數 かず 分 ぶん 是 これ 數 かず 法 ほう 中 なか 的 てき 名詞 めいし 是 ぜ 用 よう 函數 かんすう 的 てき 已 やめ 知 ち 資 し 一 いち 函數 かんすう 導 しるべ 數 すう 的 てき 演算 えんざん 法 ほう
最 さい 簡單 かんたん 的 てき 方式 ほうしき 是 ぜ 使用 しよう 有限 ゆうげん 差分 さぶん 近似 きんじ
簡單 かんたん 的 てき 二 に 點 てん 法 ほう 是 ぜ 計算 けいさん 經過 けいか x ,f(x) )及鄰近 きん 點 てん x+h ,f(x+h) )二 に 點 てん 形成 けいせい 割 わり 線 せん 的 てき 斜 はす 率 りつ [ 1] 選擇 せんたく 一 いち 個 こ 小 しょう 的 てき 數 すう h ，表示 ひょうじ x 的 てき 小 しょう 變化 へんか 可 か 是正 ぜせい 是 ぜ 負 ふ 率 りつ 為 ため
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
.
{\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over h}.}
此表示法 ひょうじほう 是 ぜ 牛 うし 頓 とみ 的 てき 差 さ 商 しょう 為 ため 一 いち 階 かい 均 ひとし 差 さ
割 わり 線 せん 斜 はす 率 りつ 和 わ 切線 せっせん 斜 はす 率 りつ 有 ゆう 差異 さい 差異 さい 大約 たいやく 和 わ h 成 なり 正 せい 比 ひ 若 わか h 近似 きんじ 則 のり 割 わり 線 せん 斜 はす 率 りつ 近似 きんじ 線 せん 斜 はす 率 りつ 因 よし 函數 かんすう f 真正 しんしょう 在 ざい x 處 しょ 真正 しんせい 的 てき 斜 はす 率 りつ 是 これ 割 わり 線 せん 切線 せっせん 時 じ 的 てき 差 さ 商 しょう
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}.}
若 わか 直接 ちょくせつ 將 はた h 用 もちい 取 と 代 だい 會得 えとく 到 いた 除 じょ 的 てき 結果 けっか 因 いん 計算 けいさん 導 しるべ 數 すう 需要 じゅよう
同様 どうよう 的 てき 切線 せっせん 斜 はす 率 りつ 和 わ 二 に 點 てん 的 てき 割 わり 線 せん 斜 はす 率 りつ 近似 きんじ
另外一種二點估計法是用經過(x-h ,f(x-h) )和 かず x+h ,f(x+h) )二 に 點 てん 的 てき 割 わり 線 せん 率 りつ 為 ため
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
−
h
)
2
h
.
{\displaystyle {f(x+h)-f(x-h) \over 2h}.}
上述 じょうじゅつ 公式 こうしき 稱 たたえ 為 ため 對稱 たいしょう 差分 さぶん 次項 じこう 誤差 ごさ 相 しょう 消 きえ 因 いん 線 せん 斜 はす 率 りつ 和 わ 切線 せっせん 斜 はす 率 りつ 的 てき 差 さ 和 わ
h
2
{\displaystyle h^{2}}
成 なり 正 せい 比 ひ 對 たい 小 しょう 的 てき h 而言這個值比單 たん 邊 あたり 近似 きんじ 還 かえ 要 よう 準 じゅん 確 かく 特別 とくべつ 的 てき 是 ぜ 公式 こうしき 計算 けいさん 點 てん 的 てき 斜 はす 率 りつ 但 ただし 不 ふ 會 かい 用 よう 到 いた 函數 かんすう 在 ざい 點 てん 的 てき 數 すう
估計誤差 ごさ 為 ため
R
=
−
f
(
3
)
(
c
)
6
h
2
{\displaystyle R={{-f^{(3)}(c)} \over {6}}h^{2}}
其中
c
{\displaystyle c}
為 ため 在 ざい
x
−
h
{\displaystyle x-h}
和 わ
x
+
h
{\displaystyle x+h}
之 これ 間 あいだ 的 てき 某 ぼう 一 いち 點 てん 差 さ 沒 ぼつ 有 ゆう 包括 ほうかつ 因 いん 為 ため 有限 ゆうげん 準 じゅん 確度 かくど 生 せい 的 てき 捨入誤差 ごさ 。
很多工程 こうてい 計算 けいさん 機 き 都 と 是 ぜ 用 よう 對稱 たいしょう 差分 さぶん 來 らい 計算 けいさん 導 しるべ 數 すう 像 ぞう 德 とく 州 しゅう 儀 ぎ 器 き 的 てき TI-82 、TI-83 、TI-84 及TI-85 ，其h =0.001[ 2] [ 3]
雖然在 ざい 實務 じつむ 十 じゅう 分 ふん 常用 じょうよう 但 ただし 上述 じょうじゅつ 尤 ゆう 被 ひ 一 いち 使用 しよう 自動 じどう 微分 びぶん 的 てき 研究 けんきゅう 者 しゃ 批評 ひひょう [ 4] 因 いん 為 ため 上述 じょうじゅつ 的 てき 數 すう 分 ぶん 確度 かくど 不 ふ 高 こう 若 わか 計算 けいさん 器 き 精 しらげ 準 じゅん 度 ど 是 ぜ 六 ろく 位 い 數 すう 用 よう 對稱 たいしょう 差分 さぶん 計算 けいさん 導 しるべ 數 すう 只 ただ 有 ゆう 三 さん 位 い 數 すう 的 てき 精確 せいかく 度 ど 是 ぜ 一 いち 計算 けいさん 斜 はす 率 りつ 的 てき 函數 かんすう 幾 いく 六 ろく 位 い 數 すう 的 てき 精確 せいかく 度 ど 例 れい 假設 かせつ 2 ，用 もちい 計算 けいさん 斜 はす 率 りつ 有 ゆう 幾 いく 整 せい 的 てき 準 じゅん 確度 かくど 差分 さぶん 近似 きんじ 有 ゆう 上述 じょうじゅつ 的 てき 問題 もんだい
利用 りよう 數 すう 的 てき 實際 じっさい 考量 こうりょう [ 编辑 ] 在 ざい 數 すう 運算 うんざん 下 か 不同 ふどう 的 てき
h
{\displaystyle h}
造成 ぞうせい 的 てき 誤差 ごさ 式 しき 誤差 ごさ 只 ただ 有 ゆう 在 ざい 特定 とくてい 誤差 ごさ 才 ざい 是 ぜ 最小 さいしょう 若 わか 計算 けいさん 時 じ 使用 しよう 浮點數 すう ，就需要 よう 考慮 こうりょ h 要 よう 取 と 到 いた 多 た 小 しょう 若 わか 選 せん 的 てき 太 ふと 小 しょう 相 そう 減 げん 之 の 後會 こうかい 有 ゆう 大 だい 的 てき 捨入誤差 ごさ ，事實 じじつ 上 うえ 整 せい 個 こ 有限 ゆうげん 差分 さぶん 的 てき 公式 こうしき 都 と 是 ぜ 病態 びょうたい 的 てき [ 5] 若 わか h 夠小，導 しるべ 數 すう 不為 ふため 零 れい 的 てき 情 じょう 形 がた 下 か 在 ざい 相 あい 消 けし 後 ご 會得 えとく 到 いた 數 かず 分 ぶん 為 ため 零 れい 的 てき 結果 けっか [ 6] 若 わか h 太 ふと 大 だい 計算 けいさん 割 わり 線 せん 斜 はす 率 りつ 的 てき 結果 けっか 更 さら 加 か 準 じゅん 確 かく 但 ただし 用 よう 割 わり 線 せん 斜 はす 率 りつ 切線 せっせん 斜 はす 率 りつ 的 てき 誤差 ごさ 大 だい 了 りょう
一種可以產生夠小的h ，但 ただし 又 また 不 ふ 會 かい 產 さん 生 せい 誤差 ごさ 的 てき 方式 ほうしき 是 ぜ
ε いぷしろん
x
{\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}x}
不 ふ 過 か x 不能 ふのう 為 ため 最小 さいしょう 数 すう ε いぷしろん 大約 たいやく 是 ぜ −16 數量 すうりょう 級 きゅう [ 7] 以下 いか 是 ぜ 有 ゆう 最 さい 佳 よ 精確 せいかく 度 ど 的 てき h 為 ため
h
=
2
ε いぷしろん
|
f
(
x
)
f
″
(
x
)
|
{\displaystyle h=2{\sqrt {\varepsilon |{f(x) \over f''(x)}|}}}
[ 8] 不 ふ 過 か 時 じ 不成立 ふせいりつ 需要 じゅよう 有 ゆう 關 せき 函數 かんすう 的 てき 資 し
上述 じょうじゅつ 的 てき 最小 さいしょう 数 すう 是 ぜ 針 はり 對 たい 雙 そう 精度 せいど 變數 へんすう 單精度 たんせいど 變數 へんすう 在 ざい 計算 けいさん 幾 いく 太 ふとし 實用 じつよう 計算 けいさん 結果 けっか 在 ざい 整數 せいすう x 是 ぜ 可 か 數表示 すうひょうじ 的 てき 數字 すうじ 但 ただし x + h 幾 いく 會 かい 可用 かよう 數表示 すうひょうじ 和 わ x 不同 ふどう 的 てき 數字 すうじ 因 いん x + h 需調整 ちょうせい 為 ため 機器 きき 可讀 かどく 的 てき 數字 すうじ 因 いん 出現 しゅつげん x + h ) - x 不等 ふとう h 的 てき 情 じょう 形 がた 因 いん h 。幾 いく 所有 しょゆう 的 てき 都 と 像 ぞう 在 ざい 例 れい h = 0.1在 ざい 是 ぜ 因 よし 數 すう 下 か 一 いち 個 こ 可能 かのう 計算 けいさん 的 てき 方式 ほうしき 是 ぜ
h:=sqrt(eps)*x;
xph:=x + h;
dx:=xph - x;
slope:=(F(xph) - F(x))/dx;
先 さき 計算 けいさん x + h ) - x 的 てき 再 さい 用 よう 作為 さくい 微分 びぶん 算式 さんしき 的 てき 分母 ぶんぼ 不 ふ 過 か 若 わか 是 ぜ 用 よう 電腦 でんのう 計算 けいさん 編 へん 譯 やく 器 き 最 さい 佳 けい 化 か 的 てき 機能 きのう 可能 かのう 會 かい 認 みとめ 為 ため dx 和 わ h 相 あい 同 どう 因 いん 上述 じょうじゅつ 的 てき 方式 ほうしき 失效 しっこう 若 わか 是 ぜ 用 よう 或 ある 類似 るいじ 的 てき 程 ほど 式 しき 語 ご 言 げん 可 か xph 宣告 せんこく 成 なり Volatile变量 ，以避免 めん 問題 もんだい
也有 やゆう 用 よう 更 さら 高 だか 階 かい 導 しるべ 數 すう 的 てき 方法 ほうほう 或 ある 是 ぜ 高 だか 階 かい 導 しるべ 數 すう 的 てき 方法 ほうほう
以下 いか 一 いち 階 かい 導 みちびけ 數 すう 的 てき 五 ご 點 てん 法 ほう 一 いち 的 てき 五 ご 點 てん 模 も 版 ばん [ 9]
f
′
(
x
)
=
−
f
(
x
+
2
h
)
+
8
f
(
x
+
h
)
−
8
f
(
x
−
h
)
+
f
(
x
−
2
h
)
12
h
+
h
4
30
f
(
5
)
(
c
)
{\displaystyle f'(x)={\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}+{\frac {h^{4}}{30}}f^{(5)}(c)}
其中
c
∈
[
x
−
2
h
,
x
+
2
h
]
{\displaystyle c\in [x-2h,x+2h]}
微分 びぶん 求 もとめ 是 ぜ 用 よう 函數 かんすう 在 ざい 特定 とくてい 位置 いち 數 すう 加 か 權 けん 和 わ 來 らい 近似 きんじ 導 しるべ 數 すう [ 10] [ 11] 名稱 めいしょう 類似 るいじ 數 かず 分 ぶん 中 ちゅう 用 よう 的 てき 求 もとめ 是 ぜ 像 ぞう 梯形 ていけい 法 ほう 或 ある 是 ぜ 辛 からし 普 ひろし 森 もり 法 ほう 中 ちゅう 用 よう 的 てき 加 か 權 けん 和 わ 有 ゆう 許多 きょた 方式 ほうしき 可 か 加 か 權 けん 的 てき 係數 けいすう 在 ざい 求 もとめ 解 かい 偏 へん 微分 びぶん 方 かた 程 ほど 時 どき 會 かい 用 よう 到 いた 微分 びぶん 求 もとめ
傳統 でんとう 用 よう 有限 ゆうげん 差分 さぶん 近似 きんじ 數 すう 分 ぶん 的 てき 方式 ほうしき 是 ぜ 病態 びょうたい 的 てき 不 ふ 過 か 若 わか
f
{\displaystyle f}
是 これ 全 ぜん 純 じゅん 函數 かんすう 在 ざい 實 じつ 軸 じく 上 じょう 的 てき 是 ぜ 實數 じっすう 可 か 複數 ふくすう 平面 へいめん 中 ちゅう 靠 もたれ 近 ちか
x
{\displaystyle x}
的 てき 位置 いち 來 らい 求 もとめ 此方 こちら 式 しき 為 ため 數 かず 定 じょう 的 てき 方式 ほうしき 例 れい [ 6] [ 12]
f
′
(
x
)
≈
ℑ
(
f
(
x
+
i
h
)
)
/
h
{\displaystyle f'(x)\approx \Im (f(x+ih))/h}
上述 じょうじゅつ 公式 こうしき 只 ただ 在 ざい 計 けい 一 いち 階 かい 導 みちびけ 數 すう 時 じ 有效 ゆうこう 若 わか 要 よう 拓 つぶせ 展 てん 到 いた 任意 にんい 階 かい 導 しるべ 數 すう 需要 じゅよう 用 よう 到 いた 多重 たじゅう 結果 けっか 是 ぜ 多重 たじゅう 的 てき 導 しるべ 數 すう [ 13]
而任意 にんい 階 かい 的 てき 導 しるべ 數 すう 可 か 柯西積分 せきぶん 公式 こうしき 計算 けいさん
f
(
n
)
(
a
)
=
n
!
2
π ぱい i
∮
γ がんま
f
(
z
)
(
z
−
a
)
n
+
1
d
z
{\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} z}
其中積分 せきぶん 會 かい 用 よう 數 かず 分 ぶん 計算 けいさん
Lyness和 わ 在 ざい 年 ねん 提出 ていしゅつ 用 よう 複 ふく 變數 へんすう 來 らい 計算 けいさん 數 すう 分 ぶん [ 14] 和 わ 提出 ていしゅつ 一 いち 種 しゅ 用 よう 複數 ふくすう 拉 ひしげ 普 ひろし 拉 ひしげ 轉換 てんかん 的 てき 數 すう 演 えんじ 為 ため 基礎 きそ 的 てき 算法 さんぽう [ 15]
^ Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2000), Numerical Analysis , (7th Ed), Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9
^ Katherine Klippert Merseth. Windows on Teaching Math: Cases of Middle and Secondary Classrooms . Teachers College Press. 2003: 34 . ISBN 978-0-8077-4279-2 ^ Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn. Kaplan AP Calculus AB & BC 2015 . Kaplan Publishing. 2014: 299 . ISBN 978-1-61865-686-5 ^ Andreas Griewank; Andrea Walther. Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition . SIAM. 2008: 2– [2016-07-03 ] . ISBN 978-0-89871-659-7原始 げんし 内容 ないよう 存 そん ^ Numerical Differentiation of Analytic Functions, B Fornberg - ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 1981
^ 6.0 6.1 Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Functions, W Squire, G Trapp - SIAM REVIEW, 1998
^ Following Numerical Recipes in C , Chapter 5.7 （页面存 そん ，存 そん 互联网档案 あん ）
^ p. 263 [1] （页面存 そん ，存 そん 互联网档案 あん ）
^ Abramowitz & Stegun, Table 25.2
^ Differential Quadrature and Its Application in Engineering: Engineering Applications, Chang Shu, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-209-9
^ Advanced Differential Quadrature Methods, Yingyan Zhang, CRC Press, 2009, ISBN 978-1-4200-8248-7
^ Martins, JRRA; Sturdza, P; Alonso, JJ. The Complex-Step Derivative Approximation . ACM Transactions on Mathematical Software. 2003, 29 (3): 245–262. doi:10.1145/838250.838251 CiteSeerX : 10.1.1.141.8002 ^ 存 そん 副本 ふくほん (PDF) . [2012-11-24 ] . （原始 げんし 内容 ないよう (PDF) 存 そん ^ Lyness, J. N.; Moler, C. B. Numerical differentiation of analytic functions. SIAM J.Numer. Anal. 1967, 4 : 202–210. doi:10.1137/0704019 ^ Abate, J; Dubner, H. A New Method for Generating Power Series Expansions of Functions. SIAM J. Numer. Anal. March 1968, 5 (1): 102–112. doi:10.1137/0705008
![{\displaystyle c\in [x-2h,x+2h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666c60123c8e7ff40bbb58e46c1af3c5fbb5e688)
.