しゅうごう

${\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}$

是これ$\mathbb {K} ^{X}$的てき閉子集しゅう，因いん為ため若わか有ゆう此結論けつろん，則のり${\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }$是これ$\mathbb {K} ^{X}$中ちゅう兩りょう閉集之の交，故こ亦また為ため閉集。

設しつらえ$f\in \mathbb {K} ^{X}$，又また設しつらえ$f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}$為ため${\widetilde {U}}^{\circ }$中なか的てき網もう，在ざい$\mathbb {K} ^{X}$中ちゅう收斂しゅうれん到いた$f$。需要じゅよう證明しょうめい$f\in {\widetilde {U}}^{\circ }$。換言かんげん之の，要よう證あかし對たい每まい個こ$u\in U$，$|f(u)|\leq 1$（或ある等價とうか寫うつし成なり$f(u)\in B_{1}$）。由よし於在純量じゅんりょう域いき$\mathbb {K}$中なか，$\left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)$，且每項こう$f_{i}(u)$皆みな屬ぞく於$\mathbb {K}$中なか的てき閉子集しゅう$B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}$，此網的てき極限きょくげん$f(u)$亦また必屬於該閉集，即そく$f(u)\in B_{1}$。證あかし畢命題めいだい1。

上述じょうじゅつ證明しょうめい可か以推廣ひろ，以論證ろんしょう以下いか命題めいだい：

設しつらえ$U\subseteq X$為ため任意にんい集合しゅうごう，$B\subseteq Y$為ため拓ひらけ撲なぐ空間くうかん$Y$的てき閉子集しゅう，則のり在ざい$Y^{X}$的てき逐點收斂しゅうれん拓ひらけ撲なぐ中なか，$P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}$為ため閉子集しゅう。

命題めいだい1為ため其特殊とくしゅ情況じょうきょう，取と$Y:=\mathbb {K}$和わ$B:=B_{1}$便びん得とく。

極きょく集しゅう包含ほうがん於緊空間くうかん之の積せき

以下いか證明しょうめい前述ぜんじゅつ命題めいだい2。對たい任意にんい$z\in X$，以${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$表示ひょうじ到いた第だい$z$個こ坐すわ標的ひょうてき投影とうえい。欲よく證しょう${\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$。換言かんげん之の，欲よく對たい每まい個こ$x\in X$，證明しょうめい$\Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}$。

於是選定せんてい$x\in X$，設しつらえ$f\in U^{\circ }$；要よう證あかし$\Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}$。由ゆかり$r_{x}$的てき定義ていぎ，$x\in r_{x}U$，故こ${\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U}$。因よし為ため$f\in U^{\circ }=U^{\#}$，線せん性せい泛函$f$滿足まんぞく${\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$，所以ゆえん由ゆかり$u_{x}\in U$，可知かち

${\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.$

所以ゆえん$|f(x)|\leq r_{x}$，即そく$f(x)\in B_{r_{x}}$，證あかし畢命題めいだい2。

序列じょれつ版本はんぽん

巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり有ゆう個こ特殊とくしゅ情況じょうきょう，對たい可分かぶん空そら间使用しよう，並なみ將はた「緊」換かわ成なり「序列じょれつ緊」。此時定理ていり斷言だんげん：

可分かぶん賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん的てき對偶たいぐう中ちゅう，閉單位い球だま在ざい弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ下しも是ぜ序列じょれつ紧。

可か度量どりょう

實際じっさい上じょう，可分かぶん空間くうかん的てき對偶たいぐう的てき閉單位い球だま上じょう，弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ可か度量どりょう，故こ緊與序列じょれつ緊等價か。

明確めいかく而言，設しつらえ$X$為ため可分かぶん賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん，而$B$為ため連續れんぞく對偶たいぐう$X^{\prime }$中なか的てき閉單位い球だま。根據こんきょ$X$可分かぶん的てき定義ていぎ，有ゆう某ぼう個こ可か數すう稠密ちゅうみつ子こ集しゅう，列れつ舉為$x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$。則のり下か式しき定義ていぎ一いち個こ度量どりょう：對たい於$x,y\in B$，

$\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}$

其中$\langle \cdot ,\cdot \rangle$表示ひょうじ$X^{\prime }$與あずか$X$的てき對偶たいぐう匹ひき配はい，即そく將しょう後ご一個元素代入到前一個元素求值。此度量りょう下か，$B$為ため序列じょれつ緊之事ごと，用よう類似るいじ阿おもね尔泽拉ひしげ-阿おもね斯科利り定理ていり的てき對角線たいかくせん證しょう法ほう，即そく可か證明しょうめい。

由よし於證明しょうめい本質ほんしつ為ため構造こうぞう性せい（而非如一般いっぱん情況じょうきょう，用もちい到いた非ひ構造こうぞう性的せいてき選擇せんたく公理こうり），在ざい偏へん微分びぶん方かた程ほど學がく中ちゅう，有ゆう時じ使用しよう序列じょれつ巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり，構造こうぞう偏へん微分びぶん方かた程ほど或ある變へん分ぶん問題もんだい的てき解かい。舉例，若わか有ゆう某ぼう個こ可分かぶん賦ふ範はん空間くうかん$X$，其對偶たいぐう上じょう有ゆう泛函$F:X^{\prime }\to \mathbb {R}$，欲求よっきゅう最小さいしょう值，則のり常見つねみ策略さくりゃく是ぜ先さき構造こうぞう序列じょれつ$x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }$，使つかい$F$的てき泛函值趨向すうこう下か確かく界かい，然しか後こう訴諸序列じょれつ巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり，取出とりで子こ序列じょれつ$(x_{n_{k}})_{k}$，在ざい弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ下しも收斂しゅうれん到いた極限きょくげん$x$，並なみ確定かくてい$x$使つかい$F$取と最小さいしょう值。最後さいご一いち步ほ通常つうじょう要求ようきゅう$F$在ざい弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ下しも為ため（序列じょれつ）下した半はん連續れんぞく。

考慮こうりょ另一いち個こ例れい子こ，設しつらえ$X=C_{0}(\mathbb {R} )$為ため實じつ軸じく上じょう，在ざい無窮むきゅう遠とお處しょ消失しょうしつ的てき連續れんぞく函數かんすう組成そせい的てき空間くうかん，則のり由ゆかり里さと斯-馬うま可か夫おっと表示ひょうじ定理ていり，$X^{\prime }$為ため實じつ軸じく上じょう全體ぜんたい有限ゆうげん拉ひしげ東ひがし測度そくど的てき空間くうかん。此時序列じょれつ巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり等價とうか於赫利選擇せんたく定理ていり。

證明しょうめい

下した證しょう序列じょれつ版本はんぽん的てき巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり。

對たい每まい個こ$x\in X$，設しつらえ

$D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},$

以及

$D=\prod _{x\in X}D_{x}.$

因よし為ため$D_{x}$是ぜ複ふく平面へいめん的てき緊子集しゅう，$D$在ざい積せき拓ひらけ撲なぐ中ちゅう亦また為ため緊（根據こんきょ吉よし洪ひろし诺夫定理ていり）。

$X^{\prime }$中なか的てき閉單位い球だま$B_{1}\left(X^{\prime }\right)$，可か以自然しぜん地ち看み成なり$D$的てき子こ空間くうかん：考慮こうりょ映うつ射い

$f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,$

其為單たん射い，且對於$B_{1}\left(X^{\prime }\right)$的まと弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ和わ$D$的てき積せき拓ひらけ撲なぐ而言，是ぜ連れん續映ぞくえい射しゃ。在ざい像ぞう集しゅう上じょう，映うつ射的しゃてき逆ぎゃく也連續れんぞく。

欲よく完成かんせい定理ていり的てき證明しょうめい，只ただ需證明しょうめい映うつ射的しゃてき像ぞう為ため閉集。給きゅう定じょう網もう$D$中なか的てき網もう

$\left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},$

等式とうしき$g(x)=\lambda _{x}$定義ていぎ的てき泛函$g$，也在$B_{1}(X^{\prime })$中なか。定理ていり證しょう畢。

推論すいろん

賦ふ範はん空間くうかん

假設かせつ$X$為ため賦ふ範はん空間くうかん，則のり其連續れんぞく對偶たいぐう空間くうかん$X^{\prime }$具有ぐゆう对偶范数。

• $X^{\prime }$中なか的てき閉單位い球だま為ため弱じゃく*緊。相そう比ひ之の下した，若わか$X^{\prime }$為ため無窮むきゅう維，則のり其閉單位たんい球だま在ざい範はん數すう拓ひらけ撲なぐ中ちゅう必不為ふため緊（F·里さと斯定理ていり）。
• 某ぼう巴ともえ拿赫空そら间自じ反はん，當とう且僅當とう其閉單位たんい球だま在ざい弱じゃく拓ひらけ撲なぐ$\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$下しも為ため緊。
• 若わか$X$為ため自じ反はん巴ともえ拿赫空間くうかん，則のり$X$中ちゅう每まい個こ有界ゆうかい序列じょれつ，都みやこ有ゆう弱じゃく收斂しゅうれん子こ列れつ。（此為對たい$X$某ぼう個こ弱じゃく可か度量どりょう子こ空間くうかん應用おうよう巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり的てき結果けっか。更さら簡潔かんけつ而言，是ぜ應用おうよう埃ほこり伯はく萊恩-什穆良りょう定理ていり。）舉例，設しつらえ$X$為ためL^p空間くうかん$L^{p}(\mu )$，其中$1<p<\infty$。設しつらえ$(f_{n})_{n}$為ため$X$中ちゅう函數かんすう組成そせい的てき有界ゆうかい序列じょれつ。則のり存在そんざい子こ列れつ$(f_{n_{k}})_{k}$，且有$f\in X$使つかい得とく$$\int f_{n_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to \int fg\,\mathrm {d} \mu$$對たい於$X^{\prime }=L^{q}(\mu )$中なか的てき任意にんい函數かんすう$g$成立せいりつ，其中${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$。對たい於$p=1$，沒ぼつ有ゆう相應そうおう的てき結論けつろん，因よし為ため$L^{1}(\mu )$不ふ自じ反はん。

希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん

• 任意にんい希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん中ちゅう，閉有界かい集しゅう必然ひつぜん弱じゃく相對そうたい緊，即そく其在弱じゃく拓ひらけ撲なぐ的てき閉包へいほう為ため弱じゃく緊，故こ每まい個こ有界ゆうかい網もう必有弱じゃく收斂しゅうれん子こ網もう（希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん皆みな自じ反はん）。
• 由ゆかり哈恩－巴ともえ拿赫定理ていり，範はん數すう拓ひらけ撲なぐ中なか的てき閉凸集しゅう，在ざい弱じゃく拓ひらけ撲なぐ中ちゅう也是閉集，故こ希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん或ある自じ反はん巴ともえ拿赫空間くうかん中ちゅう，凸とつ有界ゆうかい集しゅう的てき範はん數すう閉包へいほう必為弱じゃく緊。
• 設しつらえ$H$為ため希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん，$B(H)$為ため其上有界ゆうかい算さん子こ的てき空間くうかん，則のり$B(H)$可か以配備はいび以下いか兩りょう種たね不同ふどう的てき拓ひらけ撲なぐ：一則かずのり超ちょう弱じゃく拓ひらけ撲なぐ，即そく$B(H)$作為さくい跡あと類るい算さん子こ空間くうかん$B_{1}(H)$的てき對偶たいぐう所しょ具備ぐび的てき弱じゃく*拓ひらけ撲なぐ；二に則のり弱じゃく算さん子こ拓ひらけ撲なぐ，是ぜ使し形がた如$T\mapsto \langle Tx,y\rangle$的てき映うつ射い皆みな連續れんぞく的てき最さい弱じゃく的てき拓ひらけ撲なぐ，此拓撲なぐ比ひ超ちょう弱じゃく拓ひらけ撲なぐ更さら弱じゃく。此定義ていぎ下か，$B(H)$中なか的てき閉有界かい子こ集しゅう，關せき於弱算さん子こ拓ひらけ撲なぐ為ため相對そうたい緊。所以ゆえん，算さん子こ的てき有界ゆうかい序列じょれつ必有某ぼう個こ弱じゃく極限きょくげん點てん。其推論ろん是ぜ，$B(H)$配備はいび弱じゃく算さん子こ拓ひらけ撲なぐ或ある超ちょう弱じゃく拓ひらけ撲なぐ時とき，滿足まんぞく海うみ涅-博ひろし雷かみなり尔性質せいしつ。

與あずか選擇せんたく公理こうり的てき關係かんけい

通常つうじょう，會かい用よう到いた吉よし洪ひろし诺夫定理ていり來らい證明しょうめい巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり，所以ゆえん要よう依賴いらい於ZFC公理こうり系統けいとう，尤ゆう其是选择公理こうり。主流しゅりゅう泛函分析ぶんせき中ちゅう，許多きょた結果けっか皆みな依賴いらい選擇せんたく公理こうり。然しか而，本ほん定理ていり在ざい可分かぶん空間くうかん的てき情況じょうきょう（見み§ 序列じょれつ版本はんぽん）並なみ不ふ依賴いらい選擇せんたく公理こうり，該情況きょう下か有ゆう構造こうぞう性せい證明しょうめい。對たい於不可分かぶん的てき情況じょうきょう，超ちょう濾子引理比ひ選擇せんたく公理こうり嚴格げんかく弱じゃく，但ただし亦また足あし以證明しょうめい巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり。反はん之これ，巴ともえ拿赫-阿おもね勞ろう格かく魯定理ていり也推出超しゅっちょう濾子引理，所以ゆえん兩者りょうしゃ等價とうか。

參まいり見み

• 畢曉普ひろし-菲爾普ひろし斯定理ていり
• 巴ともえ拿赫-馬うま祖そ爾なんじ定理ていり
• Δでるた收斂しゅうれん
• 埃ほこり伯はく萊恩-什穆良りょう定理ていり
• 古德ことく斯汀定理ていり
• 詹姆斯定理ていり
• 克かつ列れつ因いん-米べい爾なんじ曼定理ていり
• 馬うま祖そ爾なんじ引理
• 拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん——有ゆう「連續れんぞく」概念的がいねんてき向こう量りょう空間くうかん

參考さんこう資料しりょう

• Köthe, Gottfried. Topological Vector Spaces I [拓ひらけ撲なぐ向こう量りょう空間くうかん一いち]. New York: Springer-Verlag. 1969 （英えい语）. 見み§20.9。
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