幺正算さん符ふ

在ざい泛函分析ぶんせき中なか，幺正算さん符ふ（英語えいご：unitary operator，或ある称しょう酉とり算さん符ふ）是ぜ定てい义在希まれ尔伯特とく空そら间上うえ的てき有界ゆうかい线性算さん符ふU : H → H，满足如下规律：

U^{*}U=UU^{*}=I

其中 U^∗ 是これ U的てき厄やく米まい转置, 而 I : H → H是これ恒等こうとう算さん符ふ。幺正算さん符ふ具有ぐゆう如下性せい质：

U 保持ほじ了りょう希まれ尔伯特とく空そら间上内うえうち积〈 , 〉的てき不ふ变性, 即そく对于希まれ尔伯特とく空そら间上うえ的てき任意にんい矢や量りょう x和わy ,都みやこ有ゆう: $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .$
U 是これ满射的てき。

这两个条件じょうけん还可以用两个较弱的てき但ただし是ぜ等とう价的定てい义表示ひょうじ出来でき：

U 保ほ证了内うち积的てき不ふ变
U 是ぜ一いち个稠集.

U保持ほじ内ない积不变可以推出でU是ぜ个有界ゆうかい线性算さん符ふ；而U是ぜ稠集保ほ证了U的てき逆ぎゃくU⁻¹的てき存在そんざい。而U⁻¹ = U^∗是ぜ很明显的。

所以ゆえん，幺正算さん符ふ是ぜ希まれ尔伯特とく空そら间的てき自じ同どう构，即そく幺正算さん符ふ保持ほじ空そら间结构的不ふ变，比ひ如说空そら间的线性叠加性せい和わ内ない积以及拓扑性质的不ふ变。在ざい群ぐん论中，一いち个给定じょう希まれ尔伯特とく空そら间H上うえ的てき所有しょゆう幺正算さん符ふ组成了りょう该空间的希まれ尔伯特とく群ぐん，表示ひょうじ为Hilb(H)。

较弱的てき条件じょうけんU^∗U = I说明算さん符ふU是ぜ等とう距算符ふ。另一个条件じょうけんU U^∗ = I说明算さん符ふ是ぜ伴とも同等どうとう距算符ふ^[1]。

单位元もと 是ぜ单位算さん符ふ的てき一般いっぱん化か形式けいしき。在ざい单位元もと*-代数だいすう中なか，其中的てき单元U 被ひ叫さけべ做单位元もと, 当とう满足如下条件じょうけん：

U^{*}U=UU^{*}=I

其中 I 是ぜ单位算さん符ふ。^[2]

范例

恒等こうとう函数かんすう就是一个平凡的幺正算符。

在ざい一いち个R²上うえ旋转是ぜ一个最简单但又很重要的幺正算符。旋转并不改あらため变一个矢量的长度或者两个矢量的夹角。这个算さん符ふ还可以推广到R³中なか。

在ざい一いち个复数的てき矢や量りょう空そら间C里さと，乘じょう以一个绝对值是ぜ1的てき数すう，也就是ぜ，一个数形式为 e^{i θしーた} ，其中θしーた ∈ R，就是一个幺正算符。θしーた表示ひょうじ一いち个相位い，相乘そうじょう就是指ゆび乘じょう以一个相位い。注意ちゅうい到いた，θしーた的てき值是以2πぱい为模，但ただし并不影かげ响我们相乘そうじょう的てき结果，所以ゆえん这些在ざいC空そら间内独立どくりつ的てき幺正算さん符ふ是ぜ有ゆう周期しゅうき性せい的てき。作さく为一个集合しゅうごう，这个周期しゅうき对应的てき群ぐん，我わが们称作さくU(1)。

一般いっぱん地ち说，酉とり矩のり阵是ぜ在ざい有限ゆうげん维的希まれ尔伯特とく空そら间下した的てき幺正算さん符ふ，所以ゆえん，幺正算さん符ふ的てき概念がいねん包括ほうかつ了りょう酉とり矩のり阵的概念がいねん。正せい交矩阵就是酉とり矩のり阵的一いち个特例れい，当とう酉とり矩のり阵中元素げんそ都と为实数すう。他た们是在ざいRⁿ上うえ的てき幺正算さん符ふ。

在ざい整数せいすう索引さくいん的てき序列じょれつ空そら间 $\ell ^{2}$ 上うえ的てき双そう边变换算符ふ（英えい语：shift operator）是ぜ单一的てき。一般いっぱん而言，在ざい一个希尔伯特空间中任何一个通过围绕标准正せい交基变换作用さよう的てき算さん符ふ都と是ぜ单一的てき。在ざい有限ゆうげん维的情じょう况下，这样的てき算さん符ふ就是排列はいれつ矩のり阵。单边变换（英えい语：shift operator）是ぜ一いち个等距算さん子こ（isometry），他た的てき共きょう轭是一个半同等距算子（coisometry）。