切きり比ひ雪夫ゆきお不等式ふとうしき

切きり比ひ雪夫ゆきお不等式ふとうしき（英語えいご：Chebyshev's Inequality），是ぜ概がい率りつ论中なか的てき一いち个不等式とうしき，顯示けんじ了りょう隨ずい機き變量へんりょう的てき「幾いく乎所有しょゆう」值都會かい「接近せっきん」平均へいきん。在ざい20世せい纪30年代ねんだい至いたり40年代ねんだい刊行かんこう的てき书中，其被称しょう为比奈梅不等式ふとうしき（Bienaymé Inequality）或ある比奈ひな梅うめ-切きり比ひ雪夫ゆきお不等式ふとうしき（Bienaymé-Chebyshev Inequality）。切きり比ひ雪夫ゆきお不等式ふとうしき对任何なん分布ぶんぷ数すう据すえ都と适用。

切きり比ひ雪夫ゆきお不等式ふとうしき可か表示ひょうじ为以下か形式けいしき：对于任にん何なに随ずい机つくえ变量 $X$ 和かず实数 $b>0$ ，都みやこ有ゆう $P(|X-E(X)|\geq b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}$ ，其中 $E(X)$ 表示ひょうじ $X$ 的てき数学すうがく期き望もち， $Var(X)$ 为 $X$ 的てき方かた差さ。

概念がいねん[编辑]

這個不等式ふとうしき以數量すうりょう化か這方式しき來らい描述，究竟きゅうきょう「幾いく乎所有しょゆう」是ぜ多少たしょう，「接近せっきん」又また有ゆう多た接近せっきん：

與あずか平均へいきん相しょう差さ2個こ標準ひょうじゅん差さ以上いじょう的てき值，數かず目め不ふ多た於1/4
與あずか平均へいきん相しょう差さ3個こ標準ひょうじゅん差さ以上いじょう的てき值，數かず目め不ふ多た於1/9
與あずか平均へいきん相しょう差さ4個こ標準ひょうじゅん差さ以上いじょう的てき值，數かず目め不ふ多た於1/16

……

與平よへい均ひとし相差おうさつk個こ標準ひょうじゅん差さ以上いじょう的てき值，數かず目め不ふ多た於1/k²

舉例說せつ，若わか一いち班はん有ゆう36個こ學生がくせい，而在一いち次じ考試こうし中ちゅう，平均へいきん分ぶん是ぜ80分ふん，標準ひょうじゅん差さ是ぜ10分ふん，我わが們便可か得とく出で結論けつろん：少しょう於50分ふん或ある多た於110分ふん（與平よへい均ひとし相差おうさつ3個こ標準ひょうじゅん差さ以上いじょう）的てき人じん，數かず目め不ふ多た於4個こ（=36*1/9）。
公式こうしき： $P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$

推论[编辑]

測度そくど論ろん說法せっぽう[编辑]

設しつらえ(X,Σしぐま,μみゅー)為一ためいち測度そくど空間くうかん，f為ため定義ていぎ在ざいX上うえ的てき廣こう義實よしざね值可か測はか函數かんすう。對たい於任意にんい實數じっすうt > 0，

\mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .

一般いっぱん而言，若わかg是非ぜひ負ふ廣義こうぎ實じつ值可測はか函數かんすう，在ざいf的てき定義ていぎ域いき非ひ降くだ，則のり有ゆう

\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .

上面うわつら的てき陳述ちんじゅつ，可か透過とうか以|f|取と代がわf，再さい取と如下定義ていぎ而得：

g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}

概がい率りつ論說ろんせつ法ほう[编辑]

設しつらえ $X$ 為ため隨ずい機き變量へんりょう，期き望もち值為ため $\mu$ ，标准差さ為ため $\sigma$ 。對たい於任何なん實數じっすうk>0，

\Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.

改あらため進すすむ[编辑]

一般いっぱん而言，切きり比ひ雪夫ゆきお不等式ふとうしき給きゅう出で的てき上うえ界かい已やめ無法むほう改あらため進しん。考慮こうりょ下面かめん例れい子こ：

\Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})

\Pr(X=0)=1-1/k^{2}

這個分布ぶんぷ的てき標準ひょうじゅん差さ $\sigma =1/k$ ， $\mu =0$ 。

对于任意にんい分布ぶんぷ形がた态的数すう据すえ，根ね据すえ切きり比ひ雪夫ゆきお不等式ふとうしき，至いたり少しょう有ゆう $1-1/k^{2}$ 的まと数すう据すえ落在k个标准じゅん差さ之これ内ない。其中k>1，但ただし不ふ一定いってい是ぜ整数せいすう。

當とう只ただ求もとめ其中一いち邊へん的てき值的時候じこう，有ゆうCantelli不等式ふとうしき：

\Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.

[1] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

證明しょうめい[编辑]

定義ていぎ $~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}$ ，設しつらえ $1_{A_{t}}$ 為ため集しゅう $~A_{t}$ 的てき指示しじ函数かんすう，有ゆう

0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,

g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .

又また可か從したがえ馬うま爾しか可か夫おっと不等式ふとうしき直接ちょくせつ證明しょうめい：馬うま氏し不等式ふとうしき說明せつめい對たい任意にんい隨ずい機き變量へんりょうY和かず正數せいすうa有ゆう $\Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a$ 。取と $Y=(X-\mu )^{2}$ 及 $a=(k\sigma )^{2}$ 。