導しるべ數すう

導しるべ數すう（英文えいぶん：Derivative）係がかり微積分びせきぶん裡うら面めん好こう重要じゅうよう嘅基礎きそ概念がいねん，可か以理解りかい成なり一個函數喺某一個位嘅瞬間變化。

佢嘅定義ていぎ係がかり：

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$

參考さんこう極限きょくげん。

例れい如 $f(x)=x^{2}$，求もとめ佢嘅導しるべ函數かんすう$f'(x)$。

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{(x+h)^{2}-x^{2} \over h}$，展開てんかい變へん咗 $\lim _{h\to 0}{(x^{2}+2hx+h^{2})-x^{2} \over h}$，消しょう除じょ咗個 $x^{2}$ 淨きよし低ひく $\lim _{h\to 0}{2hx+h^{2} \over h}$，約やく埋うめ個こ $h$ 變成へんせい $\lim _{h\to 0}\{2x+h\}$，由ゆかり於 $h$ 趨向すうこう $0$ 所以ゆえん求もとめ到いた $f'(x)=2x$。

導しるべ數すう可か以搵出で條じょう線せん嘅瞬間しゅんかん變へん率りつ（instantaneous rate of change）。

基本きほん嘅求導しるべ公式こうしき

${d \over dx}\ c=0$ ，$c$ 係かかり常數じょうすう。

${d \over dx}\ ax=a$ ，$a$ 係かかり常數じょうすう。

${d \over dx}\ ax^{n}=anx^{n-1}$ ，$a,n$ 係かかり常數じょうすう。

${d \over dx}\ \sin(x)=\cos(x)$

${d \over dx}\ \cos(x)=-\sin(x)$

${d \over dx}\ \tan(x)=\sec ^{2}(x)$

${d \over dx}\ \sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

${d \over dx}\ \csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

${d \over dx}\ \cot(x)=-\csc ^{2}(x)$。睇下三角さんかく函數かんすう。

${d \over dx}\ e^{x}=e^{x}$。睇下自然しぜん指數しすう。

${d \over dx}\ a^{x}=a^{x}\ln(a)$

${d \over dx}\ \ln(x)={1 \over x}$

${d \over dx}\ \log _{a}(x)={1 \over x\ln(a)}$

${d \over dx}\ \sin ^{-1}(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\ \cos ^{-1}(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\ \tan ^{-1}(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

${d \over dx}\ \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}$

運算うんざん法則ほうそく

• 加法かほう：$[\ f(x)+g(x)\ ]'=f'(x)+g'(x)$

• 乘法じょうほう：$[\ f(x)\ g(x)\ ]'=f'(x)\ g(x)+f(x)\ g'(x)$

證明しょうめい：設しつらえ $y=fg$

$\ln(y)=\ln(fg)$

$\ln(y)=\ln(f)+\ln(g)$ (對數たいすう律りつ)

$[\ln(y)]'=[\ln(f)+\ln(g)]'$

${y' \over y}={f' \over f}+{g' \over g}$

${y' \over y}={{f'g+fg'} \over fg}$

${(fg)' \over fg}={{f'g+fg'} \over fg}$

$(fg)'=f'g+fg'$

• 除法じょほう：$({\frac {f(x)}{g(x)}})'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

• 連鎖れんさ律りつ：${dy \over dx}={dy \over du}{du \over dx}$

常見つねみ問題もんだい

冪べき函數かんすう嘅導しるべ數すう同どうln(x)嘅關係かんけい: 對たい冪べき函數かんすう求もとめ導みちびけ，指數しすう部分ぶぶん會かい降くだ低てい1次じ，如

${\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}$

${\frac {d}{dx}}x^{2}=2x$

${\frac {d}{dx}}x=1$ (呢度可か以當係がかり) $x^{0}$

但ただし對たい常數じょうすう繼續けいぞく求もとめ導しるべ唔會變成へんせい -1 次じ方かた，因いん為ため0乘じょう任にん何なん數すう都と係がかり0，即そく

${\frac {d}{dx}}x^{0}=0x^{-1}=0$

反はん過か嚟，從したがえ積分せきぶん方向ほうこう考慮こうりょ

$\int x^{-3}dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+C_{3}$

$\int x^{-2}dx={\frac {x^{-1}}{-1}}+C_{2}$

$\int x^{-1}dx={\frac {x^{0}}{0}}+C_{1}$，出現しゅつげん0分母ぶんぼ，所以ゆえん唔會變成へんせい0之これ方かた，正確せいかく係がかり

$\int x^{-1}dx=ln(x)+C_{0}$

即そく冪べき函數かんすう似に乎同自然しぜん對數たいすう函數かんすうln(x)有ゆう密みつ切きり關係かんけい。 其實原因げんいん好こう簡單かんたん，ln(x)嘅極限げん式しき就有一いち部分ぶぶん係がかり由ゆかり冪べき函數かんすう組成そせい:

$ln(x)=\lim _{n->0}{\frac {x^{n}-1}{n}}$ 可か以當成なり ${\frac {x^{0}-1}{0}}={\frac {x^{0}}{0}}-{\frac {1}{0}}$ 同どう上面うわつら嘅積分せきぶん式しき一いち樣よう。

可か以用極限きょくげん式しき求もとめ導しるべ：

${\frac {d}{dx}}ln(x)$

$={\frac {d}{dx}}\lim _{n\to 0}{\frac {x^{n}-1}{n}}$

$=\lim _{n\to 0}{\frac {d}{dx}}{\frac {x^{n}-1}{n}}$

$=\lim _{n\to 0}{\frac {nx^{n-1}}{n}}$

$=\lim _{n\to 0}x^{n-1}$

$=x^{-1}$

結果けっか一致いっち。