微分びぶん

微分びぶん（英文えいぶん：differentiation，粵拼：mei4 fan1；香港ほんこん俗稱ぞくしょう「d（粵拼：di1）」），係かかり數學すうがく嘅一いち種しゅ基本きほん運算うんざん，基本きほん上うえ係がかり表示ひょうじ一いち個こ函數かんすう嘅變化へんか速度そくど，或ある者もの計けい某ぼう一數量響某一點嘅變化率。最さい簡單かんたん嘅情況きょう係がかり響ひびき幅はば圖ず嘅一いち點てん計けい斜はす率りつ。微分びぶん出で嚟嘅結果けっか叫さけべ做導數すう。呢種運算うんざん可か以推廣こう到いた向こう量りょう場じょう同どう埋うめ無限むげん細ほそ嘅變換へんかん，滲透しんとう數學すうがく。

一いち個こ函數かんすう，比ひ如 $y=f(x)$ 嘅導しるべ函數かんすう可か以表達成たっせい $y\ '$ 、 $f'(x)$ 、 $dy \over dx$ 、 $df(x) \over dx$ 、 ${d \over dx}f(x)$ 等ひとし等ひとし。而二階導函數可以寫成 $f''(x)$ 、 $d^{2}y \over dx^{2}$ 。 $k$ 階かい導しるべ函數かんすう可か以寫成なり $f^{(k)}(x)$ 、 $d^{k}y \over dx^{k}$ 。

斜はす率りつ同どう導しるべ數すう

如果喺平面めん座標ざひょう上じょう有ゆう一個嘅直線嘅函數 $y=mx+c$ ，由ゆかり $(x_{1},y_{1})$ 去さ到いた $(x_{2},y_{2})$ 之これ間あいだ嘅斜率りつ $m$ 就係：

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

所以ゆえん如果有ゆう個こ任意にんい函數かんすう $y=f(x)$ ，由ゆかり $(x,f(x))$ 去さ到いた $(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ 之これ間あいだ嘅斜率りつ就係：

${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

微分びぶん就係要よう搵一個函數喺某一個輸入值嘅變化速度，所以ゆえん $\Delta x$ 會かい趨向すうこう $0$ ，噉樣就可以用極限きょくげん嚟表示ひょうじ：

${dy \over dx}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

呢條式しき又また叫さけべ微分びぶん第だい一いち原理げんり。

例れい如想用よう微分びぶん第だい一いち原理げんり搵 $y=x^{2}$ 嘅導數すう：

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}2x+\Delta x\\&=2x\end{aligned}}$