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指数 しすう 分布 ぶんぷ 的 てき 累 るい 积分布 ぶんぷ 函数 かんすう
正 せい 态分布 ぶんぷ 的 てき 累 るい 积分布 ぶんぷ 函数 かんすう
累 るい 积分布 ぶんぷ 函数 かんすう (英語 えいご :cumulative distribution function ,CDF)或 ある 概 がい 率 りつ 分布 ぶんぷ 函数 かんすう ,简称分布 ぶんぷ 函数 かんすう ,是 ぜ 概 がい 率 りつ 密度 みつど 函數 かんすう 的 てき 积分,能 のう 完 かん 整 せい 描述一 いち 個 こ 實 みのる 随 ずい 机 つくえ 变量
X
{\displaystyle X}
的 てき 概 がい 率 りつ 分 ぶん 佈 。
在 ざい 標 しるべ 量 りょう 連續 れんぞく 分 ぶん 佈的 てき 情況 じょうきょう 下 か ,它給出 で 了 りょう 從 したがえ 負 ふ 無窮 むきゅう 到 いた
x
{\displaystyle x}
的 てき 概 がい 率 りつ 密度 みつど 函數 かんすう 下 した 的 てき 面積 めんせき 。 累積 るいせき 分 ぶん 佈函數 すう 也用於指定 してい 多元 たげん 隨 ずい 機 き 變量 へんりょう 的 まと 分 ぶん 佈。
對 たい 於所有 しょゆう 實數 じっすう 值的随 ずい 机 つくえ 变量
X
{\displaystyle X}
,累 るい 积分布 ぶんぷ 函数 かんすう 定義 ていぎ 如下[ 1] :p. 77 :
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
Eq.1
其中右 みぎ 侧表示 ひょうじ 随 ずい 机 つくえ 变量
x
{\displaystyle x}
取 と 值小于或等 とう 于
x
{\displaystyle x}
的 てき 概 がい 率 りつ 。
對 たい 於
X
{\displaystyle X}
位 くらい 于半闭区间
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
的 てき 概 がい 率 りつ ,其中
a
<
b
{\displaystyle a<b}
,因 いん 此定義 ていぎ 是 ぜ [ 1] :p. 84 :
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
Eq.2
在 ざい 上面 うわつら 的 てき 定義 ていぎ 中 ちゅう ,“小 しょう 於或等 とう 於”符號 ふごう “≤”是 ぜ 一 いち 種 しゅ 約定 やくじょう ,不 ふ 是 ぜ 普遍 ふへん 使用 しよう 的 てき (例 れい 如匈牙 きば 利 り 文獻 ぶんけん 使用 しよう “<”),但 ただし 這種區別 くべつ 對 たい 於離散 りさん 分 ぶん 佈很重要 じゅうよう 。二 に 項 こう 式 しき 分布 ぶんぷ 和 わ 泊 とまり 松 まつ 分布 ぶんぷ 的 まと 表 ひょう 格 かく 的 てき 正確 せいかく 使用 しよう 取 と 決 けつ 於此約定 やくじょう 。此外,像 ぞう 數學 すうがく 家 か 保 ほ 羅 ら ·皮 がわ 埃 ほこり 爾 なんじ ·萊維 (Paul Lévy)的 てき 特徵 とくちょう 函數 かんすう 反 はん 演 えんじ 公式 こうしき 等 とう 重要 じゅうよう 公式 こうしき 也依賴 いらい 於“小 しょう 於或等 とう 於”公式 こうしき 。
有界 ゆうかい 性 せい [ 2]
lim
x
→
−
∞
F
X
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}
lim
x
→
+
∞
F
X
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}
單調 たんちょう 性 せい :
F
X
(
x
1
)
≤
F
X
(
x
2
)
,
if
x
1
<
x
2
{\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}}
右 みぎ 連續 れんぞく 性 せい :
lim
x
→
x
0
+
F
X
(
x
)
=
F
X
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})}
X
{\displaystyle X}
之 これ 值落在 ざい 一 いち 區間 くかん
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
之 これ 內的機 き 率 りつ 為 ため
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
一 いち 隨 ずい 機 き 變數 へんすう
X
{\displaystyle X}
的 てき CDF與 あずか 其PDF的 てき 關係 かんけい 為 ため
F
X
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
X
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}
若 わか 累 るい 积分布 ぶんぷ 函数 かんすう
F
{\displaystyle F}
是 ぜ 连续的 てき 严格增 ぞう 函数 かんすう ,则存在 そんざい 其反 はん 函数 かんすう
F
−
1
(
y
)
,
y
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}
。累 るい 积分布 ぶんぷ 函数 かんすう 的 てき 反 はん 函数 かんすう 可 か 以用来 らい 生成 せいせい 服 ふく 从该随 ずい 机 つくえ 分布 ぶんぷ 的 てき 随 ずい 机 つくえ 变量。设若
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
是 ぜ 概 がい 率 りつ 分布 ぶんぷ
X
{\displaystyle X}
的 てき 累 るい 积分布 ぶんぷ 函数 かんすう ,并存在 そんざい 反 はん 函数 かんすう
F
X
−
1
{\displaystyle F_{X}^{-1}}
。若 わか
a
{\displaystyle a}
是 これ
[
0
,
1
)
{\displaystyle [0,1)}
区 く 间上均 ひとし 匀分布 ぶんぷ 的 てき 随 ずい 机 つくえ 变量,则
F
X
−
1
(
a
)
{\displaystyle F_{X}^{-1}(a)}
服 ふく 从
X
{\displaystyle X}
分布 ぶんぷ 。
互补累積 るいせき 分布 ぶんぷ 函数 かんすう (complementary cumulative distribution function、CCDF),是 ぜ 对连续函数 すう ,所有 しょゆう 大 だい 于
a
{\displaystyle a}
的 てき 值,其出现概率 りつ 的 てき 和 わ 。
F
(
a
)
=
P
(
x
>
a
)
{\displaystyle F(a)=P(x>a)}
^ 1.0 1.1 Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3 .
^ 《概 がい 率 りつ 論 ろん 與 あずか 數理 すうり 統計 とうけい 教程 きょうてい 》茆詩松 まつ 程 ほど 依 よ 明 あきら 濮曉龍 りゅう