中位ちゅうい數すう

統計とうけい學がく上うえ，中位ちゅうい數すう（英語えいご：Median），又また稱たたえ中央ちゅうおう值、中ちゅう值，是ぜ一いち個こ樣さま本ほん、種たね群ぐん或ある概がい率りつ分ぶん佈中之なかの一いち個こ數すう值，其可將しょう數すう值集合しゅうごう劃分爲ため数量すうりょう相等そうとう的てき上下じょうげ兩りょう部分ぶぶん。對たい於有限げん的てき數すう集しゅう，可か以通過つうか把わ所有しょゆう觀かん察值高低こうてい排はい序じょ後ご找出正中せいちゅう間あいだ的てき一いち個こ作爲さくい中位ちゅうい數すう。如果觀察かんさつ值有偶數ぐうすう個こ，則のり中位ちゅうい數すう不ふ唯一ゆいいつ，通常つうじょう取と最中さいちゅう間あいだ的てき兩個りゃんこ數すう值的平均へいきん數すう作爲さくい中位ちゅうい數すう。

一個數集中最多有一半的數值小於中位數，也最多た有ゆう一半的數值大於中位數。如果大だい於和小しょう於中位い數すう的てき數すう值個數すう均ひとし少しょう於一半いっぱん，那な麽數集中しゅうちゅう必有若干じゃっかん值等同どう於中位い數すう。

设连续随ずい机つくえ变量X的てき分布ぶんぷ函数かんすう为F(X)，那な么满足あし条件じょうけんP(X≤m)=F(m)=1/2的てき数すう称しょう为X或ある分布ぶんぷF的中てきちゅう位い数すう。

对于一いち组有限ゆうげん个数的てき数かず据すえ来らい说，其中位い数すう是ぜ这样的てき一いち种数：这群数すう据すえ的てき一半的数据比它大，而另外がい一いち半数はんすう据すえ比ひ它小。

计算有限ゆうげん个数的てき数すう据すえ的中てきちゅう位い数すう的てき方法ほうほう是ぜ：把わ所有しょゆう的てき同どう类数据すえ按照大小だいしょう的てき顺序排列はいれつ。如果数すう据すえ的てき个数是ぜ奇数きすう，则中间那个数据すえ就是这群数すう据すえ的中てきちゅう位い数すう；如果数すう据すえ的てき个数是ぜ偶数ぐうすう，则中间那2个数据すえ的てき算さん术平均へいきん值就是这群数すう据すえ的てき中位ちゅうい数すう。

公式こうしき

實數じっすう$x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$按大小しょう順序じゅんじょ（順序じゅんじょ，降くだ序じょ皆みな可か）排列はいれつ為ため$x'_{1},x'_{2},\dots ,x'_{n}$、

實數じっすう數列すうれつ$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$的中てきちゅう位い數すう $\mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)$ 為ため

$\mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)={\begin{cases}x'_{\frac {n+1}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd number.}}\\{\frac {1}{2}}(x'_{\frac {n}{2}}+x'_{{\frac {n}{2}}+1}),&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even number.}}\end{cases}}$

其中 odd number 表示ひょうじ奇數きすう，even number 表示ひょうじ偶數ぐうすう。

中位ちゅうい數すう特性とくせい

中位ちゅうい數すう在ざい敘述統計とうけい學がく上じょう和わ平均へいきん数すう、众数並列へいれつ為ため數すう據よりどころ的てき集中しゅうちゅう趨勢すうせい。三者的位置排序亦對應著偏へん度ど的てき正負せいふ偏へん態たい意義いぎ。一般いっぱん而言，平均へいきん數すう是ぜ最さい常つね被ひ使用しよう做為數すう據よりどころ的てき集中しゅうちゅう趨勢すうせい，但ただし如果有ゆう極端きょくたん值存在そんざい，平均へいきん數すう的てき代表だいひょう性せい降くだ低てい，也就所謂いわゆる的てき「男おとこ人じん女人にょにん平均へいきん一いち顆睪丸」的てき問題もんだい，因いん此在有ゆう極端きょくたん值的狀況じょうきょう下か，中位ちゅうい數すう是ぜ比較ひかく好このみ的てき集中しゅうちゅう趨勢すうせい代表だいひょう。因よし此，在ざい各國かっこく的てき每ごと人じん所得しょとく分布ぶんぷ上じょう，通常つうじょう以中位い數すう代表だいひょう集中しゅうちゅう趨勢すうせい，而非平均へいきん數すう。

中位ちゅうい數すう通常つうじょう出で現在げんざい描述统计学がく和わ無む母はは數すう統計とうけい，有ゆう母はは數すう的てき統計とうけい分析ぶんせき很少提ひさげ及。中位ちゅうい數すう為ため集中しゅうちゅう趨勢すうせい時じ，對應たいおう的てき離散りさん趨勢すうせい係數けいすう為ため平均へいきん絕對ぜったい離はなれ差さ（Mean absolute deviation, MAD）或ある是ぜ四よん位い位い距(Q3 - Q1)。不ふ過か如果論及ろんきゅう母體ぼたい中位ちゅうい數すう的てき統計とうけい量りょう時じ，仍需根據こんきょ統計とうけい分析ぶんせき對たい抽樣分配ぶんぱい的てき要求ようきゅう，尋ひろ找母體ぼたい中位ちゅうい數すう統計とうけい量的りょうてき期き望もち值與變異へんい數すう，再さい依よ照あきら點てん估計的てき充分じゅうぶん、不偏ふへん、效率こうりつ、一致いっち性せい進行しんこう討論とうろん。而母體ぼたい中位ちゅうい數すう的てき統計とうけい量りょう通常つうじょう是ただし樣さま本ほん中位ちゅうい數すう。因よし此，樣さま本ほん中位ちゅうい數すう的てき期き望もち值與變異へんい數すう就值得とく被ひ討論とうろん，進行しんこう基礎きそ研究けんきゅう。

常態じょうたい分配ぶんぱい下か的てき中位ちゅうい數すう

常態じょうたい分配ぶんぱい下か的てき平均へいきん數すう、中位ちゅうい數すう、眾數都と是ぜ同どう一いち個こ位置いち。目前もくぜん最さい為ため世人せじん熟知じゅくち的てき是ぜ平均へいきん數すう的てき抽樣分配ぶんぱい會かい是ぜ常態じょうたい分配ぶんぱい，期き望もち值為母體ぼたい平均へいきん數すう$\mu$且變異數いすう為ため母體ぼたい變異へんい數すう($\sigma _{2}$)。統計とうけい學がく對たい常態じょうたい分配ぶんぱい的てき母體ぼたい平均へいきん數すう統計とうけい量りょう說明せつめい甚多，並なみ發展はってん完かん善ぜん。那な麼中位い數すう可か基もと於機率りつ分配ぶんぱい模擬もぎ器き和わ數すう值分析ぶんせき發展はってん，在ざいn個こ獨立どくりつ隨ずい機き變數へんすう來き自じ常態じょうたい分配ぶんぱい可か生成せいせいn個こ隨ずい機き樣さま本ほん，則のりE(樣さま本ほん中位ちゅうい數すう)=$\mu$且Var(樣さま本ほん中位ちゅうい數すう)=$\sigma _{2}k(n)$，其中，k(n)受到樣さま本ほん個數こすう(n)影響えいきょう。當とう樣さま本ほん個數こすう介かい於2至いたり200時じ，兩者りょうしゃ的てき關係かんけい不明ふめい顯あらわ，但ただし可か計算けいさん出樣でよう本ほん個數こすう和わk(n)的てき關聯かんれん表ひょう。

k(n)和わn的てき對應たいおう表ひょう

n	k(n)	n	k(n)	n	k(n)
2	0.500267128	70	0.021985179	138	0.011271806
3	0.448703237	71	0.021403637	139	0.011269587
4	0.298172500	72	0.021393271	140	0.011109049
5	0.286770401	73	0.020840845	141	0.011111745
6	0.214713620	74	0.020830427	142	0.010959968
7	0.210476952	75	0.020295864	143	0.010962027
8	0.168172011	76	0.020294599	144	0.010810205
9	0.166171644	77	0.019776971	145	0.010809127
10	0.138304145	78	0.019777466	146	0.010661452
11	0.137221972	79	0.019291777	147	0.010659591
12	0.117603985	80	0.019294767	148	0.010513172
13	0.116875871	81	0.018831955	149	0.010523498
14	0.102209683	82	0.018826854	150	0.010377973
15	0.101704592	83	0.018394657	151	0.010379735
16	0.090397468	84	0.018390467	152	0.010244606
17	0.090046842	85	0.017972657	153	0.010247290
18	0.081017991	86	0.017972309	154	0.010109136
19	0.080776427	87	0.017567447	155	0.010114347
20	0.073450103	88	0.017564340	156	0.009986419
21	0.073284584	89	0.017187295	157	0.009984465
22	0.067168338	90	0.017189110	158	0.009862704
23	0.067002164	91	0.016812903	159	0.009858886
24	0.061881619	92	0.016813666	160	0.009735345
25	0.061762647	93	0.016466660	161	0.009736185
26	0.057309720	94	0.016462668	162	0.009617128
27	0.057271174	95	0.016125488	163	0.009619325
28	0.053440064	96	0.016119237	164	0.009501480
29	0.053332370	97	0.015802880	165	0.009502525
30	0.049992614	98	0.015797856	166	0.009389839
31	0.049937448	99	0.015492872	167	0.009388423
32	0.047029351	100	0.015490432	168	0.009279058
33	0.046965211	101	0.015190773	169	0.009277712
34	0.044337988	102	0.015189776	170	0.009169514
35	0.044336558	103	0.014904567	171	0.009169768
36	0.041990927	104	0.014896640	172	0.009061071
37	0.041942218	105	0.014628725	173	0.009060657
38	0.039852927	106	0.014623638	174	0.008961003
39	0.039832458	107	0.014359452	175	0.008957769
40	0.037939073	108	0.014359166	176	0.008860612
41	0.037904745	109	0.014100614	177	0.008859363
42	0.036184274	110	0.014104129	178	0.008762802
43	0.036152192	111	0.013856818	179	0.008760489
44	0.034579591	112	0.013854712	180	0.008665028
45	0.034577569	113	0.013609600	181	0.008663662
46	0.033133177	114	0.013610680	182	0.008571695
47	0.033118807	115	0.013383360	183	0.008570240
48	0.031791145	116	0.013382329	184	0.008475410
49	0.031783399	117	0.013153728	185	0.008477845
50	0.030548873	118	0.013156167	186	0.008388634
51	0.030533811	119	0.012938560	187	0.008384818
52	0.029411882	120	0.012939455	188	0.008300454
53	0.029402885	121	0.012729706	189	0.008300175
54	0.028347691	122	0.012731381	190	0.008214157
55	0.028342062	123	0.012533040	191	0.008211878
56	0.027348747	124	0.012525181	192	0.008130539
57	0.027350473	125	0.012333899	193	0.008128310
58	0.026442809	126	0.012334408	194	0.008045347
59	0.026436289	127	0.012141084	195	0.008041810
60	0.025573242	128	0.012138522	196	0.007964784
61	0.025575279	129	0.011964057	197	0.007961234
62	0.024780610	130	0.011961887	198	0.007882679
63	0.024751923	131	0.011782874	199	0.007882009
64	0.024005574	132	0.011779941	200	0.007806200
65	0.024006688	133	0.011604216	201	0.007801090
66	0.023304209	134	0.011600908	202	0.007729016
67	0.023287460	135	0.011433315	203	0.007728333
68	0.022616908	136	0.011438587	204	0.007654504
69	0.022624425	137	0.011271806	205	0.007652196

如果樣さま本ほん個數こすう超過ちょうか200，但ただし不ふ超過ちょうか1000時じ，兩者りょうしゃ有明ありあけ顯あらわ的てき關係かんけい，並なみ且受到樣さま本ほん個數こすう是ぜ否ひ為ため奇數きすう或ある偶數ぐうすう影響えいきょう。此時可か使用しよう迴歸分析ぶんせき尋ひろ找兩者しゃ的てき關係かんけい。

1. 樣さま本ほん個數こすう為ため偶數ぐうすう，迴歸式しき為ためk(n) = 0.0000148965 + 1.5599936862 / n。

2. 樣さま本ほん個數こすう為ため奇數きすう，迴歸式しき為ためk(n) = 0.0000084608 + 1.5674001064 / n。

由よし此可得え到いた樣よう本ほん中位ちゅうい數すう的てき變異へんい數すう和わ母體ぼたい常態じょうたい分配ぶんぱい的てき變異へんい數すう形成けいせい穩定的てき對應たいおう關係かんけい。

外部がいぶ链接

• Calculating the median
• A problem involving the mean, the median, and the mode.（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• mathworld: Statistical Median（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

本ほん條目じょうもく含有がんゆう来らい自じPlanetMath《Median of a distribution》的てき內容，版はん权遵守じゅんしゅ知ち识共享とおる协议：署名しょめい-相あい同どう方式ほうしき共ども享とおる协议。