跡あと

在ざい线性代数だいすう中ちゅう，一いち個こ$n\times n$的てき矩のり陣じん$\mathbf {A}$的てき跡あと（或ある跡あと數すう），是ぜ指ゆび$\mathbf {A}$的てき主しゅ對角線たいかくせん（從したがえ左ひだり上方かみがた至いたる右みぎ下方かほう的てき對角線たいかくせん）上じょう各個かっこ元素げんそ的てき總和そうわ，一般いっぱん記き作さく$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )$或ある$\operatorname {Sp} (\mathbf {A} )$：

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} _{1,1}+\mathbf {A} _{2,2}+\cdots +\mathbf {A} _{n,n}$

其中$\mathbf {A} _{i,j}$代表だいひょう矩のり陣じん的てき第だいi行くだりj列れつ上じょう的てき元素げんそ的てき值。一個矩陣的跡是其特徵とくちょう值的てき總和そうわ（按代數すう重じゅう數すう計算けいさん）。

跡あと的てき英文えいぶん為ためtrace，是ぜ來き自じ德とく文ぶん中なか的てきSpur這個單たん字じ（與あずか英えい文中ぶんちゅう的てきSpoor是ぜ同どう源みなもと詞し），在ざい數學すうがく中ちゅう，通常つうじょう簡寫為ため「Sp」或ある「tr」。

例れい子こ

設しつらえ有ゆう矩のり陣じん：

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}$

它的跡あと是ぜ：

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}$ = 3 + 9 + 4 = 16

性質せいしつ

线性函数かんすう

給きゅう定じょう一いち個こ環たまき$\mathbb {R}$，跡あと是ぜ一個從係數在環中的$n\times n$矩のり陣じん的てき空間くうかん${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$射い到いた環たまき$\mathbb {R}$之これ上じょう的てき線せん性せい算さん子こ。也就是ぜ說せつ，對たい於任兩個りゃんこ$n\times n$的てき矩のり陣じん$\mathbf {A}$、$\mathbf {B}$和わ純量じゅんりょう$r$，都みやこ有ゆう：

$\mathrm {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )+\mathrm {tr} (\mathbf {B} )$

$\mathrm {tr} (r\cdot \mathbf {A} )=r\cdot \mathrm {tr} (\mathbf {A} )$

更進こうしん一いち步ほ來らい說せつ，當とう$\mathbb {R}$是ぜ一いち個こ域いき時とき，跡あと數すう函數かんすう$\mathrm {tr}$是これ$n\times n$矩のり陣じん的てき空間くうかん${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$上うえ的てき一いち個こ線せん性せい泛函。

由よし於一いち個こ矩のり陣じん$\mathbf {A}$的てき轉置てんち矩のり陣じん$\mathbf {A} ^{T}$的てき主しゅ對角線たいかくせん元素げんそ和かず原げん來らい矩のり陣じん的てき主しゅ對角線たいかくせん元素げんそ是ぜ一いち樣よう的てき，所以ゆえん任意にんい一個矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡：

$\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{T}\right)$

矩のり阵乘积的迹数

設しつらえA是ぜ一いち個こ$n\times m$矩のり陣じん，B是これ個こ$m\times n$矩のり陣じん，則のり：

$\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )$

其中$\mathbf {AB}$是ぜ一いち個こ$n\times n$矩のり陣じん，而$\mathbf {BA}$是ぜ一いち個こ$m\times m$矩のり陣じん。

上述じょうじゅつ的てき性質せいしつ可か以由矩のり陣じん乘法じょうほう的てき定義ていぎ證明しょうめい：

$\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {AB} )_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\mathbf {A} _{ij}\mathbf {B} _{ji}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{ji}\mathbf {A} _{ij}=\sum _{j=1}^{m}(\mathbf {BA} )_{jj}=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )$

如果$\mathbf {A}$和わ$\mathbf {B}$都みやこ是ただし$n\times n$的てき方形ほうけい矩のり陣じん，那な麼它們的乘じょう積せき$\mathbf {AB}$和わ$\mathbf {BA}$也會是ぜ方形ほうけい矩のり陣じん。因よし此，利用りよう這個結果けっか，可か以推導出どうしゅつ：計算けいさん若干じゃっかん個こ同樣どうよう大小だいしょう的てき方形ほうけい矩のり陣じん的てき乘じょう積せき的てき跡あと數すう時じ，可か以循環じゅんかん改變かいへん乘じょう積せき中ちゅう方形ほうけい矩のり陣じん相乘そうじょう的てき順序じゅんじょ，而最終さいしゅう的てき結果けっか不變ふへん。例れい如，有ゆう三さん個こ方形ほうけい矩のり陣じん$\mathbf {A}$、$\mathbf {B}$和わ$\mathbf {C}$，則のり：

$\mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )$

但ただし是ぜ要注意ようちゅうい：

$\mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )\neq \mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )$

更さら一般いっぱん地ち，乘じょう積せき中ちゅう的てき矩のり陣じん不ふ一定いってい要よう是ぜ方形ほうけい矩のり陣じん，只ただ要よう某ぼう一個循環改變後的乘積依然存在，那な麼得到いた的てき跡あと數すう依然いぜん會かい和わ原ばら來らい的てき跡あと數すう相そう同どう。

另外，如果$\mathbf {A}$、$\mathbf {B}$和わ$\mathbf {C}$是ぜ同樣どうよう大小だいしょう的てき方陣ほうじん而且還是ぜ對稱たいしょう矩のり陣じん的まと話ばなし，那な麼其乘じょう積せき的てき跡あと数すう不ふ只ただ在ざい循環じゅんかん置換ちかん下か不ふ會かい改變かいへん，而且在ざい所有しょゆう的てき置換ちかん下しも都と不ふ會かい改變かいへん：

$\mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CBA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BAC} )$

迹数的てき相似そうじ不ふ变性

跡あと數すう擁よう有ゆう相似そうじ不變ふへん性せい。如果矩のり陣じん$\mathbf {A}$和わ$\mathbf {B}$相似そうじ的まと話ばなし，它們會かい有ゆう相しょう同どう的てき跡あと。這一性質可使上面講過的循環性質來證明：

矩のり陣じん$\mathbf {A}$和わ$\mathbf {B}$相似そうじ也就是ぜ說せつ存在そんざい可逆かぎゃく矩のり陣じん$\mathbf {P}$，使つかい得とく$\mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}$

因いん此$\mathrm {tr} (\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1})=\mathrm {tr} (\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {P} \mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )$

矩のり阵迹数すう和わ特とく征せい多た项式

一いち个$n\times n$的てき方形ほうけい矩のり阵$\mathbf {A}$的てき特とく征せい多た项式$P_{A}(\lambda )$定てい义为$\mathbf {A}$减去$\lambda$倍ばい的てき单位矩のり阵后きさき所得しょとく到いた的てき矩のり阵的行列ぎょうれつ式しき：

$P_{A}(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )$

特とく征せい多た项式是ぜ一いち个关于$\lambda$的てきn次つぎ多た项式，它的常数じょうすう项是$\mathbf {A}$的てき行列ぎょうれつ式しき的てき值，最高さいこう次じ项是$(-1)^{n}\lambda ^{n}$，而接下か来らい的てきn-1次じ项就是ぜ$(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}$，也就是ぜ说：

$P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}+\cdots +\det(\mathbf {A} )$

矩のり阵迹数すう与あずか特とく征せい值

当とう系けい数すう域いき是ぜ代数だいすう闭域时（否いや则可以将系けい数すう域いき扩展到いた其代数すう闭包上じょう来らい看み），特とく征せい多た项式$P_{A}(\lambda )$有ゆうn个根ね，它可以表达成：

$P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}(\lambda -r_{1})^{\alpha _{1}}(\lambda -r_{2})^{\alpha _{2}}\cdots (\lambda -r_{k})^{\alpha _{k}}$

其中的てき$r_{1},r_{2}\cdots r_{k}$是ぜ特とく征せい多た项式的てき不同ふどう的てき根ね，而$\alpha _{1},\alpha _{2}\cdots \alpha _{k}$是ぜ这些根ね在ざい特とく征せい多た项式裡うら的てき重じゅう数すう，称しょう为代数すう重じゅう数すう。显然，所有しょゆう代だい数すう重じゅう数すう加か起おこり来らい等とう于n。一方いっぽう面めん，特とく征せい多た项式的てき根ね就是矩のり阵的特とく征せい值，而另一いち方面ほうめん，借か由よし根ね与あずか多た项式系けい数すう的てき关系可か以知道どう：特とく征せい多た项式的てき所有しょゆう的てき根ね加か起おこり来らい等とう于矩阵的迹数。所以ゆえん矩のり阵的迹数是ぜ矩のり阵的所有しょゆう特とく征せい值（按照代だい数すう重じゅう数すう计算）的てき和わ。

$\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\alpha _{1}r_{1}+\alpha _{2}r_{2}+\cdots +\alpha _{k}r_{k}$

如果将はた矩のり阵写成なり它的若わか尔当标准型がた的てき话，也可以看出で这一いち点てん，因いん为若わか尔当标准型がた的てき特とく征せい多た项式的てき所有しょゆう的てき根ね（包括ほうかつ重根しこね）就是对角线上的てき所有しょゆう元素げんそ。

如果不ふ区分くぶん相しょう同どう或ある不同ふどう的てき特とく征せい值的话，上述じょうじゅつ关系也可以写成なり：

$\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}$

其中的てき$\lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$是ぜ矩のり阵的特とく征せい值。 而且有ゆう：

$\forall m\in \mathbb {N} ,\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{m})=\lambda _{1}^{m}+\lambda _{2}^{m}+\cdots +\lambda _{n}^{m}$

線せん性せい映うつ射的しゃてき跡あと數すう

設しつらえ系けい数すう域いき为$\mathbb {K}$的てき$\mathbb {V}$是ぜ一いち個こ有限ゆうげん維的てき向むかい量りょう空間くうかん，維數是ぜn。給きゅう定てい任にん一いち線せん性せい映うつ射い$f:\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {V}$，可か以定義ていぎ此一映射的跡數為其变换矩のり阵的てき跡あと，即そく選定せんてい$\mathbb {V}$的てき一いち個こ基底きてい並なみ用よう對應たいおう於此基底きてい的てき一個方形矩陣描述$f$，再さい定義ていぎ這個方形ほうけい矩のり陣じん的てき跡あと數すう為ため$f$的てき跡あと數すう。這個定義ていぎ下か$f$的てき跡あと數すう和わ所しょ選せん取的とりてき基もと無關むせき：只ただ需要じゅよう注意ちゅうい到いた不同ふどう的てき基底きてい的てき選えらべ取ど實際じっさい上等じょうとう價か於對變換へんかん矩のり陣じん做一いち次じ相似そうじ變換へんかん，而兩個りゃんこ相似そうじ的てき矩のり陣じん的てき跡あと數すう是ぜ一いち樣よう的てき。因よし此這樣さま的てき定義ていぎ是ぜ自じ洽ひろし的てき。

另外一种定义涉及到行列式的性质。考こう虑$\mathbb {V}$的てき一いち个基底そこ${\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})$，以及函数かんすう：

$Sp:\;\;\;\quad \mathbb {V} ^{n}\qquad \;\quad \longrightarrow \quad \qquad \qquad \qquad \mathbb {K} \qquad \qquad \qquad ,$ $Sp:(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}\det(x_{1},x_{2},\cdots ,f(x_{i}),\cdots ,x_{n})$

根ね据すえ行列ぎょうれつ式しき理り论，这个函数かんすう也是一个行列式型的函数，也就是ぜ说存在そんざい一个只取决于$f$的まと量りょう$\mathrm {Sp} (f)$，使つかい得とく

$Sp(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\mathrm {Sp} (f)\cdot \det(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$

可か以证明あきら，这个纯量$\mathrm {Sp} (f)$就等于之前ぜん定てい义的$f$的てき跡あと數すう。

迹的梯はしご度ど

由よし迹的定てい义可知かち迹可以看作さく是ぜ矩のり阵的实标量りょう函数かんすう，所以ゆえん我わが们可以通过求实标量りょう函数かんすう的てき梯はしご度ど来らい求もとめ迹的梯はしご度ど。

单个矩のり阵

• A是ぜm×m矩のり阵时，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}={\mathbf {I} }_{m}$
• m×m矩のり阵A可逆かぎゃく时，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-2})^{T}$
• 对于两个向むこう量りょうx和わy的まと外がい积，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {xy}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {yx}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {y}}$

两个矩のり阵

• 若わかA为m×n矩のり阵，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A}$
• 若わかA为m×m矩のり阵，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{2})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} ^{T}$

• 若わかA为m×n矩のり阵，B是ぜm×n矩のり阵，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B}$
• 若わかA为m×n矩のり阵，B是ぜn×m矩のり阵，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} ^{T}$
• 当とうA和わB均ひとし为对称しょう矩のり阵时，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{T}-diag(\mathbf {B} )$

• 若わかA和わB都みやこ是ただしm×m矩のり阵，并且A是非ぜひ奇き异矩阵，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} ^{-1})^{T}$

參まいり見み

• 行列ぎょうれつ式しき
• 若わか尔当标准型がた
• 对角矩のり阵
• 三角さんかく矩のり阵
• 特とく征せい多た项式

参考さんこう书籍

• （中ちゅう文ぶん）张贤达. 矩のり阵分析与应用. 清きよし华大学がく出版しゅっぱん社しゃ. 2008. ISBN 9787302092711. 
• （英文えいぶん）Strang Gilbert. Linear algebra and its applications. Thomson, Brooks/Cole, Belmont, CA. 2006. ISBN 9780534422004. 
• （中ちゅう文ぶん）居きょ余あまり马、林はやし翠みどり琴きん. 线性代数だいすう. 清きよし华大学がく出版しゅっぱん社しゃ. 2002. ISBN 978-7-302-06507-4. 
• （英文えいぶん）Werner Hildbert Greub. linear algebra. Springer Verlag. 1975. ISBN 978-0-387-90110-7. 
• （英文えいぶん）Steven Roman. Advanced Linear Algebra. Springer. 2005. ISBN 0-387-24766-1. 
• （英文えいぶん）Carl Dean Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001. ISBN 978-0898714548. 

• （英文えいぶん）Karim M. Abadir,Jan R. Magnus. Matrix algebra. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0521537469.