函數 かんすう 的 てき 圖 ず (以黑色 しょく 線 せん 表示 ひょうじ )以及函數 かんすう 的 てき 切線 せっせん (以紅色 しょく 直線 ちょくせん 表示 ひょうじ )。切線 せっせん 的 てき 斜 はす 率 りつ 即 そく 為 ため 函數 かんすう 在 ざい 該位置 いち 的 てき 導 しるべ 數 すう
微分 びぶん 学 がく (英語 えいご :Differential calculus )是 これ 微積分 びせきぶん 学 がく 的 てき 一部 いちぶ 份,是 ぜ 通 どおり 过导数 和 わ 微分 びぶん 来 らい 研究 けんきゅう 曲 きょく 线斜 はす 率 りつ 、加速度 かそくど 、最大 さいだい 值和 わ 最小 さいしょう 值的 てき 一 いち 门学科 か ,也是探 さがせ 討特定 とくてい 數量 すうりょう 變化 へんか 速 そく 率 りつ 的 てき 學科 がっか 。微分 びぶん 学 がく 是 ぜ 微積分 びせきぶん 的 てき 二個主要分支之一[ 註 1] [ 1] 。
微分 びぶん 学 がく 主要 しゅよう 研究 けんきゅう 的 てき 主題 しゅだい 是 ぜ 函數 かんすう 的 てき 導 しるべ 數 すう 、相關 そうかん 的 てき 標示 ひょうじ 方式 ほうしき (例 れい 如微分 びぶん )以及其應用 おうよう 。函數 かんすう 在 ざい 特定 とくてい 點 てん 的 てき 導 しるべ 數 すう 可 か 以說明 せつめい 函數 かんすう 在 ざい 此輸入 ゆにゅう 值附近 ふきん 的 てき 變化 へんか 率 りつ 。尋 ひろ 找導數 すう 的 てき 過程 かてい 即 そく 為 ため 微分 びぶん 。若 わか 以圖示 ずし 表示 ひょうじ ,函數 かんすう 在 ざい 某 ぼう 一 いち 點 てん 的 てき 微分 びぶん 是 ぜ 函数 かんすう 图形在 ざい 那 な 一 いち 點 てん 的 てき 切線 せっせん 斜 はす 率 りつ (前提 ぜんてい 是 ぜ 在 ざい 那 な 一點的導數存在而且有定義)。針 はり 對 たい 單 たん 實數 じっすう 變數 へんすう 的 てき 實 じつ 值函數 すう 而言,函數 かんすう 在 ざい 某 ぼう 一點的導數也就可以決定在那一點最佳的线性近似 きんじ 。微分 びぶん 和 わ 積分 せきぶん 的 てき 關係 かんけい 可 か 以由微 ほろ 积分基本 きほん 定理 ていり 來 らい 說明 せつめい ,此定理 ていり 說明 せつめい 微分 びぶん 是 ぜ 積分 せきぶん 的 てき 逆 ぎゃく 運算 うんざん 。
幾 いく 乎所有 しょゆう 量 りょう 化 か 的 てき 學科 がっか 中 なか 都 と 有 ゆう 微分 びぶん 的 てき 應用 おうよう 。例 れい 如在物理 ぶつり 学 がく 中 なか ,運動 うんどう 物體 ぶったい 其位 い 移 うつり 對 たい 時間 じかん 的 てき 導 しるべ 數 すう 即 そく 為 ため 其速度 そくど ,速度 そくど 對 たい 時間 じかん 的 てき 導 しるべ 數 すう 就是加速度 かそくど 、物體 ぶったい 动量 對 たい 時間 じかん 的 てき 導 しるべ 數 すう 即 そく 為 ため 物體 ぶったい 所 しょ 受的力 りょく ,重 じゅう 新 しん 整理 せいり 後 ご 可 か 以得到 いた 牛 うし 顿第二 に 运动定律 ていりつ
F
=
m
a
{\displaystyle F=ma}
。化学 かがく 反 はん 应的 てき 化學 かがく 反應 はんのう 速 そく 率 りつ 也是導 しるべ 數 すう 。在 ざい 運 うん 籌學中 ちゅう ,會 かい 透過 とうか 導 しるべ 數 すう 決定 けってい 在 ざい 運輸 うんゆ 或 ある 是 ぜ 設計 せっけい 上 じょう 最 さい 有效 ゆうこう 率 りつ 的 てき 作法 さほう 。
導 しるべ 數 すう 常用 じょうよう 來 らい 找函數 すう 的 てき 极值 。含有 がんゆう 微分 びぶん 項 こう 的 てき 方程式 ほうていしき 稱 たたえ 為 ため 微分 びぶん 方 かた 程 ほど ,是 ぜ 自然 しぜん 現象 げんしょう 描述的 てき 基礎 きそ 。微分 びぶん 以及其廣義 こうぎ 概念 がいねん 出現 しゅつげん 在 ざい 許多 きょた 數學 すうがく 領域 りょういき 中 ちゅう ,例 れい 如複 ふく 分析 ぶんせき 、泛函分析 ぶんせき 、微分 びぶん 几何 、测度 及抽象 ちゅうしょう 代数 だいすう 。
在 ざい (x ,f (x )) 處 しょ 的 てき 切線 せっせん
一個可微函數在不同位置的導數
假設 かせつ
x
{\displaystyle x}
和 わ y 是 これ 實數 じっすう ,而且y 是 これ x 的 てき 函數 かんすう ,也就是 ぜ 說 せつ ,針 はり 對 たい 每 ごと 一 いち 個 こ x ,都 と 有 ゆう 一 いち 個 こ 對應 たいおう 的 てき y 。兩者 りょうしゃ 的 てき 關係 かんけい 可 か 以表示 ひょうじ 為 ため y = f (x ) 。若 わか f (x )是 ぜ 直線 ちょくせん 的 てき 方程式 ほうていしき (稱 たたえ 為 ため 一 いち 次 じ 方 かた 程 ほど ),則 のり 會 かい 存在 そんざい 兩個 りゃんこ 實數 じっすう m 和 わ b 使 つかい 得 とく y = mx + b 。在 ざい 這個「斜 はす 率 りつ -截距式 しき 」中 ちゅう ,m 是 これ 斜 はす 率 りつ ,可 か 以用下 か 式 しき 來 らい 求 もとめ 得 え :
m
=
change in
y
change in
x
=
Δ でるた
y
Δ でるた
x
,
{\displaystyle m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}
其中符號 ふごう Δ でるた (是 ぜ 希 まれ 臘大寫字 しゃじ 母 はは Δ でるた )表示 ひょうじ 「變化 へんか 」。以下 いか 的 てき 式子 しょくし 會 かい 成立 せいりつ :Δ でるた y = m Δ でるた x .
一般 いっぱん 的 てき 函數 かんすう 不 ふ 是 ぜ 直線 ちょくせん ,因 いん 此沒有 ゆう 斜 はす 率 りつ 。在 ざい 幾何 きか 上 じょう 來 らい 看 み ,函數 かんすう f 在 ざい x = a 的 てき 導 しるべ 數 すう 就是函數 かんすう f 在 ざい a 點 てん 切線 せっせん 的 てき 斜 はす 率 りつ (如圖)。常會 じょうかい 表示 ひょうじ 為 ため f ′(a ) 或 ある dy / dx |x = a 。因 よし 為 ため 導 しるべ 數 すう 是 ぜ f 在 ざい a 點線 てんせん 性 せい 近似 きんじ 的 てき 斜 はす 率 りつ ,因 いん 此導數 すう (以及函數 かんすう f 在 ざい a 點 てん 的 てき 值)是 ぜ 函數 かんすう f 在 ざい a 點 てん 附近 ふきん 最 さい 佳 けい 的 てき 線 せん 性 せい 化 か 近似 きんじ 。
若 わか 在 ざい 函數 かんすう f 定義 ていぎ 域 いき 中 ちゅう 的 てき 每 ごと 一 いち 點 てん a 都 みやこ 有 ゆう 導 しるべ 數 すう ,則 のり 存在 そんざい 一函數可以將每一點a 對應 たいおう 到 いた 函數 かんすう f 在 ざい a 點 てん 的 てき 導 しるべ 數 すう 。例 れい 如,若 わか 函數 かんすう f (x ) = x 2 ,則 のり 其導數 すう 函數 かんすう f ′(x ) = dy / dx = 2x 。
另一個有關的表示法是函數的微分 びぶん 。若 わか x 和 わ y 是 ぜ 實數 じっすう 變數 へんすう ,函數 かんすう f 在 ざい x 點 てん 的 てき 導 しるべ 數 すう 為 ため 函數 かんすう f 在 ざい x 點 てん 切線 せっせん 的 てき 斜 はす 率 りつ 。因 よし 為 ため f 的 てき 引數 ひきすう 及輸出 ゆしゅつ 都 と 是 ぜ 純量 じゅんりょう ,因 いん 此f 的 てき 導 しるべ 數 すう 也是實數 じっすう 。若 わか x 和 わ y 是 ぜ 向 むこう 量 りょう ,則 のり f 圖形 ずけい 的 てき 最 さい 佳 けい 線 せん 性 せい 近似 きんじ 會 かい 和 わ 函數 かんすう f 在 ざい 不同 ふどう 方向 ほうこう 的 てき 變化 へんか 有 ゆう 關 せき 。找到在 ざい 單一 たんいつ 方向 ほうこう 的 てき 最 さい 佳 けい 近似 きんじ ,也就決定 けってい 了 りょう 偏 へん 微分 びぶん ,一般 いっぱん 會 かい 表示 ひょうじ 為 ため ∂y / ∂x 。若 わか 找到了 りょう 函數 かんすう f 在 ざい 所有 しょゆう 方向 ほうこう 的 てき 線 せん 性 せい 化 か 近似 きんじ ,則 のり 稱 たたえ 為 ため 全 ぜん 微分 びぶん 。
若 わか 以切線 せっせん 來 らい 看 み ,微分 びぶん 的 てき 概念 がいねん 很早以前 いぜん 就出現 しゅつげん 了 りょう ,像 ぞう 希 まれ 臘幾何 きか 學 がく 家 か 欧 おう 几里得 とく (約 やく 300 BC)、阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく (約 やく 287–212 BC)及阿波 あわ 罗尼奥 おく 斯 (約 やく 262–190 BC)[ 2] 。阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 也引進 しん 了 りょう 無窮 むきゅう 小量 しょうりょう 的 てき 使用 しよう ,不 ふ 過 か 最早 もはや 是 ぜ 用 よう 在 ざい 面積 めんせき 及體積 たいせき 上 じょう 的 てき 研究 けんきゅう ,而不是 ぜ 在 ざい 導 しるべ 數 すう 及切線 せん 上 じょう ,參考 さんこう 阿 おもね 基 もと 米 まい 德 とく 使用 しよう 的 てき 無窮 むきゅう 小量 しょうりょう 。
在 ざい 印度 いんど 數學 すうがく 家 か 的 てき 研究 けんきゅう 中有 ちゅうう 看 み 到 いた 用 よう 無窮 むきゅう 小量 しょうりょう 來 らい 探 さがせ 討量的 てき 變化 へんか ,最早 もはや 也許可 きょか 以推到西元 にしもと 500年 ねん ,當時 とうじ 天文學 てんもんがく 家 か 及數學 がく 家 か 阿 おもね 耶波多 おお 用 よう 無窮 むきゅう 小量 しょうりょう 來 らい 研究 けんきゅう 月 つき 球 だま 軌道 きどう [ 3] 。在 ざい 印度 いんど 數學 すうがく 家 か 婆 ばば 什迦羅 ら 第 だい 二 に (1114–1185)時 じ ,用 よう 無窮 むきゅう 小量 しょうりょう 來 らい 計算 けいさん 量 りょう 變化 へんか 的 てき 研究 けんきゅう 有 ゆう 顯著 けんちょ 的 てき 進展 しんてん ,也有 やゆう 人 じん 提 ひっさげ 到 いた [ 4] 在 ざい 他 た 的 てき 著作 ちょさく 中 ちゅう 已 やめ 提 ひっさげ 到 いた 許多 きょた 微分 びぶん 学 がく 的 てき 重要 じゅうよう 概念 がいねん ,例 れい 如罗尔定理 ていり [ 5] 。
伊 い 斯蘭數學 すうがく 家 か 納 おさめ 色 しょく 阿 おもね 爾 なんじ 圖 ず 斯 (1135年 ねん –1213年 ねん )在 ざい 其著作 ちょさく 《Treatise on Equations》中 ちゅう 說明 せつめい 了 りょう 部 ぶ 份三次方程有解的條件,是 ぜ 透過 とうか 找適當 てきとう 三次多項式的最大值來求得。他 た 證明 しょうめい 了 りょう 三 さん 次 じ 多項式 たこうしき a x2 — x 3 的 てき 最大 さいだい 值出現在 げんざい x = 2a /3 ,並 なみ 且得到 いた 結論 けつろん :方程式 ほうていしき a x 2 — x 3 = c 在 ざい c = 4 a 3 /27時 どき 恰有一 いち 正 せい 值的解 かい ,若 わか 0 < c < 4 a 3 /27 會 かい 有 ゆう 二 に 個 こ 正 せい 值的解 かい [ 6] 。科學 かがく 歷史 れきし 學 がく 家 か 罗什迪 すすむ ·拉 ひしげ 希 まれ 德 とく [ 7] 認 みとめ 為 ため 阿 おもね 爾 なんじ 圖 ず 斯一定是用到了三次多項式的導數才得到此一結果。不 ふ 過 か 也有 やゆう 其他學者 がくしゃ 質疑 しつぎ 拉 ひしげ 希 まれ 德 とく 的 てき 想 そう 法 ほう ,他 た 們認為 ため 拉 ひしげ 希 まれ 德也 とくや 可能 かのう 用 よう 了 りょう 其他不用 ふよう 導 しるべ 數 すう 概念的 がいねんてき 作法 さほう [ 6] 。
普遍 ふへん 認 みとめ 為 ため 近代 きんだい 微積分 びせきぶん 的 てき 發展 はってん 是 ぜ 因 いん 為 ため 艾 もぐさ 萨克·牛 うし 顿 (1643年 ねん –1727年 ねん )及戈 ほこ 特 とく 弗 どる 里 さと 德 とく ·莱布尼 あま 茨 いばら (1646年 ねん –1716年 ねん )同時 どうじ 但 ただし 獨立 どくりつ 個別 こべつ 的 てき 研究 けんきゅう [ 8] ,並 なみ 且整合 せいごう 了 りょう 有 ゆう 關 せき 微分 びぶん 及導數 すう 的 てき 作法 さほう 。不 ふ 過 か 其中關 せき 鍵 かぎ 的 てき 概念 がいねん (也是後來 こうらい 認定 にんてい 微積分 びせきぶん 是 ぜ 由 ゆかり 他 た 們兩人 じん 創始 そうし 的 てき 原因 げんいん )是 ぜ 結合 けつごう 微分 びぶん 以及積分 せきぶん 的 てき 微 ほろ 积分基本 きほん 定理 ていり [ 9] ,這也讓 ゆずる 以往 いおう 計算 けいさん 面積 めんせき 及體積 たいせき ,自 じ 從 したがえ 海 うみ 什木以來 いらい 沒 ぼつ 有 ゆう 大幅 おおはば 進步 しんぽ 的 てき 的 てき 方式 ほうしき 變 へん 的 てき 過 か 時 とき [ 10] 。有 ゆう 關 せき 牛 うし 顿和莱布尼 あま 茨 いばら 在 ざい 微分 びぶん 上 じょう 的 てき 想 そう 法 ほう ,都 みやこ 是 ただし 以早期 き 數學 すうがく 家 か 的 てき 貢獻 こうけん 為 ため 基礎 きそ ,例 れい 如皮 かわ 埃 ほこり 爾 なんじ ·德 とく ·費 ひ 馬 ば (1607年 ねん -1665年 ねん )、伊 い 萨克·巴 ともえ 罗 (1630年 ねん –1677年 ねん )、勒内·笛 ふえ 卡尔 (1596年 ねん –1650年 ねん )、克 かつ 里 さと 斯蒂安 やす ·惠 めぐみ 更 さら 斯 (1629年 ねん –1695年 ねん )、布 ぬの 莱兹·帕斯卡 (1623年 ねん –1662年 ねん )及約 やく 翰·沃利斯 (1616年 ねん –1703年 ねん )。有 ゆう 關 せき 費 ひ 馬 ば 的 てき 影響 えいきょう ,牛 うし 頓 ひたぶる 曾在一封信中提到:「我 わが 從 したがえ 費 ひ 馬 うま 畫 が 切線 せっせん 的 てき 方式 ほうしき 得 え 到 いた 有 ゆう 關 かん (通 つう 量 りょう )方法 ほうほう 的 てき 暗示 あんじ ,將 はた 其用在 ざい 抽象 ちゅうしょう 的 てき 方 かた 程 ほど ……,我 わが 擴展了 りょう 這個概念 がいねん (directly and invertedly, I made it general.)[ 11] 。一般會將導數早期的發展歸功於伊萨克·巴 ともえ 罗[ 12] ,不 ふ 過 か 牛 うし 頓 ひたぶる 和 わ 莱布尼 あま 茨 いばら 仍在微分 びぶん 學 がく 的 てき 歷史 れきし 上 じょう 有 ゆう 重要 じゅうよう 的 てき 貢獻 こうけん ,其中也 ちゅうや 包括 ほうかつ 了 りょう 牛 うし 頓 ひたぶる 將 はた 微分 びぶん 用 よう 在 ざい 理 り 论物理学 りがく 中 なか ,而莱布 ぬの 尼 あま 茨 いばら 發展 はってん 的 てき 符號 ふごう 到 いた 現今 げんこん 仍在普遍 ふへん 使用 しよう 。
自 じ 從 したがえ 17世紀 せいき 起 おこり ,許多 きょた 數學 すうがく 家 か 都 と 對 たい 微分 びぶん 学 がく 有 ゆう 所 しょ 貢獻 こうけん 。在 ざい 19世紀 せいき 時 じ ,在 ざい 奧 おく 古 こ 斯丁·路 ろ 易 えき ·柯西 (1789年 ねん –1857年 ねん )、波 なみ 恩 おん 哈德·黎 はじむ 曼 (1826年 ねん –1866年 ねん )及卡尔·魏 ぎ 尔斯特 とく 拉 ひしげ 斯 (1815年 ねん –1897年 ねん )等 とう 數學 すうがく 家 か 的 てき 貢獻 こうけん 下 か ,微分 びぶん 學 がく 已 やめ 更 さら 加 か 的 てき 嚴 げん 謹。微分 びぶん 學 がく 也在此一時期 じき 擴展到 いた 欧 おう 几里得 とく 空 そら 间 及复平面 めん 。
若 わか f 是 ぜ 在 ざい ℝ (或 ある 是 ぜ 其他開 ひらき 區間 くかん )內的可 か 微 ほろ 函数 かんすう ,而x 是 これ f 有 ゆう 局部 きょくぶ 最小 さいしょう 值或是 ぜ 局部 きょくぶ 最大 さいだい 值的位置 いち ,則 のり f 在 ざい x 處 しょ 的 てき 導 しるべ 數 すう 為 ため 零 れい 。滿足 まんぞく f' (x ) = 0的 まと 點 てん 稱 たたえ 為 ため 臨界 りんかい 點 てん 或 ある 是 ぜ 驻点 (則 のり f 在 ざい x 處 しょ 的 てき 值稱為 ため 臨界 りんかい 值 )。若 わか f 沒 ぼつ 有 ゆう 處處 しょしょ 可 か 微 ほろ 的 てき 特性 とくせい ,則 のり f 不可 ふか 微 ほろ 的 まと 點 てん 也稱為 ため 臨界 りんかい 點 てん 。
若 わか f 是 ぜ 二 に 次 じ 可 か 微 ほろ ,則 のり f 的 てき 臨界 りんかい 點 てん x 可 か 以用f 在 ざい x 的 てき 二 に 次 じ 導 しるべ 數 すう 來 らい 分析 ぶんせき :
若 わか 二 に 次 じ 導 みちびけ 數 すう 為 ため 正 ただし ,則 のり x 是 ぜ 局部 きょくぶ 最小 さいしょう 值
若 わか 二 に 次 じ 導 みちびけ 數 すう 為 ため 負 まけ ,則 のり x 是 ぜ 局部 きょくぶ 最大 さいだい 值
若 わか 二 に 次 じ 導 みちびけ 數 すう 為 ため 零 れい ,則 のり x 可能 かのう 是 ぜ 局部 きょくぶ 最小 さいしょう 值、是 ぜ 局部 きょくぶ 最大 さいだい 值,也可能都 のと 不 ふ 是 ぜ (例 れい 如,f (x ) = x 3 在 ざい x = 0處 しょ 為 ため 臨界 りんかい 點 てん ,但 ただし 不 ふ 是 ぜ 局部 きょくぶ 最小 さいしょう 值也不 ふ 是 ぜ 局部 きょくぶ 最大 さいだい 值,而 f (x ) = ± x 4 在 ざい x = 0處 しょ 為 ため 臨界 りんかい 點 てん ,分別 ふんべつ 是 ぜ 局部 きょくぶ 最小 さいしょう 值及局部 きょくぶ 最大 さいだい 值)
上述 じょうじゅつ 作法 さほう 稱 たたえ 為 ため 二次導數測試 。一次導數測試 是 ぜ 另一 いち 種 しゅ 分析 ぶんせき 方式 ほうしき ,考慮 こうりょ f' 在 ざい 臨界 りんかい 點 てん 前後 ぜんこう 的 てき 符號 ふごう 變化 へんか 。
取 と 導 しるべ 數 すう ,並 なみ 且求解 かい 臨界 りんかい 點 てん 是 ぜ 要 よう 找局部 ぶ 最小 さいしょう 值或最大 さいだい 值的最 さい 簡單 かんたん 作法 さほう ,常 つね 應用 おうよう 在 ざい 最 さい 优化中 なか 。根據 こんきょ 极值定理 ていり ,連續 れんぞく 函數 かんすう 在 ざい 閉區間 くかん 內至少 しょう 會 かい 有 ゆう 一次局部最小值及局部最大值。若 わか 函數 かんすう 可 か 微 ほろ ,其局部 ぶ 最小 さいしょう 值及局部 きょくぶ 最大 さいだい 值只會 かい 出現 しゅつげん 在 ざい 臨界 りんかい 點 てん 或 ある 是 ぜ 端 はし 點 てん 上 じょう 。
取 と 局部 きょくぶ 最小 さいしょう 值及局部 きょくぶ 最大 さいだい 值也可 か 以在函數 かんすう 圖形 ずけい 的 てき 繪 え 制 せい 上 じょう :只 ただ 要 よう 找到可 か 微分 びぶん 函數 かんすう 的 てき 局部 きょくぶ 最小 さいしょう 值、局部 きょくぶ 最大 さいだい 值以及位 のぞき ,可 か 以根據 こんきょ 觀察 かんさつ 函數 かんすう 在 ざい 各 かく 臨界 りんかい 點 てん 之 の 間 あいだ 的 てき 趨勢 すうせい 來 らい 繪 え 制 せい 簡圖。
在高 ありだか 維度 的 てき 空間 くうかん 中 ちゅう ,标量 函數 かんすう 的 てき 臨界 りんかい 點 てん 是 ぜ 其梯 はしご 度 ど 為 ため 0的 てき 點 てん 。仍然可 か 以用二次導數測試來分析臨界點,作法 さほう 是 ぜ 考慮 こうりょ 函數 かんすう 在 ざい 臨界 りんかい 點 てん 上 じょう 二 に 階 かい 導 みちびけ 數 すう 形成 けいせい 海 うみ 森 もり 矩 のり 阵的 てき 特 とく 征 せい 值 。若 わか 所有 しょゆう 特徵 とくちょう 值都為 ため 正 ただし ,此點為 ため 局部 きょくぶ 最小 さいしょう 值;若 わか 所有 しょゆう 特徵 とくちょう 值都為 ため 負 まけ ,此點為 ため 局部 きょくぶ 最大 さいだい 值;若 わか 部 ぶ 份為正 せい ,部 ぶ 份為負 まけ ,表示 ひょうじ 臨界 りんかい 點 てん 為 ため 鞍點 あんてん ;不 ふ 過 か 若 わか 有 ゆう 部 ぶ 份特徵 ちょう 值為零 れい ,則 のり 無法 むほう 以此方式 ほうしき 判斷 はんだん 。
最 さい 佳 けい 化 か 問題 もんだい 的 てき 一 いち 個 こ 例 れい 子 こ 是 ぜ :找到在 ざい 一 いち 曲 きょく 面 めん 上 じょう ,通過 つうか 曲面 きょくめん 上 じょう 二 に 點 てん 的 てき 最短 さいたん 路 ろ 徑 みち 。若 わか 是 ぜ 在 ざい 平面 へいめん 上 じょう ,其最短 さいたん 路 ろ 徑 みち 是 ぜ 直線 ちょくせん 。不 ふ 過 か 若 わか 曲面 きょくめん 是 ぜ 較複雜 ふくざつ 的 てき 形狀 けいじょう (例 れい 如蛋形 がた ),最短 さいたん 路 ろ 问题的 てき 解 かい 就不是 ぜ 那 な 麼直觀 かん 了 りょう ,此路徑 みち 稱 たたえ 為 ため 测地线 ,而這也是最 さい 佳 けい 化 か 問題 もんだい 中 ちゅう 最 さい 簡單 かんたん 的 てき 問題 もんだい 之 の 一 いち 。另一 いち 個 こ 例 れい 子 こ 是 ぜ :找到可 か 以填充 たかし 空間 くうかん 中 ちゅう 封 ふう 閉曲線 へいきょくせん 的 てき 最小 さいしょう 面積 めんせき 曲面 きょくめん ,此曲面 めん 稱 たたえ 為 ため 极小曲面 きょくめん ,也可以透過 とうか 變 へん 分 ぶん 法 ほう 求 もとめ 得 う 。
微分 びぶん 在 ざい 物理 ぶつり 學 がく 上 じょう 格外 かくがい 重要 じゅうよう :許多 きょた 物理 ぶつり 的 てき 現象 げんしょう 都 と 是 ぜ 用 よう 有 ゆう 關 せき 微分 びぶん 的 てき 方程式 ほうていしき 來 らい 描述,這類方 かた 程 ほど 稱 たたえ 為 ため 微分 びぶん 方 かた 程 ほど 。物理 ぶつり 學 がく 格外 かくがい 關 せき 注 ちゅう 物理 ぶつり 量 りょう 隨時 ずいじ 間 あいだ 的 てき 變化 へんか ,而时间导数 是 ぜ 物理 ぶつり 量 りょう 隨時 ずいじ 間 あいだ 的 てき 變化 へんか 率 りつ ,是 ぜ 許多 きょた 重要 じゅうよう 概念 がいねん 精 しらげ 準 じゅん 定義 ていぎ 的 てき 基礎 きそ 。尤 ゆう 其在牛 うし 頓 ひたぶる 力學 りきがく 中 なか ,很重視 じゅうし 一物體位置的时间导数:
速度 そくど 是 ぜ 一 いち 物體 ぶったい 位 い 移 うつり (相對 そうたい 於時間 あいだ )的 てき 微分 びぶん 。
加速度 かそくど 是 ぜ 一 いち 物體 ぶったい 速度 そくど (相對 そうたい 於時間 あいだ )的 てき 微分 びぶん ,也就是 ぜ 位 い 移 うつり (相對 そうたい 於時間 あいだ )的 てき 二 に 階 かい 微分 びぶん 。
例 れい 如:若 わか 物體 ぶったい 在 ざい 一直線上的位置可以用下式表示
x
(
t
)
=
−
16
t
2
+
16
t
+
32
,
{\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}
則 のり 其速度 ど 為 ため
x
˙
(
t
)
=
x
′
(
t
)
=
−
32
t
+
16
,
{\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}
而加速度 そくど 為 ため
x
¨
(
t
)
=
x
″
(
t
)
=
−
32
,
{\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}
此時加速度 かそくど 已 やめ 為 ため 定 てい 值。
微分 びぶん 方 かた 程 ほど 是 ぜ 指 ゆび 一函數和其微分之間的關係。常微分 じょうびぶん 方 かた 程 ほど 會 かい 描述單 たん 變數 へんすう 函數 かんすう 和 わ 其微分 ぶん 之 の 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい 。而偏 へん 微分 びぶん 方 かた 程 ほど 則 のり 是 ぜ 多 た 變數 へんすう 函數 かんすう 和 わ 其偏 へん 微分 びぶん 之 これ 間 あいだ 的 てき 關係 かんけい 。在 ざい 自然 しぜん 科學 かがく 、數學 すうがく 建 けん 模 も ,甚至是 ぜ 數學 すうがく 領域 りょういき 中 なか 都 と 常常 つねづね 會 かい 出現 しゅつげん 微分 びぶん 方 かた 程 ほど 。例 れい 如,牛 うし 頓 ひたぶる 第 だい 二 に 定律 ていりつ 描述力 りょく 和 わ 加速度 かそくど 的 てき 關係 かんけい ,可 か 以表示 ひょうじ 為 ため 以下 いか 的 てき 常微分 じょうびぶん 方 かた 程 ほど
F
(
t
)
=
m
d
2
x
d
t
2
.
{\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}
一 いち 維空間 あいだ 下 か 的 てき 熱 ねつ 傳導 でんどう 方程式 ほうていしき 描述熱 ねつ 在 ざい 一桿狀物上如何傳遞,其偏微分 びぶん 方 かた 程 ほど 如下
∂
u
∂
t
=
α あるふぁ
∂
2
u
∂
x
2
.
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}
此處 ここら u (x ,t )為 ため 桿狀物 ぶつ 時間 じかん t 時 とき ,在 ざい 位置 いち x 的 てき 溫度 おんど ,而α あるふぁ 為 ため 一 いち 常數 じょうすう ,和 わ 熱 ねつ 在 ざい 桿狀物上 ぶつじょう 傳 でん 遞的速度 そくど 成 なり 正 せい 比 ひ 。
均 ひとし 值定理 ていり :對 たい 於每個 こ 可 か 微分 びぶん 函數 かんすう
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
(
a
<
b
{\displaystyle a<b}
),存在 そんざい
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
使 つかい 得 とく
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
{\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}
.
均 ひとし 值定理 ていり 提供 ていきょう 了 りょう 函數 かんすう 的 てき 導 しるべ 數 すう 和 わ 其原 そのはら 始 はじめ 值之間 あいだ 的 てき 關係 かんけい 。若 わか f (x )是 ぜ 實 じつ 值函數 すう ,而a 和 わ b 是 ぜ 實數 じっすう ,且a < b ,則 のり 根據 こんきょ 均 ひとし 值定理 ていり (配合 はいごう 少 しょう 許 もと 的 てき 假設 かせつ ),兩 りょう 點 てん (a , f (a )) 和 わ (b , f (b )) 之 これ 間 あいだ 的 てき 斜 はす 率 りつ 會 かい 等 とう 於在a 和 わ b 中間 ちゅうかん 某 ぼう 一 いち 點 てん c 的 てき 切線 せっせん 斜 はす 率 りつ 。換 かわ 句 く 話 はなし 說 せつ
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
.
{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
實際 じっさい 上 じょう ,均 ひとし 值定理 ていり 是 ぜ 以其導 しるべ 數 すう 的 てき 方式 ほうしき 來 らい 控 ひかえ 制 せい 一 いち 個 こ 函數 かんすう 。例 れい 如,假設 かせつ f 有 ゆう 導 しるべ 數 すう ,在 ざい 每 まい 一 いち 點 てん 均 ひとし 為 ため 0,這表示 ひょうじ 其每一點的切線都是水平線,因 いん 此其函數 かんすう 應 おう 該也就是水平 すいへい 線 せん 。均 ひとし 值定理 ていり 證明 しょうめい 這是對 たい 的 てき :f 圖上 ずじょう 二點之間的斜率必須等於f 中 なか 的 てき 某 ぼう 一 いち 條 じょう 切線 せっせん 。而所有 しょゆう 的 てき 切線 せっせん 斜 はす 率 りつ 都 と 是 ぜ 0,因 いん 此從函數 かんすう 上 じょう 任 にん 二點之的直線斜率也是0。這表示 ひょうじ 函數 かんすう 不 ふ 會 かい 上昇 じょうしょう 也不會 かい 下降 かこう ,因 いん 此是水平 すいへい 線 せん 。若 わか 是 ぜ 導 しるべ 數 すう 的 てき 條件 じょうけん 比較 ひかく 複雜 ふくざつ ,所產 しょさん 生 せい 的 てき 原 げん 函數 かんすう 資 し 訊會比較 ひかく 不 ふ 準 じゅん 確 かく ,但 ただし 仍然有用 ゆうよう 。
一函數的某一點的微分是對該點附近最佳的線性近似,不 ふ 過 か 這和實際 じっさい 的 てき 函數 かんすう 可能 かのう 有 ゆう 很大的 てき 差異 さい 。改善 かいぜん 近似 きんじ 的 てき 一 いち 個 こ 方式 ほうしき 就是進行 しんこう 二 に 次 じ 近似 きんじ 。也就是 ぜ 說 せつ ,實 じつ 值函數 すう f (x )在 ざい x 0 點 てん 的 てき 線 せん 性 せい 化 か 是 ぜ 線 せん 性 せい 多項式 たこうしき a + b (x − x 0 ) ,若 わか 考慮 こうりょ 一 いち 個 こ 二 に 次 じ 多項式 たこうしき a + b (x − x 0 ) + c (x − x 0 )2 ,可能 かのう 會 かい 有 ゆう 更 さら 好 このみ 的 てき 近似 きんじ 結果 けっか 。若 わか 二次多項式改為三次多項式a + b (x − x 0 ) + c (x − x 0 )2 + d (x − x 0 )3 ,近似 きんじ 效果 こうか 會 かい 更 さら 好 こう 一 いち 些,此概念 がいねん 可 か 以擴展 てん 到 いた 任意 にんい 多 た 次 つぎ 的 てき 高次 こうじ 多項式 たこうしき 。針 はり 對 たい 一 いち 個 こ 多項式 たこうしき ,都 と 應 おう 該會有 ゆう 一 いち 個 こ 最 さい 佳 けい 的 てき 係數 けいすう a 、b 、c 、d ……的 てき 組合 くみあい ,讓 ゆずる 近似 きんじ 的 てき 效果 こうか 最 さい 好 このみ 。
在 ざい x 0 的 てき 邻域 ,對 たい a 來 き 說 せつ ,最 さい 理想 りそう 的 てき 數 すう 值一定 いってい 是 ぜ f (x 0 ) ,對 たい b 來 き 說 せつ ,最 さい 理想 りそう 的 てき 數 すう 值一定 いってい 是 ぜ f' (x 0 ) ,對 たい For c 、d 及更高 だか 階 かい 的 てき 係數 けいすう 來 らい 說 せつ ,其係數 すう 最 さい 理想 りそう 的 てき 數 すう 值是由 ゆかり f 更 さら 高 だか 階 かい 的 てき 導 しるべ 數 すう 決定 けってい 。c 最 さい 理想 りそう 的 てき 數 すう 值一定 いってい 是 ぜ f'' (x 0 )/ 2 ,and d 最 さい 理想 りそう 的 てき 數 すう 值一定 いってい 是 ぜ f''' (x 0 )/ 3! 。利用 りよう 這些係數 けいすう ,可 か 以得到 いた f 的 てき 泰 たい 勒多項式 たこうしき 。d 次 つぎ 的 てき 泰 たい 勒多項式 たこうしき 是 ぜ 對 たい f 可 か 以有最 さい 佳 けい 近似 きんじ 的 てき d 次 じ 多項式 たこうしき ,其係數 すう 可 か 以用上述 じょうじゅつ 公式 こうしき 推廣而得。泰 たい 勒公式 しき 提供 ていきょう 近似 きんじ 程度 ていど 的 てき 精確 せいかく 範圍 はんい 。若 わか 函數 かんすう f 是 ぜ 次數 じすう 小 しょう 於等於d 的 てき 多項式 たこうしき 。則 のり 此函數 すう 的 てき d 次 つぎ 泰 たい 勒多項式 たこうしき 即 そく 為 ため 函數 かんすう f 。
泰 たい 勒多項式 たこうしき 的 てき 極限 きょくげん 是 ぜ 無窮 むきゅう 級數 きゅうすう ,稱 たたえ 為 ため 泰 たい 勒级数 すう 。多 た 半 はん 來 らい 說 せつ 泰 たい 勒级数 すう 是 ぜ 原 げん 函數 かんすう 非常 ひじょう 理想 りそう 的 てき 近似 きんじ 。一函數若都各點等於其泰勒级数,稱 しょう 為 ため 解析 かいせき 函数 かんすう 。若 わか 函數 かんすう 有 ゆう 不連續 ふれんぞく 點 てん 或 ある 是 ぜ 斜 はす 率 りつ 不連續 ふれんぞく 的 てき 尖 とんが 角 かく ,此函數 すう 不 ふ 會 かい 是 ぜ 解析 かいせき 函数 かんすう ,不 ふ 過 か 相反 あいはん 的 てき ,存在 そんざい 一 いち 些函數 すう 是 ぜ 光 ひかり 滑 すべり 函数 かんすう (無窮 むきゅう 階 かい 可 か 導 しるべ 的 てき 函數 かんすう ),卻不是 ぜ 解析 かいせき 函数 かんすう (非 ひ 解析 かいせき 的 てき 光 ひかり 滑 すべり 函數 かんすう )。
有 ゆう 些幾何 なん 圖形 ずけい (例 れい 如圆 )無法 むほう 用 よう 函数 かんすう 图形來 らい 表示 ひょうじ 。例 れい 如若f (x , y ) = x 2 + y 2 − 1 ,其圓即 そく 為 ため 所有 しょゆう 使 し f (x , y ) = 0的 まと 點 てん (x , y ) 的 てき 集合 しゅうごう 。這個集合 しゅうごう 稱 たたえ 為 ため f 的 てき 零 れい 集 しゅう 。這和f 本身 ほんみ 的 てき 圖形 ずけい (抛 ほう 物 もの 面 めん )不同 ふどう 。隐函数 すう 定理 ていり 可 か 以將f (x , y ) = 0之 これ 類 るい 的 てき 關係 かんけい 轉換 てんかん 為 ため 函數 かんすう 。其中提 ひっさげ 到 いた ,若 わか f 是 これ 連續 れんぞく 可 か 微 ほろ 函數 かんすう ,f 的 てき 零 れい 集中 しゅうちゅう 大部 たいぶ 份都可 か 以表示 ひょうじ 為 ため 函數 かんすう 圖形 ずけい 「粘 ねば 貼 は 」的 てき 組合 くみあい 。零 れい 集 しゅう 上 じょう 的 てき 個 こ 點 てん 是 ぜ 否 ひ 滿足 まんぞく 上述 じょうじゅつ 條件 じょうけん ,可 か 以用一 いち 個 こ 和 わ f 微 ほろ 分有 ぶんゆう 關 せき 的 てき 方式 ほうしき 來 らい 確認 かくにん 。例 れい 如圓可 か 以表示 ひょうじ 成 なり 二 に 個 こ 函數 かんすう 圖形 ずけい ±
1
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {{1}-{{x}^{2}}}}}
「粘 ねば 貼 は 」後 ご 的 てき 結果 けっか 。圓上 えんじょう 除 じょ 了 りょう (−1, 0) 和 わ (1, 0) 二 に 點 てん 之 の 外 そと ,在 ざい 其餘每 ごと 一 いち 個 こ 點 てん 的 てき 鄰域上 じょう ,上述 じょうじゅつ 二個函數中都有一個的圖形和圓的圖形類似。(上述 じょうじゅつ 二個函數其實剛好也通過(−1, 0) 和 わ (1, 0) ,不 ふ 過 か 這不是 ぜ 隐函数 すう 定理 ていり 中 ちゅう 提 ひっさげ 到 いた 的 てき 內容)
隐函数 すう 定理 ていり 和 わ 反 はん 函数 かんすう 定理 ていり 有 ゆう 密 みつ 切 きり 的 てき 關係 かんけい 。反 はん 函数 かんすう 定理 ていり 提 ひっさげ 到 いた 一函數在一點的開區域內具有反 はん 函數 かんすう 的 てき 充分 じゅうぶん 條件 じょうけん 。
^ " Integral Calculus - Definition of Integral calculus by Merriam-Webster" . www.merriam-webster.com. [2018-05-01 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档于2021-11-22) (英 えい 语) .
^ ,可 か 參考 さんこう 《几何原本 げんぽん 》、阿 おもね 基 もと 米 まい 德重 とくしげ 寫本 しゃほん 及約 やく 翰·J·奧 おく 康 かん 納 おさむ ; 埃 ほこり 德 とく 蒙 こうむ ·F·羅 ら 伯 はく 遜 へりくだ , Apollonius of Perga , MacTutor数学 すうがく 史 し 档案 (英 えい 语)
^ 約 やく 翰·J·奧 おく 康 かん 納 おさむ ; 埃 ほこり 德 とく 蒙 こうむ ·F·羅 ら 伯 はく 遜 へりくだ , Aryabhata the Elder , MacTutor数学 すうがく 史 し 档案 (英 えい 语)
^ Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II. (页面存 そん 档备份 ,存 そん 于互联网档案 あん 馆 )
^ Broadbent, T. A. A.; Kline, M. Reviewed work(s): The History of Ancient Indian Mathematics by C. N. Srinivasiengar . The Mathematical Gazette. October 1968, 52 (381): 307–8. JSTOR 3614212 . doi:10.2307/3614212 .
^ 6.0 6.1 J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp. 304-309.
^ Cited by J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp. 304-309.
^ 牛 うし 顿在1666年 ねん 開始 かいし 此研究 けんきゅう ,莱布尼 あま 茨 いばら 在 ざい 1676年 ねん 開始 かいし 。但 ただし 是 ぜ 莱布尼 あま 茨 いばら 在 ざい 1684年 ねん 發表 はっぴょう 第 だい 一 いち 篇 へん 相關 そうかん 的 てき 論文 ろんぶん ,在 ざい 牛 うし 頓 ひたぶる 1693年 ねん 的 てき 第 だい 一 いち 篇 へん 論文 ろんぶん 之 の 前 まえ 。有 ゆう 可能 かのう 莱布尼 あま 茨 いばら 看過 かんか 牛 うし 頓 ひたすら 在 ざい 1673年 ねん 或 ある 1676年 ねん 研究 けんきゅう 的 てき 草稿 そうこう ,也有 やゆう 可能 かのう 是 ぜ 牛 うし 頓 ひたぶる 用 よう 了 りょう 莱布尼 あま 茨 いばら 的 てき 研究 けんきゅう 來 らい 改 あらため 進 すすむ 他 た 自己 じこ 的 てき 論文 ろんぶん 。最後 さいご 造成 ぞうせい 了 りょう 牛 うし 顿和莱布尼 あま 茨 いばら 在 ざい 微積分 びせきぶん 上 じょう 的 てき 爭議 そうぎ ,內容就是誰 だれ 才 さい 是 ぜ 第 だい 一 いち 個 こ 創建 そうけん 微積分 びせきぶん 的 てき 人 じん ,這造成 ぞうせい 18世紀 せいき 初期 しょき 的 てき 數學 すうがく 家 か 群 ぐん 體 たい 中 ちゅう 的 てき 震撼 しんかん
^ 此定理 ていり 限 げん 制 せい 較多的 てき 版本 はんぽん 以往 いおう 已 やめ 由 ゆかり 詹姆斯·格 かく 雷 かみなり 果 はて 里 さと (1638年 ねん –1675年 ねん ),而皮 かわ 埃 ほこり 爾 なんじ ·德 とく ·費 ひ 馬 ば (1601年 ねん –1665)的 てき 著作 ちょさく 中 ちゅう 也有 やゆう 提 ひっさげ 到 いた 一些關鍵的例子,不 ふ 過 か 這仍是 ぜ 具有 ぐゆう 紀 き 念 ねん 性的 せいてき 成就 じょうじゅ
^ Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163-174 [165-9 & 173-4]
^ Sabra, A I. Theories of Light: From Descartes to Newton . Cambridge University Press. 1981: 144 . ISBN 978-0521284363 .
^ Eves, H. (1990).