累るい积分布ぶんぷ函数かんすう

指数しすう分布ぶんぷ的てき累るい积分布ぶんぷ函数かんすう

正せい态分布ぶんぷ的てき累るい积分布ぶんぷ函数かんすう

累るい积分布ぶんぷ函数かんすう（英語えいご：cumulative distribution function，CDF）或ある概がい率りつ分布ぶんぷ函数かんすう，简称分布ぶんぷ函数かんすう，是ぜ概がい率りつ密度みつど函數かんすう的てき积分，能のう完かん整せい描述一いち個こ實みのる随ずい机つくえ变量$X$的てき概がい率りつ分ぶん佈。

在ざい標しるべ量りょう連續れんぞく分ぶん佈的てき情況じょうきょう下か，它給出で了りょう從したがえ負ふ無窮むきゅう到いた$x$的てき概がい率りつ密度みつど函數かんすう下した的てき面積めんせき。 累積るいせき分ぶん佈函數すう也用於指定してい多元たげん隨ずい機き變量へんりょう的まと分ぶん佈。

定義ていぎ

對たい於所有しょゆう實數じっすう值的随ずい机つくえ变量$X$ ，累るい积分布ぶんぷ函数かんすう定義ていぎ如下：

$$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)$$

Eq.1

其中右みぎ侧表示ひょうじ随ずい机つくえ变量$x$取と值小于或等とう于$x$的てき概がい率りつ。

對たい於$X$位くらい于半闭区间$(a,b]$ 的てき概がい率りつ，其中$a<b$，因いん此定義ていぎ是ぜ:

$$\operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$$

Eq.2

在ざい上面うわつら的てき定義ていぎ中ちゅう，“小しょう於或等とう於”符號ふごう“≤”是ぜ一いち種しゅ約定やくじょう，不ふ是ぜ普遍ふへん使用しよう的てき（例れい如匈牙きば利り文獻ぶんけん使用しよう“<”），但ただし這種區別くべつ對たい於離散りさん分ぶん佈很重要じゅうよう。二に項こう式しき分布ぶんぷ和わ泊とまり松まつ分布ぶんぷ的まと表ひょう格かく的てき正確せいかく使用しよう取と決けつ於此約定やくじょう。此外，像ぞう數學すうがく家か保ほ羅ら·皮がわ埃ほこり爾なんじ·萊維(Paul Lévy)的てき特徵とくちょう函數かんすう反はん演えんじ公式こうしき等とう重要じゅうよう公式こうしき也依賴いらい於“小しょう於或等とう於”公式こうしき。

性質せいしつ

• 有界ゆうかい性せい
  • $\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$
  • $\lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$
• 單調たんちょう性せい：
  • $F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}$
• 右みぎ連續れんぞく性せい：
  • $\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})$

$X$之これ值落在ざい一いち區間くかん$(a,b]$之これ內的機き率りつ為ため

$\operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$

一いち隨ずい機き變數へんすう$X$的てきCDF與あずか其PDF的てき關係かんけい為ため

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt$

反はん函数かんすう

若わか累るい积分布ぶんぷ函数かんすう $F$ 是ぜ连续的てき严格增ぞう函数かんすう，则存在そんざい其反はん函数かんすう$F^{-1}(y),y\in [0,1]$。累るい积分布ぶんぷ函数かんすう的てき反はん函数かんすう可か以用来らい生成せいせい服ふく从该随ずい机つくえ分布ぶんぷ的てき随ずい机つくえ变量。设若$F_{X}(x)$是ぜ概がい率りつ分布ぶんぷ$X$的てき累るい积分布ぶんぷ函数かんすう，并存在そんざい反はん函数かんすう$F_{X}^{-1}$。若わか$a$是これ$[0,1)$区く间上均ひとし匀分布ぶんぷ的てき随ずい机つくえ变量，则$F_{X}^{-1}(a)$服ふく从$X$分布ぶんぷ。

互补累るい积分布ぶんぷ函数かんすう

互补累積るいせき分布ぶんぷ函数かんすう（complementary cumulative distribution function、CCDF），是ぜ对连续函数すう，所有しょゆう大だい于$a$的てき值，其出现概率りつ的てき和わ。

$F(a)=P(x>a)$

參まいり見み

• 機き率りつ密度みつど函數かんすう
• 機き率りつ質量しつりょう函數かんすう