单调函数かんすう

单调非ひ递减函数かんすう。

单调非ひ递增函数かんすう。

非ひ单调函数かんすう。

在ざい数学すうがく中なか，給きゅう定じょう函數かんすう定義ていぎ域いき，當とう定義ていぎ域いき中ちゅう較小的てき自じ變量へんりょう值小於較大だい的てき自じ變量へんりょう值時，較小的てき自じ變量へんりょう值對應おう的てき因いん變量へんりょう值總是ぜ小しょう於較大だい的てき自じ變量へんりょう值對應おう的てき因いん變量へんりょう值，那な麼這個こ函數かんすう就是單調たんちょう增加ぞうか函數かんすう。當とう定義ていぎ域いき中ちゅう較小的てき自じ變量へんりょう值小於較大だい的てき自じ變量へんりょう值時，較小的てき自じ變量へんりょう值對應おう的てき因いん變量へんりょう值總是ぜ大だい於較大だい的てき自じ變量へんりょう值對應おう的てき因いん變量へんりょう值，那な麼這個こ函數かんすう就是單調たんちょう減少げんしょう函數かんすう。單調たんちょう增加ぞうか函數かんすう和わ單調たんちょう減少げんしょう函數かんすう統すべ稱しょう單調たんちょう函數かんすう。

这個概念がいねん最さい先さき出で现在微ほろ积分中なか，后きさき来らい推广到序じょ理り论中ちゅう更さら加か抽象ちゅうしょう结构中ちゅう。尽つき管かん概念がいねん一般いっぱん是ぜ一致いっち的てき，两个学科がっか已やめ经发展てん出で稍やや微ほろ不同ふどう的てき术语。在ざい微ほろ积分中ちゅう，我わが们经常つね说函数すう是ぜ单调递增和わ单调递减的てき，在ざい序じょ理り论中偏へん好こう术语单调、反はん单调或ある序じょ保持ほじ、序じょ反はん转。

一般いっぱん定てい义

设

$f:P\longrightarrow Q$

是ぜ在ざい两个带有偏へん序じょ≤的てき集合しゅうごう$P$和わ$Q$之これ间的函数かんすう。在ざい微ほろ积分中ちゅう，它们是ぜ带有平常へいじょう次序じじょ的てき实数集しゅう的てき子こ集しゅう之の间的函数かんすう，但ただし是ぜ定てい义仍保持ほじ同どう更さら一般的序理论定义一样。

函数かんすう$f$是これ单调的てき，如果只ただ要よう$x\leq y$，则$f(x)\leq f(y)$。因よし此单调函数すう保持ほじ次序じじょ关系。

微ほろ积分和わ实分析ぶんせき中ちゅう的てき单调性せい

在ざい微ほろ积分中ちゅう，经常不ふ需要じゅよう诉诸序じょ理り论的抽象ちゅうしょう方法ほうほう。如上じょじょう所しょ述じゅつ，函数かんすう通常つうじょう是ぜ按自然しぜん次序じじょ排はい序じょ的てき实数集しゅう的てき子こ集しゅう之の间的映うつ射しゃ。

受在实数上じょう的てき单调函数かんすう的てき图的形まとがた状じょう的てき启发，这种函数かんすう也叫做单调递增的てき（或ある"非ひ递减"的てき）。类似的てき，函数かんすう叫さけべ做单调递减的てき（或ある"非ひ递增"的てき），如果只ただ要よう$x<y$，则$f(x)\geq f(y)$，就说它反转了次序じじょ。

如果把わ定じょう义中的てき次序じじょ≥替がえ换为严格次序じじょ>，则得到いた了りょう更さら严格的てき要求ようきゅう。有ゆう这样性せい质的函数かんすう叫さけべ做严格递增的てき。还有通どおり过反转序符号ふごう，可か以得到いた对应的てき严格递减。严格递增或ある递减的てき函数かんすう是ぜ一いち一いち映うつ射い（因いん为$a<b$蕴涵$a\neq b$）。

要よう避免把わ术语非ひ递减和わ非ひ递增混淆こんこう于严格かく递增和わ严格递减。

序じょ理り论中的てき单调性せい

在ざい序じょ理り论中，不ふ限きり制せい于实数すう集合しゅうごう，可か以考虑任意にんい偏へん序じょ集合しゅうごう甚至是ぜ预序集合しゅうごう。在ざい这些情じょう况下上述じょうじゅつ定てい义同样适用よう。但ただし是ぜ要よう避免术语「递增」和かず「递减」，因いん为一旦いったん处理的てき不ふ是ぜ全ぜん序じょ的てき次序じじょ就没有ゆう了りょう吸引きゅういん人的じんてき图像动机。进一いち步ほ的てき，严格关系<和わ>在ざい多数たすう非ひ全ぜん序じょ的てき次序じじょ中ちゅう很少使用しよう，因いん此不介入かいにゅう它们的てき额外术语。

单调（monotone）函数かんすう也叫做isotone或ある序じょ保持ほじ函数かんすう。对偶概念がいねん经常叫さけべ做反はん单调、antitone或ある序じょ反はん转。因よし此，反はん单调函数かんすうf满足性せい质

$x\leq y$蕴涵$f(x)\geq f(y)$，对于它的定てい义域中ちゅう的てき所有しょゆう$x$和わ$y$。容易ようい看み出で两个单调函数かんすう的てき复合也是单调的てき。

常数じょうすう函数かんすう是ぜ单调的てき也是反はん单调的てき；反はん过来，如果$f$是ぜ单调的てき也是反はん单调的てき，并且如果$f$的てき定てい义域是ぜ格かく，则$f$必定ひつじょう是ぜ常つね量りょう函数かんすう。

单调函数かんすう是ぜ序じょ理り论的中心ちゅうしん。它们大量たいりょう出で现于这个主ぬし题的文章ぶんしょう和わ在ざい这些地方ちほう的てき找到的てき应用中ちゅう。著名ちょめい的てき特殊とくしゅ单调函数かんすう是ぜ序じょ嵌入かんにゅう（$x\leq y$当とう且仅当とう$f(x)\leq f(y)$的てき函数かんすう）和わ序じょ同どう构（双そう射い序じょ嵌入かんにゅう）。

参考さんこう文献ぶんけん

• Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas. Mathematics for economists: an introductory textbook. Manchester University Press. 2001. ISBN 0719033411.