拐点

拐點（英語えいご：Inflection point）或ある稱しょう反はん曲きょく点てん，是ぜ一いち條じょう连续曲線きょくせん由ゆかり凸とつ轉てん凹，或ある由ゆかり凹轉てん凸とつ的まと點てん，或ある者もの等價とうか地ち說せつ，是ぜ使し切線せっせん穿ほじ越えつ曲線きょくせん的てき點てん。

決定けってい曲線きょくせん的てき拐點有ゆう助じょ於理解りかい曲線きょくせん的てき外形がいけい，這在描繪曲線きょくせん圖形ずけい時じ特別とくべつ有用ゆうよう。

定義ていぎ

若わか曲線きょくせん圖形ずけい在ざい一點由凸轉凹，或ある由よし凹轉凸とつ，則のり稱しょう此點為ため拐點。直觀ちょっかん地ち說せつ，拐點是ぜ使し切線せっせん穿ほじ越えつ曲線きょくせん的てき點てん。

若わか該曲線せん圖形ずけい的てき函數かんすう在ざい某ぼう点てん的てき二に阶導しるべ數すう為ため零れい或ある不ふ存在そんざい，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即そく为函数すう的てき拐点。這是尋ひろ找拐點てん時じ最さい實用じつよう的てき方法ほうほう之の一いち。

拐点的てき必要ひつよう条件じょうけん

拐点的てき必要ひつよう条件じょうけん：设 $f(x)$ 在ざい $(a,b)$ 内うち二に阶可导， $x_{0}\in (a,b)$ ，若わか $(x_{0},f(x_{0}))$ 是ぜ曲きょく线 $y=f(x)$ 的てき一いち个拐点てん，则 $f''(x_{0})=0$ 。比ひ如， $f(x)=x^{4}$ ，有ゆう $f''(0)=0$ ，但ただし是ぜ0两侧全ぜん是ぜ凸とつ，所以ゆえん0不ふ是ぜ函数かんすう $f(x)=x^{4}$ 的てき拐点。

拐点的てき充分じゅうぶん条件じょうけん：设 $f(x)$ 在ざい $(a,b)$ 内うち二に阶可导， $f''(x_{0})=0$ ，若わか在ざい $x_{0}$ 两侧附近ふきん $f''(x)$ 异号，则点 $(x_{0},f(x_{0}))$ 为曲线的拐点。否いや则（即そく $f''(x_{0})$ 保持ほじ同どう号ごう）， $(x_{0},f(x_{0}))$ 不ふ是ぜ拐点。

分類ぶんるい

拐點可か以根據こんきょ $f'(x)$ 為ため零れい或ある不為ふため零れい，進行しんこう分類ぶんるい：

如果 $f'(x)$ 為ため零れい，此點為ため拐點的てき驻点，簡稱為ため鞍點あんてん。
如果 $f'(x)$ 不為ふため零れい，此點為ため拐點的てき非ひ驻点。

例れい如： $y=x^{3}$ 的まと點てん $(0,0)$ 是ぜ一いち個こ鞍點あんてん，切線せっせん為ため $x$ 軸じく，切線せっせん正ただし好こう將しょう圖像ずぞう分ぶん為ため兩りょう半はん。

參まいり數すう曲きょく線せん的てき拐點

平面へいめん參さん數すう曲きょく線せん的てき拐點是ぜ使し其曲きょく率りつ變へん號ごう的てき點てん，此時曲きょく率りつ中心ちゅうしん（居きょ於曲線せん凹側）從したがえ曲線きょくせん的てき一側換至另一側。

雙そう正則せいそく點てん與あずか拐點

雙そう正則せいそく點てん是ぜ使し得とく參さん數すう曲きょく線せん的てき一いち階かい與あずか二に階かい微分びぶん（它們是ぜ向むこう量りょう）線せん性せい獨立どくりつ的まと點てん。在ざい雙そう正則せいそく點てん上じょう，曲線きょくせん既すんで無む拐點亦また非ひ直線ちょくせん。在ざい非ひ雙そう正則せいそく點てん上じょう曲きょく率りつ為ため零れい，但ただし是ぜ不ふ一定いってい有ゆう變へん號ごう。在ざい尋ひろ找參數すう曲きょく線せん的てき拐點時じ，我わが們通常つうじょう先さき以微分ぶん找出非ひ雙そう正則せいそく點てん，繼つぎ之の研究けんきゅう其局部ぶ性狀せいじょう，以判定はんてい是ぜ否ひ為ため拐點。

註：某ぼう些作者しゃ偏へん好こう將しょう拐點定義ていぎ為ため「使つかい一階與二階微分平行的點」，在ざい此定義ていぎ下か，切線せっせん不ふ一定在該點穿越曲線本身。

代數だいすう曲線きょくせん的てき拐點

設しつらえ $C$ 為ため域いき $F$ 上うえ的てき平面へいめん代數だいすう曲線きょくせん，其拐點てん定義ていぎ為ため一いち平滑へいかつ點てん $P\in C(F)$ ，使つかい得とく該點切線せっせん $L_{P}$ 與あずか $C$ 在ざい $P$ 點てん的てき相あい交重數すう $\geq 3$ 。

注意ちゅうい到いた一いち條じょう曲線きょくせん與あずか $C$ 在ざい $P$ 點てん相しょう切きり的てき充たかし要よう條件じょうけん是ぜ相しょう交重數すう $\geq 2$ 。當とう $F=\mathbb {R}$ 時とき，代數だいすう曲線きょくせん的てき拐點定義ていぎ等價とうか於上節ぶし註記ちゅうき中ちゅう的てき廣義こうぎ定義ていぎ。

参まいり见

文獻ぶんけん

Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.