随ずい机つくえ变量

随ずい机つくえ变量是ぜ一いち種しゅ数学すうがく概念がいねん，用よう来らい表示ひょうじ随ずい机つくえ试验结果的てき变量。

簡介

随ずい机つくえ变量通どおり常用じょうよう大だい写字しゃじ母はは $X$ 、 $Y$ 表示ひょうじ。在ざい各かく种随机つくえ试验中ちゅう，每まい一いち个随ずい机つくえ事件じけん都と可か以用一个变量代替任何一个数值。例れい如擲骰子さいころ時どき擲出的てき点数てんすう是ぜ1,2,..,6中ちゅう的てき一いち个，其中的てき任意にんい一个点数都可以用变量 $X$ 来らい表示ひょうじ， $X$ 可か以=1，=2....=6，又また例れい如在产品的てき抽查中ちゅう，抽到正せい品しな可か以用“ $X$ =1”来らい表示ひょうじ，抽到次じ品ひん可か以用“ $X$ =0”来らい表示ひょうじ，这样 $X$ 又また可か以=1也可以=0。^[1]，随ずい机つくえ变量实质上じょう是ぜ函数かんすう。称しょう其为变量是ぜ指ゆび可か作さく为因いん变量。

正式せいしき定義ていぎ

随ずい机つくえ变量的てき定義ていぎ — $X:S\to \mathbb {R}$ 是ぜ一いち個こ定義ていぎ在ざい样本空そら间 $S$ 上うえ的てき实函数かんすう，而 ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$ 為ため $S$ 的てき某ぼう事件じけん族ぞく，若わか對たい任意にんい實數じっすう $r\in \mathbb {R}$ ，有ゆう：

\{s\in S\,|\,X(s)\leq r\}\in {\mathcal {E}}

（也就是ぜ說せつ，

X(s)\leq r

必為一いち個こ事件じけん）

則のり稱しょう函數かんすう $X$ 為ため一いち個こ（在ざい ${\mathcal {E}}$ 的てき意義いぎ下か）定義ていぎ在ざい $S$ 上うえ的てき随ずい机つくえ变量。

直觀ちょっかん上じょう，随ずい机つくえ变量為ため一いち種しゅ特殊とくしゅ的てき實じつ函數かんすう，其值不ふ大だい於某數すう的てき狀況じょうきょう都と是ぜ事件じけん。所以ゆえん一個函數是不是隨機變量也跟「怎樣的てき子こ集合しゅうごう算さん事件じけん」有ゆう密みつ不可分ふかぶん的てき關係かんけい。

如果随ずい机つくえ变量 $X$ 的てき取と值是有限ゆうげん的てき或ある者もの是これ可か数すう无穷尽つき的てき值：

X(S)=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,\}\cong \mathbb {N}

则称 $X$ 为离散随ずい机つくえ变量。如果 $X$ 的てき取と值遍布ぬの一区间甚至是整個數線：（ $a,\,b\in \mathbb {R}$ ）

X(S)=[a,\,b]

则称 $X$ 为连续随ずい机つくえ变量。

與あずか可か測はか函數かんすう的てき關係かんけい

如果取と ${\mathcal {I}}$ 為ため所有しょゆう實じつ開ひらく區間くかん所ところ構成こうせい的てき集合しゅうごう：

{\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}

则可以把博ひろし雷かみなり爾なんじ代數だいすう ${\mathcal {B}}$ 定義ていぎ為ため包含ほうがん ${\mathcal {I}}$ 的てき最小さいしょうΣしぐま-代数だいすう：

{\mathcal {B}}:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}

則のり根據こんきょ阿おもね基もと米まい德性とくせい質しつ，對たい任意にんい實數じっすう $r\in \mathbb {R}$ ， $(-\infty ,\,r]\in {\mathcal {B}}$ ，有ゆう以下いか的てき關係かんけい：

(r,\,\infty )=\bigcup \left\{A\in {\mathcal {I}}\,{\bigg |}\,(\exists n\in \mathbb {N} )\left[A=(r,\,n)\right]\right\}

(-\infty ,\,r]=\mathbb {R} -(r,\,\infty )

反はん之これ，也可以用類似るいじ的てき方法ほうほう，由ゆかり任意にんい的てき $(-\infty ,\,r]$ ，透過とうか并集和わ补集組合くみあい出で $(a,\,b)$ ：

(-\infty ,\,b)=\bigcup \left\{A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists n\in \mathbb {N} )\left[A=(-\infty ,\,b-{\frac {1}{n}}]\right]\right\}

(a,\,b)=\left(\mathbb {R} -(-\infty ,\,a]\right)\cup (-\infty ,b)

這樣的てき話ばなし，任意にんい的てき $r\in \mathbb {R}$ 都みやこ有ゆう $\{s\in S\,|\,X(s)\leq r\}\in {\mathcal {E}}$ ，等價とうか於對任意にんい的てき $a,\,b\in \mathbb {R}$ 都みやこ有ゆう $\{s\in S\,|\,a<X(s)<b\}\in {\mathcal {E}}$ ，這樣根據こんきょ可か测函数すう性せい质的てき定理ていり(2)，上うえ小節しょうせつ定義ていぎ的てき $X$ ，就是一いち個こ ${\mathcal {E}}$ - ${\mathcal {B}}$ 可か测函数すう，換かわ句く話はなし說せつ，随ずい机つくえ变量是ぜ可か測はか函數かんすう的てき一いち種しゅ特例とくれい。

範はん例れい

随ずい机つくえ掷两个骰子こ，整せい个样本空そら间由よし36个元素げんそ组成：

S=\left\{(i,j)\in \mathbb {N} ^{2}|(i\leq 6)\wedge (j\leq 6)\right\}

然しか後ご可か以簡單かんたん地ち把わ $S$ 的てき任意にんい子こ集合しゅうごう都と視し為ため事件じけん，換かわ句く話はなし說せつ，把わ事件じけん族ぞく ${\mathcal {E}}$ 取と成なり $S$ 的てき冪べき集しゅう：

{\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(S)

這樣的てき話ばなし，可か以構造こうぞう出で許多きょた定義ていぎ在ざい $S$ 上うえ的てき随ずい机つくえ变量，比ひ如 $X$ 可か以定義ていぎ為ため「两个骰子さいころ的てき点数てんすう和わ」；者しゃ $Y$ 可か以定義ていぎ為ため「两个骰子さいころ的てき点数てんすう差さ」：

X(i,j):=i+j

Y(i,j):=|i-j|

因いん為ため「两个骰子さいころ的てき点数てんすう和わ不ふ大だい於 $r$ 」和かず「两个骰子さいころ的てき点数てんすう差さ不ふ大だい於 $r$ 」的てき樣さま本ほん點てん所しょ構成こうせい的てき集合しゅうごう，都みやこ是ただし $S$ 的てき子こ集合しゅうごう，所以ゆえん $X$ 和わ $Y$ 都みやこ是ただし（在ざい ${\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(S)$ 的てき意義いぎ下か）定義ていぎ在ざい $S$ 上うえ的てき随ずい机つくえ变量，而且它們都と是ぜ离散随ずい机つくえ变量。

性せい质

不ふ确定性せい

随ずい机つくえ变量在ざい不同ふどう的てき条件下じょうけんか由よし于偶然ぐうぜん因いん素もと影かげ响，其可能取のとろ各かく种随机つくえ变量不同ふどう的てき值，具有ぐゆう不ふ确定性せい和わ随ずい机つくえ性せい，但ただし这些取值落在ざい某ぼう个范围的概がい率りつ是ぜ一定いってい的てき，此种变量称しょう为随机つくえ变量。随ずい机つくえ变量可か以是离散型がた的てき，也可以是连续型がた的てき。如分析ぶんせき测试中ちゅう的てき测定值就是ぜ一个以概率取值的随机变量，被ひ测定量的りょうてき取と值可能かのう在ざい某ぼう一范围内随机变化，具体ぐたい取と什么值在测定之の前ぜん是ぜ无法确定的てき，但ただし测定的てき结果是ぜ确定的てき，多た次つぎ重じゅう复测定てい所得しょとく到いた的てき测定值具有ぐゆう统计规律性せい。随ずい机つくえ变量与あずか模糊もこ变量的てき不ふ确定性的せいてき本ほん质差别在于，后きさき者しゃ的てき测定结果仍具有ぐゆう不ふ确定性せい，即そく模糊もこ性せい。

基本きほん类型

简单地ち说，随ずい机つくえ变量是ぜ指ゆび随ずい机つくえ事件じけん的てき数量すうりょう表ひょう现。某ぼう地ち若干じゃっかん名めい男性だんせい健康けんこう成人せいじん中ちゅう，每まい人ひと血ち红蛋白しろ量的りょうてき测定值；等とう等とう。另有一些现象并不直接表现为数量，例れい如人口じんこう的てき男女だんじょ性せい别、试验结果的てき阳性或ある阴性等とう，但ただし我わが们可以规定てい男性だんせい为1，女性じょせい为0，则非数量すうりょう标志也可以用数量すうりょう来らい表示ひょうじ。这些例れい子中こなか所しょ提ひっさげ到いた的てき量りょう，尽つき管かん它们的てき具体ぐたい内容ないよう是ぜ各かく式しき各かく样的，但ただし从数学がく观点来らい看み，它们表ひょう现了同一どういつ种情况，这就是ぜ每ごと个变量りょう都と可か以随机つくえ地ち取得しゅとく不同ふどう的てき数すう值，而在进行试验或ある测量之の前まえ，我わが们要预言这个变量将しょう取得しゅとく某ぼう个确定じょう的てき数すう值是不可能ふかのう的てき。按照随ずい机つくえ变量可能かのう取得しゅとく的てき值，可か以把它们分ぶん为两种基本きほん类型：

离散型がた随ずい机つくえ变量

即そく在ざい一定区间内变量取值为有限个，或ある数すう值可以一一いち列れつ举出来でき。例れい如某地区ちく某ぼう年ねん人口じんこう的てき出生しゅっしょう数すう、死亡しぼう数すう，某ぼう药治疗某病びょう病人びょうにん的てき有效ゆうこう数すう、无效数すう等とう

连续型がた随ずい机つくえ变量

即そく在ざい一定区间内变量取值有无限个，或ある数すう值无法ほう一いち一いち列れつ举出来でき。例れい如某地区ちく男性だんせい健康けんこう成人せいじん的てき身み长值、体重たいじゅう值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。

详细分析ぶんせき

表示ひょうじ方法ほうほう

随ずい机つくえ试验结果的てき量的りょうてき表示ひょうじ。例れい如掷一颗骰子出现的点数，电话交换台だい在ざい一定时间内收到的呼叫次数，随ずい机つくえ抽查的てき一いち个人的てき身み高だか，悬浮在ざい液体えきたい中ちゅう的てき微粒びりゅう沿某一いち方向ほうこう的てき位い移うつり，等とう等とう，都みやこ是ただし随ずい机つくえ变量的てき实例。一个随机试验的可能结果（称しょう为基本きほん事件じけん）的てき全体ぜんたい组成一个基本空间 $\Omega$ （见概率りつ）。随ずい机つくえ变量 $X$ 是ぜ定てい义于 $\Omega$ 上うえ的てき函数かんすう，即そく对每一いち基本きほん事件じけん $\omega \in \Omega$ ，有ゆう一いち数すう值 $X(\omega )$ 与あずか之これ对应。以掷一颗骰子的随机试验为例，它的所有しょゆう可能かのう结果，共きょう6个，分ふん别记作さく $\omega _{1}$ , $\omega _{2}$ , $\omega _{3}$ , $\omega _{4}$ , $\omega _{5}$ , $\omega _{6}$ ，这时， $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4},\omega _{5},\omega _{6}\}$ ，而出现的点数てんすう这个随ずい机つくえ变量 $X$ ，就是 $\Omega$ 上うえ的てき函数かんすう $X(\omega k)=k$ ， $k=1,2,\ldots ,6$ 。又また如设 $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\}$ 是ぜ要よう进行抽查的てき $n$ 个人的てき全体ぜんたい，那な么随意ずいい抽查其中一人ひとり的てき身み高和こうわ体重たいじゅう，就构成なり两个随ずい机つくえ变量 $X$ 和わ $Y$ ，它们分ぶん别是 $\Omega$ 上うえ的てき函数かんすう： $X(\omega k)=$ “ $\omega k$ 的てき身み高だか”， $Y(\omega k)=$ “ $\omega k$ 的てき体重たいじゅう”， $k=1,2,\ldots ,n$ 。一般いっぱん说来，一个随机变量所取的值可以是离散的（如掷一颗骰子的点数只取1到いた6的てき整数せいすう，电话台だい收おさむ到いた的てき呼よび叫さけべ次数じすう只ただ取と非ひ负整数すう），也可以充满一个数值区间，或ある整せい个实数すう轴（如液体たい中ちゅう悬浮的てき微粒びりゅう沿某一いち方向ほうこう的てき位い移うつり）。

研究けんきゅう方法ほうほう

在ざい研究けんきゅう随ずい机つくえ变量的てき性せい质时，确定和わ计算它取某ぼう个数值或落入某ぼう个数值区间内的てき概がい率りつ是ぜ特とく别重要じゅうよう的てき。因よし此，随ずい机つくえ变量取と某ぼう个数值或落入某ぼう个数值区间这样的基本きほん事件じけん的てき集合しゅうごう，应当属ぞく于所考こう虑的事件じけん域いき。根ね据すえ这样的てき直ちょく观想法ほう，利用りよう概がい率りつ论公理化りか的てき语言，取と实数值的随ずい机つくえ变量的てき数学すうがく定てい义可确切地表ちひょう述じゅつ如下：概がい率りつ空そら间 $(\Omega ,F,p)$ 上うえ的てき随ずい机つくえ变量 $X$ 是ぜ定てい义于 $\Omega$ 上うえ的てき实值可か测函数すう，即そく对任意にんい $\omega \in \Omega$ ， $X(\omega )$ 为实数すう，且对任意にんい实数 $x$ ，使つかい $X(\omega )\leq x$ 的てき一切いっさい $\omega$ 组成的てき $\Omega$ 的てき子こ集しゅう $\{\omega :X(\omega )\leq x\}$ 是ぜ事件じけん，也即是ぜ $F$ 中なか的てき元素げんそ。事件じけん $\{\omega :X(\omega )\leq x\}$ 常つね简记作さく $\{X\leq x\}$ ，并称函数かんすう $F(x)=p(X\leq x)$ ， $-\infty <x<\infty$ ，为 $X$ 的てき分布ぶんぷ函数かんすう。设 $X$ , $Y$ 是ぜ概がい率りつ空そら间 $(\Omega ,F,p)$ 上うえ的てき两个随ずい机つくえ变量，如果除去じょきょ一个零概率事件外， $X(\omega )$ 与あずか $Y(\omega )$ 相あい同どう，则称 $X=Y$ 以概率りつ1成立せいりつ，也记作さく $p(X=Y)=1$ 或ある $X=Y$ ,αあるふぁ.s.（αあるふぁ.s.意い即そく几乎必然ひつぜん）。

有ゆう些随机つくえ现象需要じゅよう同どう时用多た个随机つくえ变量来らい描述。例れい如对地ち面目めんぼく标射击，弹着点てん的てき位置いち需要じゅよう两个坐すわ标才能さいのう确定，因いん此研究けんきゅう它要同どう时考虑两个随机つくえ变量，一般いっぱん称しょう同一どういつ概がい率りつ空そら间 $(\Omega ,F,p)$ 上うえ的てき $n$ 个随机つくえ变量构成的てき $n$ 维向量りょう $X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 为 $n$ 维随机つくえ向むこう量りょう。随ずい机つくえ变量可か以看作さく一いち维随ずい机つくえ向むこう量りょう。称しょう $n$ 元もと $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 的てき函数かんすう为 $X$ 的てき（联合）分布ぶんぷ函数かんすう。又また如果 $(x_{1},x_{2})$ 为二维随机向量，则称 $x_{1}+ix_{2}(i^{2}=-1)$ 为复随ずい机つくえ变量。随ずい机つくえ变量的てき独立どくりつ性せい　独立どくりつ性せい是ぜ概がい率りつ论所独どく有ゆう的てき一いち个重要よう概念がいねん。设 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 是これ $n$ 个随机つくえ变量，如果对任何なに $n$ 个实数すう $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 都みやこ有ゆう即そく它们的てき联合分布ぶんぷ函数かんすう $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 等とう于它们各自かくじ的てき分布ぶんぷ函数かんすう $F1(x_{1}),F2(x_{2}),\ldots ,Fn(x_{n})$ 的てき乘じょう积。则称 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 是ぜ独立どくりつ的てき。这一定义可以直接推广到每一 $xk$ （ $k=1,2,\ldots ,n$ ）是ぜ随ずい机つくえ向こう量的りょうてき情じょう形がた。独立どくりつ性せい的てき直ちょく观意义是： $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 中なか的てき任にん何なん一个取值的概率规律，并不随ふずい其中的てき其他随ずい机つくえ变量取と什么值而改あらため变。在ざい实际问题中通なかとおり常用じょうよう它来表ひょう征せい多た个独立どくりつ操作そうさ的てき随ずい机つくえ试验结果或ある多た种有独立どくりつ来らい源げん的てき随ずい机つくえ因いん素的すてき概がい率りつ特性とくせい，因いん此它对于概がい率りつ统计的てき应用是ぜ十じゅう分ふん重要じゅうよう的てき。

从随机つくえ变量（或ある向こう量りょう） $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 的てき独立どくりつ性せい还可以推出で：设 $Bk$ 是これ $xk$ 取と值的空そら间中的てき任意にんい波なみ莱尔集しゅう， $k=1,2,\ldots ,n$ 。设 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 是ぜ独立どくりつ的てき，则它们中的てき任意にんい个都是ぜ独立どくりつ的てき。但ただし逆ぎゃく之の即そく使つかい其中任にん何なに $n-1$ 个是独立どくりつ的てき，也不保ほ证 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 是ぜ独立どくりつ的てき。又また如果 $fj(x),i=1,2,\ldots ,n$ ，是ぜ $n$ 个连续函数かんすう或ある初等しょとう函数かんすう(或ある更さら一般いっぱん的てき波なみ莱尔可か测函数すう)，则从 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 的てき独立どくりつ性せい可か推出 $f1(x_{1}),f2(x_{2}),\ldots ,fn(x_{n})$ 也独立どくりつ。如果随ずい机つくえ变量(随ずい机つくえ向むこう量りょう)序列じょれつ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots$ 中ちゅう任にん何なん有限ゆうげん个都独立どくりつ，则称之の为独立どくりつ随ずい机つくえ变量（随ずい机つくえ向むこう量りょう）序列じょれつ。关于随ずい机つくえ变量的てき矩のり、特とく征せい函数かんすう、母はは函数かんすう及半不ふ变量，分ふん别见数学すうがく期き望もち、方かた差さ、動どう差さ及概がい率りつ分布ぶんぷ。