跡あと

在ざい線せん性せい代數だいすう中ちゅう，一いち個こ$n\times n$的てき矩のり陣じん$\mathbf {A}$的てき跡あと（或ある跡あと數すう），是ぜ指ゆび$\mathbf {A}$的てき主しゅ對角線たいかくせん（從したがえ左ひだり上方かみがた至いたる右みぎ下方かほう的てき對角線たいかくせん）上じょう各個かっこ元素げんそ的てき總和そうわ，一般いっぱん記き作さく$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )$或ある$\operatorname {Sp} (\mathbf {A} )$：

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} _{1,1}+\mathbf {A} _{2,2}+\cdots +\mathbf {A} _{n,n}$

其中$\mathbf {A} _{i,j}$代表だいひょう矩のり陣じん的てき第だいi行くだりj列れつ上じょう的てき元素げんそ的てき值。一個矩陣的跡是其特徵とくちょう值的てき總和そうわ（按代數すう重じゅう數すう計算けいさん）。

跡あと的てき英文えいぶん為ためtrace，是ぜ來き自じ德とく文ぶん中なか的てきSpur這個單たん字じ（與あずか英えい文中ぶんちゅう的てきSpoor是ぜ同どう源みなもと詞し），在ざい數學すうがく中ちゅう，通常つうじょう簡寫為ため「Sp」或ある「tr」。

例れい子こ

設しつらえ有ゆう矩のり陣じん：

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}$

它的跡あと是ぜ：

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}$ = 3 + 9 + 4 = 16

性質せいしつ

線せん性せい函數かんすう

給きゅう定じょう一いち個こ環たまき$\mathbb {R}$，跡あと是ぜ一個從係數在環中的$n\times n$矩のり陣じん的てき空間くうかん${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$射い到いた環たまき$\mathbb {R}$之これ上じょう的てき線せん性せい算さん子こ。也就是ぜ說せつ，對たい於任兩個りゃんこ$n\times n$的てき矩のり陣じん$\mathbf {A}$、$\mathbf {B}$和わ純量じゅんりょう$r$，都みやこ有ゆう：

$\mathrm {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )+\mathrm {tr} (\mathbf {B} )$

$\mathrm {tr} (r\cdot \mathbf {A} )=r\cdot \mathrm {tr} (\mathbf {A} )$

更進こうしん一いち步ほ來らい說せつ，當とう$\mathbb {R}$是ぜ一いち個こ域いき時とき，跡あと數すう函數かんすう$\mathrm {tr}$是これ$n\times n$矩のり陣じん的てき空間くうかん${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$上うえ的てき一いち個こ線せん性せい泛函。

由よし於一いち個こ矩のり陣じん$\mathbf {A}$的てき轉置てんち矩のり陣じん$\mathbf {A} ^{T}$的てき主しゅ對角線たいかくせん元素げんそ和かず原げん來らい矩のり陣じん的てき主しゅ對角線たいかくせん元素げんそ是ぜ一いち樣よう的てき，所以ゆえん任意にんい一個矩陣和其轉置矩陣都會有相同的跡：

$\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{T}\right)$

矩のり陣じん乘じょう積せき的てき跡あと數すう

設しつらえA是ぜ一いち個こ$n\times m$矩のり陣じん，B是これ個こ$m\times n$矩のり陣じん，則のり：

$\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )$

其中$\mathbf {AB}$是ぜ一いち個こ$n\times n$矩のり陣じん，而$\mathbf {BA}$是ぜ一いち個こ$m\times m$矩のり陣じん。

上述じょうじゅつ的てき性質せいしつ可か以由矩のり陣じん乘法じょうほう的てき定義ていぎ證明しょうめい：

$\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {AB} )_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\mathbf {A} _{ij}\mathbf {B} _{ji}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{ji}\mathbf {A} _{ij}=\sum _{j=1}^{m}(\mathbf {BA} )_{jj}=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )$

如果$\mathbf {A}$和わ$\mathbf {B}$都みやこ是ただし$n\times n$的てき方形ほうけい矩のり陣じん，那な麼它們的乘じょう積せき$\mathbf {AB}$和わ$\mathbf {BA}$也會是ぜ方形ほうけい矩のり陣じん。因よし此，利用りよう這個結果けっか，可か以推導出どうしゅつ：計算けいさん若干じゃっかん個こ同樣どうよう大小だいしょう的てき方形ほうけい矩のり陣じん的てき乘じょう積せき的てき跡あと數すう時じ，可か以循環じゅんかん改變かいへん乘じょう積せき中ちゅう方形ほうけい矩のり陣じん相乘そうじょう的てき順序じゅんじょ，而最終さいしゅう的てき結果けっか不變ふへん。例れい如，有ゆう三さん個こ方形ほうけい矩のり陣じん$\mathbf {A}$、$\mathbf {B}$和わ$\mathbf {C}$，則のり：

$\mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )$

但ただし是ぜ要注意ようちゅうい：

$\mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )\neq \mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )$

更さら一般いっぱん地ち，乘じょう積せき中ちゅう的てき矩のり陣じん不ふ一定いってい要よう是ぜ方形ほうけい矩のり陣じん，只ただ要よう某ぼう一個循環改變後的乘積依然存在，那な麼得到いた的てき跡あと數すう依然いぜん會かい和わ原ばら來らい的てき跡あと數すう相そう同どう。

另外，如果$\mathbf {A}$、$\mathbf {B}$和わ$\mathbf {C}$是ぜ同樣どうよう大小だいしょう的てき方陣ほうじん而且還是ぜ對稱たいしょう矩のり陣じん的まと話ばなし，那な麼其乘じょう積せき的てき跡あと數すう不ふ只ただ在ざい循環じゅんかん置換ちかん下か不ふ會かい改變かいへん，而且在ざい所有しょゆう的てき置換ちかん下しも都と不ふ會かい改變かいへん：

$\mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CBA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BAC} )$

跡あと數すう的てき相似そうじ不變ふへん性せい

跡あと數すう擁よう有ゆう相似そうじ不變ふへん性せい。如果矩のり陣じん$\mathbf {A}$和わ$\mathbf {B}$相似そうじ的まと話ばなし，它們會かい有ゆう相しょう同どう的てき跡あと。這一性質可使上面講過的循環性質來證明：

矩のり陣じん$\mathbf {A}$和わ$\mathbf {B}$相似そうじ也就是ぜ說せつ存在そんざい可逆かぎゃく矩のり陣じん$\mathbf {P}$，使つかい得とく$\mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}$

因いん此$\mathrm {tr} (\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1})=\mathrm {tr} (\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {P} \mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )$

矩のり陣じん跡あと數すう和わ特徵とくちょう多項式たこうしき

一いち個こ$n\times n$的てき方形ほうけい矩のり陣じん$\mathbf {A}$的てき特徵とくちょう多項式たこうしき$P_{A}(\lambda )$定義ていぎ為ため$\mathbf {A}$減へ去ざ$\lambda$倍ばい的てき單位たんい矩のり陣じん後こう所得しょとく到いた的てき矩のり陣じん的てき行列ぎょうれつ式しき：

$P_{A}(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )$

特徵とくちょう多項式たこうしき是ぜ一いち個こ關せき於$\lambda$的てきn次つぎ多項式たこうしき，它的常數じょうすう項こう是ぜ$\mathbf {A}$的てき行列ぎょうれつ式しき的てき值，最高さいこう次項じこう是ぜ$(-1)^{n}\lambda ^{n}$，而接下か來らい的てきn-1次項じこう就是$(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}$，也就是ぜ說せつ：

$P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}+\cdots +\det(\mathbf {A} )$

矩のり陣じん跡あと數すう與あずか特徵とくちょう值

當とう係數けいすう域いき是ぜ代數だいすう閉域時じ（否いや則のり可か以將係數けいすう域いき擴展到いた其代數すう閉包へいほう上じょう來らい看み），特徵とくちょう多項式たこうしき$P_{A}(\lambda )$有ゆうn個こ根ね，它可以表達成たっせい：

$P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}(\lambda -r_{1})^{\alpha _{1}}(\lambda -r_{2})^{\alpha _{2}}\cdots (\lambda -r_{k})^{\alpha _{k}}$

其中的てき$r_{1},r_{2}\cdots r_{k}$是ぜ特徵とくちょう多項式たこうしき的てき不同ふどう的てき根ね，而$\alpha _{1},\alpha _{2}\cdots \alpha _{k}$是ぜ這些根ね在ざい特徵とくちょう多項式たこうしき裡うら的てき重じゅう數すう，稱しょう為ため代だい數すう重じゅう數すう。顯然けんぜん，所有しょゆう代だい數すう重じゅう數すう加か起おこり來らい等とう於n。一方いっぽう面めん，特徵とくちょう多項式たこうしき的てき根ね就是矩のり陣じん的てき特徵とくちょう值，而另一いち方面ほうめん，藉由根ね與あずか多項式たこうしき係數けいすう的てき關係かんけい可か以知道どう：特徵とくちょう多項式たこうしき的てき所有しょゆう的てき根ね加か起おこり來らい等とう於矩陣じん的てき跡あと數すう。所以ゆえん矩のり陣じん的てき跡あと數すう是ぜ矩のり陣じん的てき所有しょゆう特徵とくちょう值（按照代だい數すう重じゅう數すう計算けいさん）的てき和わ。

$\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\alpha _{1}r_{1}+\alpha _{2}r_{2}+\cdots +\alpha _{k}r_{k}$

如果將はた矩のり陣じん寫うつし成なり它的若わか爾しか當とう標準ひょうじゅん型がた的まと話ばなし，也可以看出で這一いち點てん，因よし為ため若わか爾しか當とう標準ひょうじゅん型がた的てき特徵とくちょう多項式たこうしき的てき所有しょゆう的てき根ね（包括ほうかつ重根しこね）就是對角線たいかくせん上じょう的てき所有しょゆう元素げんそ。

如果不ふ區分くぶん相しょう同どう或ある不同ふどう的てき特徵とくちょう值的話ばなし，上述じょうじゅつ關係かんけい也可以寫成なり：

$\mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}$

其中的てき$\lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$是ぜ矩のり陣じん的てき特徵とくちょう值。 而且有ゆう：

$\forall m\in \mathbb {N} ,\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{m})=\lambda _{1}^{m}+\lambda _{2}^{m}+\cdots +\lambda _{n}^{m}$

線せん性せい映うつ射的しゃてき跡あと數すう

設しつらえ係數けいすう域いき為ため$\mathbb {K}$的てき$\mathbb {V}$是ぜ一いち個こ有限ゆうげん維的てき向むかい量りょう空間くうかん，維數是ぜn。給きゅう定てい任にん一いち線せん性せい映うつ射い$f:\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {V}$，可か以定義ていぎ此一映射的跡數為其變換へんかん矩のり陣じん的てき跡あと，即そく選定せんてい$\mathbb {V}$的てき一いち個こ基底きてい並なみ用よう對應たいおう於此基底きてい的てき一個方形矩陣描述$f$，再さい定義ていぎ這個方形ほうけい矩のり陣じん的てき跡あと數すう為ため$f$的てき跡あと數すう。這個定義ていぎ下か$f$的てき跡あと數すう和わ所しょ選せん取的とりてき基もと無關むせき：只ただ需要じゅよう注意ちゅうい到いた不同ふどう的てき基底きてい的てき選えらべ取ど實際じっさい上等じょうとう價か於對變換へんかん矩のり陣じん做一いち次じ相似そうじ變換へんかん，而兩個りゃんこ相似そうじ的てき矩のり陣じん的てき跡あと數すう是ぜ一いち樣よう的てき。因よし此這樣さま的てき定義ていぎ是ぜ自じ洽ひろし的てき。

另外一種定義涉及到行列式的性質。考慮こうりょ$\mathbb {V}$的てき一いち個こ基底きてい${\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})$，以及函數かんすう：

$Sp:\;\;\;\quad \mathbb {V} ^{n}\qquad \;\quad \longrightarrow \quad \qquad \qquad \qquad \mathbb {K} \qquad \qquad \qquad ,$ $Sp:(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}\det(x_{1},x_{2},\cdots ,f(x_{i}),\cdots ,x_{n})$

根據こんきょ行列ぎょうれつ式しき理論りろん，這個函數かんすう也是一いち個こ行列ぎょうれつ式しき型がた的てき函數かんすう，也就是ぜ說せつ存在そんざい一個只取決於$f$的まと量りょう$\mathrm {Sp} (f)$，使つかい得とく

$Sp(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\mathrm {Sp} (f)\cdot \det(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$

可か以證明しょうめい，這個純量じゅんりょう$\mathrm {Sp} (f)$就等於之前ぜん定義ていぎ的てき$f$的てき跡あと數すう。

跡あと的てき梯はしご度ど

由よし跡あと的てき定義ていぎ可知かち跡あと可か以看作さく是ぜ矩のり陣じん的てき實じつ標しるべ量りょう函數かんすう，所以ゆえん我わが們可以通過つうか求もとめ實じつ標しるべ量りょう函數かんすう的てき梯はしご度ど來らい求もとめ跡あと的てき梯はしご度ど。

單たん個こ矩のり陣じん

• A是ぜm×m矩のり陣じん時じ，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}={\mathbf {I} }_{m}$
• m×m矩のり陣じんA可逆かぎゃく時じ，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-2})^{T}$
• 對たい於兩個りゃんこ向むこう量りょうx和わy的てき外積がいせき，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {xy}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {yx}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {y}}$

兩個りゃんこ矩のり陣じん

• 若わかA為ためm×n矩のり陣じん，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A}$
• 若わかA為ためm×m矩のり陣じん，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{2})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} ^{T}$

• 若わかA為ためm×n矩のり陣じん，B是ぜm×n矩のり陣じん，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B}$
• 若わかA為ためm×n矩のり陣じん，B是ぜn×m矩のり陣じん，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} ^{T}$
• 當とうA和わB均ひとし為ため對稱たいしょう矩のり陣じん時じ，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{T}-diag(\mathbf {B} )$

• 若わかA和わB都みやこ是ただしm×m矩のり陣じん，並なみ且A是非ぜひ奇異きい矩のり陣じん，有ゆう${\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} ^{-1})^{T}$

參まいり見み

• 行列ぎょうれつ式しき
• 若わか爾しか當とう標準ひょうじゅん型がた
• 對たい角かく矩のり陣じん
• 三角さんかく矩のり陣じん
• 特徵とくちょう多項式たこうしき

參考さんこう書籍しょせき

• （中ちゅう文ぶん）張ちょう賢けん達たち. 矩のり阵分析与应用. 清華せいか大學だいがく出版しゅっぱん社しゃ. 2008. ISBN 9787302092711. 
• （英文えいぶん）Strang Gilbert. Linear algebra and its applications. Thomson, Brooks/Cole, Belmont, CA. 2006. ISBN 9780534422004. 
• （中ちゅう文ぶん）居きょ余あまり馬ば、林はやし翠みどり琴きん. 线性代数だいすう. 清華せいか大學だいがく出版しゅっぱん社しゃ. 2002. ISBN 978-7-302-06507-4. 
• （英文えいぶん）Werner Hildbert Greub. linear algebra. Springer Verlag. 1975. ISBN 978-0-387-90110-7. 
• （英文えいぶん）Steven Roman. Advanced Linear Algebra. Springer. 2005. ISBN 0-387-24766-1. 
• （英文えいぶん）Carl Dean Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2001. ISBN 978-0898714548. 

• （英文えいぶん）Karim M. Abadir,Jan R. Magnus. Matrix algebra. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0521537469.