通つう量りょう

向こう量りょう場じょうF的てき場ば線せん通過つうか具有ぐゆう單位たんい法線ほうせんn的てき表面ひょうめん，從したがえn到いたF的てき角度かくど為ためθしーた。通つう量りょう是ぜ多少たしょう場じょう通過つうか給きゅう定てい表面ひょうめん的てき量りょう度ど。F被ひ分解ぶんかい為ため與あずかn垂直すいちょく（⊥）和平わへい行ぎょう（‖）的てき分量ぶんりょう。只ただ有ゆう平行へいこう分量ぶんりょう對たい通どおり量りょう有ゆう貢獻こうけん，因いん為ため它是在ざい一個點處穿過表面的場的最大範圍，垂直すいちょく分量ぶんりょう沒ぼつ有ゆう貢獻こうけん。 上うえ圖ず：通過つうか平面へいめん的てき三さん條じょう磁力じりょく線せん，一條いちじょう垂直すいちょく於表面めん，一條いちじょう平行へいこう，一いち條じょう中間ちゅうかん 。下圖したず：通過つうか曲面きょくめん的てき磁力じりょく線せん，顯示けんじ單位たんい法線ほうせん和わ表面ひょうめん元素げんそ的てき設置せっち以計算けいさん通どおり量りょう。

為ため了りょう計算けいさん通過つうか表面ひょうめんS的矢まとや量りょう場じょうF（紅色こうしょく箭や頭あたま）的てき通どおり量りょう，將はた表面ひょうめん分ぶん成なり小しょう塊かたまりdS。通過つうか每ごと個こ面めん片へん的てき通どおり量りょう等とう於場的てき法線ほうせん（垂直すいちょく）分量ぶんりょう，即そくF(x)與あずか點てんx處しょ的てき單位たんい法ほう向むこう量りょうn(x)（藍色あいいろ箭や頭あたま）乘じょう以面積めんせきdS的てき內積。 表面ひょうめん上じょう每まい個こ小しょう塊かたまり的てきF • n, dS之これ和かず是ただし通過つうか表面ひょうめん的てき通どおり量りょう。

通つう量りょう（英語えいご：Flux），或ある稱しょう流ながれ束たば是ぜ通過つうか一個表面或一個物質的量，是ぜ一いち个物理ぶつり学がく和かず应用数学すうがく的てき概念がいねん。在ざい热学和わ流体りゅうたい力学りきがく领域中ちゅう，研究けんきゅう输运现象时，是ぜ指ゆび在ざい单位时间内通ないつう过单位面めん积的てき具有ぐゆう方向ほうこう的てき流量りゅうりょう，它是一いち个向むかい量りょう；在ざい电磁学がく领域中ちゅう，是ぜ指ゆび在ざい单位面めん积上うえ垂直すいちょく于其表面ひょうめん的てき磁场或ある电场的てき强度きょうど，它是一いち个标量。

给定一个三维空间中的向量场$\mathbf {A}$以及一个简单有向曲面$\Sigma$，则向量りょう场$\mathbf {A}$通つう过曲面めん$\Sigma$的まと通どおり量りょう就是曲面きょくめん每ごと一いち点てん$x$上うえ的てき场向量りょう$\mathbf {A} (x)$在ざい曲面きょくめん法ほう向こう方向ほうこう上じょう的てき分量ぶんりょう的てき积分:

$\Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S$

其中$\mathrm {d} S$是ぜ积分的てき面めん积元，n是ぜΣしぐま在ざい点てん(x,y,z)处的单位法ほう向むこう量りょう。如果曲面きょくめん是ぜ封ふう闭的，例れい如球面めん，那な么通常つうじょう约定法ほう向むこう量りょう是ぜ从裡朝あさ外的がいてき，所以ゆえん这时候こう的てき通どおり量りょう是ぜ描述曲面きょくめん上じょう的てき场向量りょう朝あさ外的がいてき程度ていど。

術語じゅつご

通つう量りょう這個詞し源げん於拉ひしげ丁ひのと語ご：fluxus 意い為ため“流りゅう”，fluere 是ぜ“流動りゅうどう”的てき意思いし。而 fluxion 一いち詞し是ぜ由ゆかり牛うし頓とみ引入微積分びせきぶん。

熱ねつ通どおり量りょう的てき概念がいねん是ぜ約やく瑟夫·傅でん立葉たてば對たい熱ねつ傳でん遞現象げんしょう分析ぶんせき的てき重要じゅうよう貢獻こうけん之の一いち。他た的てき重要じゅうよう著作ちょさく《熱ねつ的てき分析ぶんせき理論りろん》（英語えいご：The Analytical Theory of Heat）中ちゅう，將はた fluxion 定義ていぎ為ため一いち個こ核心かくしん量りょう，並なみ推導出どうしゅつ了りょう現在げんざい的てき通どおり量りょう表ひょう達たち式しき。這些表ひょう達たち式しき與平よへい板いた的てき溫度おんど差異さい有ゆう關せき，且更廣義こうぎ地ち在ざい其他幾何きか形狀けいじょう的てき溫度おんど梯はしご度ど或ある溫度おんど差異さい有ゆう關せき。根據こんきょ詹姆斯·克かつ拉ひしげ克かつ·馬うま克かつ士し威たけし的てき研究けんきゅう，可か以顯示けんじ其傳輸的定義ていぎ早さ於磁通量りょう定義ていぎ。馬うま克かつ士し威い的てき具體ぐたい引言是ぜ：

In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.（中ちゅう文ぶん：就通量りょう而言，我わが們必須以通過つうか表面ひょうめん的てき每まい個こ通どおり量りょう對たい其表面めん取と積分せきぶん。這個操作そうさ的てき結果けっか即そく通どおり量的りょうてき曲面きょくめん積分せきぶん。它呈現げん的てき是ぜ通過つうか該表面めん的てき量りょう。）

—— 詹姆斯·克かつ拉ひしげ克かつ·馬うま克かつ士し威たけし

根據こんきょ傳でん輸的定義ていぎ，通つう量りょう可か為ため單たん一向ひたぶる量りょう，也可以是位置いち的てき向こう量りょう場じょう／函數かんすう。後者こうしゃ的てき通どおり量りょう可か以很容易ようい地ち在ざい一いち個こ表面ひょうめん上積うわづみ分ぶん。相そう比ひ之の下した，根據こんきょ電磁でんじ學がく定義ていぎ，通つう量りょう是ぜ對たい表面ひょうめん的てき積分せきぶん；對たい於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的，因いん為ため這樣會かい對たい表面ひょうめん進行しんこう兩次りょうじ積分せきぶん。因よし此，馬うま克かつ士し威い的てき引言只ただ有ゆう在ざい“通つう量りょう”按照傳でん輸定義ていぎ使用しよう時じ才ざい有意義ゆういぎ（進一しんいち步ふ來らい說せつ，是ぜ向むこう量りょう場じょう而不是ぜ單たん一向ひたぶる量りょう）。這很諷刺ふうし，因いん為ため馬うま克かつ士し威い是ぜ我わが們現在所ざいしょ稱しょう的てき“電通でんつう量りょう”和かず“磁通量りょう”的てき主要しゅよう發展はってん者しゃ之の一いち，而這些名稱めいしょう是ぜ根據こんきょ電磁でんじ學がく定義ていぎ來らい的てき。根據こんきょ該引言ごと（和かず傳つたえ輸定義ていぎ），它們應おう該被稱しょう為ため“電通でんつう量的りょうてき曲面きょくめん積分せきぶん”和かず“磁通量的りょうてき曲面きょくめん積分せきぶん”。在ざい這種情況じょうきょう下か，“電通でんつう量りょう”應おう定義ていぎ為ため“電場でんじょう”，“磁通量りょう”應おう定義ていぎ為ため“磁場じば”。這意味あじ著ちょ馬うま克かつ士し威い將はた這些場じょう視し為ため某ぼう種しゅ形式けいしき的てき流動りゅうどう／通つう量りょう。

根據こんきょ電磁でんじ學がく定義ていぎ的てき通どおり量りょう，其相應おう的てき通どおり量りょう密度みつど（假設かせつ使用しよう這個術語じゅつご）指ゆび的てき是ぜ沿積分ぶん表面ひょうめん的てき導しるべ數すう。根據こんきょ微積分びせきぶん基本きほん定理ていり，相應そうおう的てき通どおり量りょう密度みつど是ぜ根據こんきょ傳でん輸定義ていぎ的てき通どおり量りょう。給きゅう定じょう一いち個こ流りゅう，例れい如電じょでん流りゅう——每ごと單位たんい時間じかん的てき通電つうでん量りょう，電流でんりゅう密度みつど根據こんきょ傳でん輸定義也よしや是ぜ一いち個こ通どおり量りょう——每ごと單位たんい時間じかん每まい單位たんい面積めんせき的てき通電つうでん量りょう。由よし於通量的りょうてき定義ていぎ衝突しょうとつ，以及在ざい非ひ技術ぎじゅつ性せい英語えいご中通なかとおり量りょう、流動りゅうどう和わ電流でんりゅう的てき互換ごかん性せい，本ほん文中ぶんちゅう的てき所有しょゆう術語じゅつご有ゆう時じ會かい被ひ互相使用しよう且可能かのう含義模糊もこ。本文ほんぶん其餘部分ぶぶん中ちゅう具體ぐたい的てき通どおり量りょう將はた根據こんきょ其在文獻ぶんけん中ちゅう的てき廣こう泛接受せつじゅ度ど來らい使用しよう，無論むろん該術語ご對應たいおう哪種通どおり量的りょうてき定義ていぎ。

以單位い面積めんせき流量りゅうりょう表示ひょうじ的てき通どおり量りょう

在ざい輸送ゆそう現象げんしょう（熱ねつ傳でん、質しつ傳でん和わ流體りゅうたい動力どうりょく學がく），通つう量りょう被ひ定義ていぎ為ため「每まい單位たんい面積めんせき的てき流量りゅうりょう的てき流動りゅうどう率りつ」，其因いん次じ組成そせい為ため 量りょう (物理ぶつり)·[時間じかん]⁻¹·[面積めんせき]⁻¹。這個面積めんせき是ぜ流りゅう“通過つうか”或ある“穿ほじ過か”的てき表面ひょうめん。例れい如，每秒まいびょう鐘かね流りゅう經けい河かわ流りゅう橫よこ截面的てき水量すいりょう除じょ以橫截面的てき面積めんせき，或ある是ぜ每秒まいびょう鐘かね落在地面じめん一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積，都と是ぜ通どおり量的りょうてき例れい子こ。

一般いっぱん數學すうがく定義ていぎ（傳つて輸）

以下いか是ぜ按複雜ふくざつ度ど遞增ていぞう的てき三さん個こ定義ていぎ。每まい個こ定義ていぎ都と是ぜ下面かめん這個的てき一いち個こ特例とくれい。在ざい所有しょゆう情況じょうきょう下か，常用じょうよう符號ふごう ${\textstyle j}$（或ある ${\textstyle J}$）表示ひょうじ通どおり量りょう，${\textstyle q}$ 表示ひょうじ流動的りゅうどうてき物理ぶつり量りょう，${\textstyle t}$ 表示ひょうじ時間じかん，${\textstyle A}$ 表示ひょうじ面積めんせき。當とう且唯當とう這些標識ひょうしき符ふ是ぜ向むこう量りょう時じ，它們將はた以粗體たい顯示けんじ。

首くび先さき，通つう量りょう作為さくい一いち個こ（單一たんいつ的てき）純量じゅんりょう時とき：

$$j={\frac {I}{A}}$$

其中

$$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$$

在ざい這種情況じょうきょう下か，測量そくりょう固定こてい的てき通どおり量的りょうてき表面ひょうめん，且具有ぐゆう面積めんせき$A$。假設かせつ該表面めん是ぜ平坦へいたん的てき，而流量りょう在ざい各かく處しょ相對そうたい於位置いち是ぜ恆つね定じょう的てき，並なみ且垂直ちょく於表面めん。

其次，通つう量りょう作為さくい沿著表面ひょうめん定義ていぎ的てき純量じゅんりょう場じょう，即そく作為さくい表面ひょうめん上じょう各かく點てん的てき函數かんすう：

$$j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$$$I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).$$

如上じょじょう所しょ述じゅつ，假設かせつ表面ひょうめん是ぜ平坦へいたん的てき，且流量りょう在ざい各かく處しょ都と垂直すいちょく於表面めん。然しか而，流ながれ不ふ需要じゅよう是ぜ恆つね定じょう的てき。此時，$q$ 是これ p（表面ひょうめん上じょう的てき一いち個こ點てん）的てき函數かんすう，面積めんせき $A$亦また是ぜ。與あずか其測量そくりょう通過つうか整せい個こ表面ひょうめん的てき總そう流量りゅうりょう，不ふ如 $q$ 測量そくりょう的てき是ぜ以 p 為ため中心ちゅうしん、沿表面めん上じょう面積めんせき A 的てき圓盤えんばん通過つうか的てき流量りゅうりょう。

最後さいご，通つう量りょう作為さくい一いち個こ向こう量りょう場じょう時とき： $$\mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),$$ $$\mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).$$

在ざい這種情況じょうきょう下か，我わが們沒有ゆう固定こてい的てき表面ひょうめん來らい測量そくりょう。$q$ 是ぜ一いち個こ點てん、面積めんせき和わ方向ほうこう（由ゆかり單位たんい向むこう量りょう $\mathbf {\hat {n}}$ 給きゅう定じょう）的てき函數かんすう，並なみ測量そくりょう與あずか該單位い向むこう量りょう垂直すいちょく的てき面積めんせき A 的てき圓盤えんばん中ちゅう的てき流量りゅうりょう。$I$ 的てき定義ていぎ是ぜ選擇せんたく使し該點周圍しゅうい流量りゅうりょう最大さいだい的てき單位たんい向むこう量りょう，因いん為ため真正しんせい的てき流量りゅうりょう在ざい垂直すいちょく於該單位たんい向こう量的りょうてき圓盤えんばん上達じょうたつ到いた最大さいだい值。因よし此，當とう單位たんい向むこう量りょう指向しこう流動的りゅうどうてき“真正しんしょう方向ほうこう”時じ，它唯一いち地ち最大さいだい化か該函數すう。（嚴格げんかく來き說せつ，這是一いち種しゅ濫用らんよう符號ふごう，因いん為ため“arg max”無法むほう直接ちょくせつ比較ひかく向こう量りょう；我わが們改為ため選擇せんたく具有ぐゆう最大さいだい範はん數すう的まと向むこう量りょう。）

性質せいしつ

這些直接的ちょくせつてき定義ていぎ，尤ゆう其是最後さいご一いち個こ，顯あらわ得とく相對そうたい不ふ完かん善ぜん。例れい如，從したがえ經驗けいけん測度そくど來らい看み，arg max 的てき構造こうぞう是ぜ人工じんこう的てき，而使用しよう風向ふうこう標しるべ或ある類似るいじ工具こうぐ可か以簡單かんたん推斷すいだん出で某ぼう一いち點てん的てき通どおり量りょう方向ほうこう。與あずか其直接ちょくせつ定義ていぎ向こう量りょう通どおり量りょう，通常つうじょう更さら直觀ちょっかん的てき是ぜ陳述ちんじゅつ一些關於它的性質。此外，通つう量りょう可か以根據こんきょ這些性質せいしつ唯一ゆいいつ確定かくてい。

若わか通つう量りょう j 以角度かくど $\theta$ 通過つうか（$\theta$為ため該通量りょう與あずか該面積めんせき法ほう向むこう量りょう $\mathbf {\hat {n}}$ 形成けいせい之の夾角），則のり其點てん積せき為ため： $$\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta$$

也就是ぜ說せつ，通過つうか表面ひょうめん的てき通どおり量りょう分量ぶんりょう（即そく垂直すいちょく於表面めん的てき分量ぶんりょう）是これ $j\cos {\theta }$，而沿切せつな向こう通過つうか表面ひょうめん的てき通どおり量りょう分量ぶんりょう是ぜ $j\sin {\theta }$，但ただし實際じっさい上うえ沒ぼつ有ゆう通どおり量りょう沿切向こう通過つうか表面ひょうめん。唯ただ一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。

對たい於向量りょう通どおり量りょう，通つう量りょう j在ざい表面ひょうめん $S$上うえ的てき曲面きょくめん積分せきぶん給きゅう出で了りょう每まい單位たんい時間じかん通過つうか該表面めん的てき適當てきとう流量りゅうりょう： $${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A}$$

其中 A（及其無窮むきゅう小量しょうりょう）是これ向むかい量りょう面積めんせき—— $\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}$ 的てき組合くみあい，結合けつごう了りょう面積めんせき A 的てき大小だいしょう和わ垂直すいちょく於該面めん的てき單位たんい向むこう量りょう $\mathbf {\hat {n}}$ 。與あずか第だい二に組くみ方程式ほうていしき不同ふどう的てき是ぜ，這裡不ふ需要じゅよう平坦へいたん的てき表面ひょうめん。

参まいり见

• 流量りゅうりょう
• 光ひかり通どおり量りょう
• 磁通量りょう
• 电通量りょう