极限 (数学すうがく)

极限（英語えいご：Limit）是これ函数かんすう在ざい自じ變量へんりょう無限むげん變へん大だい或ある無限むげん變へん小しょう或ある在ざい某ぼう個こ區間くかん時どき所しょ接近せっきん的てき值^[1]，也是數學すうがく分析ぶんせき或ある微積分びせきぶん的てき重要じゅうよう基もと础概念がいねん，连续和わ导数都みやこ是ただし通どおり过极限げん来らい作さく定てい义。極限きょくげん分ぶん為ため描述一いち个序列じょれつ的まと下か標しるべ愈いよいよ來き越こし大だい时的趋势（序列じょれつ極限きょくげん），或ある是ぜ描述函数かんすう的てき自じ变量接せっ趨近某ぼう個こ值時的てき函数かんすう值的趋势（函數かんすう極限きょくげん）。

函数かんすう极限可か以推广到网中，而数列すうれつ的てき极限则与范畴论中なか的てき极限和わ有向ゆうこう极限密みつ切きり相しょう关。

概念がいねん

数列すうれつ极限

以数列すうれつ $a_{n}={\frac {1}{n}}$ 为例，直觀ちょっかん上じょう随ずい着ぎn的てき增大ぞうだい， $a_{n}$ 越来ごえく越えつ接近せっきん0，于是可か以认为0是ぜ这个序列じょれつ的てき"极限"。以下いか的てき嚴格げんかく定義ていぎ來らい自じ於柯西：

设 $\{a_{n}\in \mathbb {R} \}_{n\in \mathbb {N} }$ ，若わか對たい任意にんい $\epsilon >0$ ，存在そんざい $m\in \mathbb {N}$ ，使つかい得とく当とう $n>m$ 时，有ゆう $|a_{n}-a|<\epsilon$ 以邏輯符号ごう来らい表示ひょうじ即そく為ため $(\forall \epsilon >0)(\exists m\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )[\,(n>m)\Rightarrow (|a_{n}-a|<\epsilon )\,]$ 则称数列すうれつ $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ 收おさむ敛于 $a$ ，记作 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ 或ある $a_{n}\rightarrow a$ 。這時也稱這個數列すうれつ是ぜ收斂しゅうれん的てき，反たん之の稱たたえ為ため發散はっさん。可か以證明しょうめい極限きょくげん是ぜ唯一ゆいいつ的てき，也就是ぜ

$[\,(a_{n}\to a)\wedge (a_{n}\to a^{\prime })\,]\Rightarrow (a=a^{\prime })$

直觀ちょっかん地ち说，不ふ論ろん把わ"差さ距範圍はんい" $\epsilon$ 取得しゅとく多た小しょう，從したがえ某ぼう項こう $a_{n}$ 跟 $a$ 的てき距離きょり都會とかい比ひ $\epsilon$ 小しょう。

函数かんすう极限

考慮こうりょ定義ていぎ域いき為ため $\mathbb {R}$ ，對應たいおう規則きそく為ため $f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}$ 的てき函數かんすう在ざい $x$ 趋向 $2$ 的てき时候的てき性せい质。此時 $f$ 於 $2$ 是ぜ有定ありさだ义的。

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	$\Rightarrow$ 0.4 $\Leftarrow$	0.3998	0.3988	0.3882

当とう $x$ 趋向 $2$ 的てき时候，函数かんすう值似乎趋向むこう $0.4$ ，因いん此我们有 "极限" $0.4$ ，正せい好こう就是 $f(2)$ ，這種情況じょうきょう我わが們稱為ため在ざい $x=2$ "連續れんぞく"。

但ただし有ゆう時じ趨近"極限きょくげん"不ふ會かい是ぜ那な個こ函數かんすう值，考こう虑定義ていぎ域いき為ため $\mathbb {R}$ ，對應たいおう規則きそく為ため

g(x)={\begin{cases}{\dfrac {x}{x^{2}+1}},&x\neq 2\\0,&x=2\end{cases}}

的てき函數かんすう，那な么当 $x$ 趋于 $2$ 的てき时候， $g(x)$ 的てき极限似に乎与前面ぜんめん的てき $f(x)$ 相あい同どう都と是ぜ $0.4$ 。但ただし $g(2)\neq 0.4$ ，这就是ぜ说， $g(x)$ 在ざい $x=2$ 是ぜ不ふ连续。

有ゆう時じ趨近的てき點てん甚至是ぜ不在ふざい定義ていぎ域いき裡うら(也就是ぜ無む定義ていぎ)，考慮こうりょ到いた算式さんしき ( 本質ほんしつ上じょう是ぜ一いち階かい邏輯中ちゅう的てき項こう，所以ゆえん下面かめん以冒號ごう來らい代表だいひょう符號ふごう辨べん識上的てき定義ていぎ，而非"數字すうじ"意義いぎ上じょう的てき相等そうとう )

T:{\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}

当とう $x=1$ 时，算式さんしき $T$ 等とう於零除じょ以零而没有定ありさだ义。但ただし以 $T$ 有ゆう定義ていぎ的てき最大さいだい定義ていぎ域いき $\mathbb {R} -\{1\}$ ( 去さ除じょ $1$ 的てき實數じっすう系けい ) ，跟對應おう規則きそく $f(x)=T$ 來らい定義ていぎ的てき函數かんすう $f$ ，趨近於 $1$ 的てき"极限"似に乎是 $2$

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	$\Rightarrow$ 未定みてい义 $\Leftarrow$	2.001	2.010	2.10

实函数すう在ざい有限ゆうげん处的极限

若わか $f$ 是ぜ一いち个实函数かんすう ( 也就是ぜ定てい义域和わ值域都と包含ほうがん於實數じっすう系けい ) ， $L\in \mathbb {R}$ ，那な么

\lim _{x\to c}f(x)=L

用ようεいぷしろん-δでるた語ご言げん定義ていぎ為ため:對たい所有しょゆう的てき $\varepsilon \ >0$ ，都と存在そんざい $\delta \ >0$ 使つかい得とく：對たい任意にんい $x\in D_{f}$ 满足 $0<|x-c|<\delta \$ 时會有ゆう $|f(x)-L|<\varepsilon \$ 。以邏輯符号ごう来らい表示ひょうじ即そく為ため

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(0<|x-c|<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<\epsilon )\,]$

实函数すう在ざい无穷远处的てき极限

与あずか函数かんすう趋于某ぼう个给定てい值时的てき极限概念がいねん相しょう关的是ぜ函数かんすう在ざい无穷远处的てき概念がいねん。这个概念がいねん不能ふのう从字面めん上じょう直接ちょくせつ理解りかい为： $x$ 距离无穷远越来ごえく越えつ小しょう的てき状じょう态，因いん为无穷不是ぜ一いち个给定じょう的てき数すう，也不能ふのう比ひ较距离无穷的远近。因よし此，我わが们用 $x$ 越来ごえく越えつ大だい（如果讨论正せい无穷时）来らい替がえ代だい。

例れい如考虑 $f(x)={\frac {2x}{x+1}}$ .

f(100)=1.9802

f(1000)=1.9980

f(10000)=1.9998

当とう $x$ 非常ひじょう大だい的てき时候， $f(x)$ 的てき值会趋于 $2$ 。事こと实上， $f(x)$ 与あずか $2$ 之これ间的距离可か以变得とく任意にんい小しょう，只ただ要い我わが们选取一いち个足够大的てき $x$ 就可以了。此时，我わが们称 $f(x)$ 趋向于（正ただし）无穷时的极限是ぜ $2$ 。可か以写为

\lim _{x\to \infty }f(x)=2

形式けいしき上じょう，我わが们可以定义：

\lim _{x\to \infty }f(x)=L

為ため

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\delta <x)\Rightarrow (|f(x)-L|<\epsilon )\,]$

类似地ち，我わが们也可か以定义：

\lim _{x\to -\infty }f(x)=L

為ため

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(x<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<\epsilon )\,]$

符号ふごう

极限的てき符号ふごう为lim，它出自しゅつじ拉ひしげ丁ひのと文ぶんlimit（界さかい限げん）的てき前まえ三さん个字母はは。

在ざい1786年ねん出版しゅっぱん的てき德とく国人くにびと浏伊连（S. L'Huilier）的てき书中，第だい一いち次じ使用しよう这个符号ふごう。不ふ过，“x趋于a”当とう时都记作“x=a”，直ちょく到いた20世せい纪人们才逐渐用よう“→”替がえ代だい“=”。

英国えいこく近代きんだい数学すうがく家か哈代是ぜ第だい一个使用现代极限符号的人。

性せい质

$\lim _{n\to c}S\cdot f(n)=S\cdot \lim _{n\to c}f(n)$ ，这里S是ぜ个內积算法さんぽう。
$\lim _{n\to c}b{f(n)}=b\,{\lim _{n\to c}f(n)}$ ，这里b是ぜ常つね量りょう。

以下いか规则只ただ有ゆう当とう等号とうごう右みぎ边的极限存在そんざい并且不ふ为无限げん时才成立せいりつ：

$\lim _{n\to c}[f(n)+g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)+\lim _{n\to c}g(n)$
$\lim _{n\to c}[f(n)-g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)-\lim _{n\to c}g(n)$
$\lim _{n\to c}[f(n)\cdot g(n)]=\lim _{n\to c}f(n)\cdot \lim _{n\to c}g(n)$
$\lim _{n\to c}{\frac {f(n)}{g(n)}}={\frac {\displaystyle \lim _{n\to c}f(n)}{\displaystyle \lim _{n\to c}g(n)}}$