代數だいすう曲線きょくせん

在ざい代數だいすう幾何きか中ちゅう，一いち條じょう代數だいすう曲線きょくせん是ぜ一いち維的代數だいすう簇むらが。最さい典型てんけい的てき例れい子こ是ぜ射影しゃえい平面へいめん$\mathbb {P} ^{2}$上うえ由ゆかり一いち個こ齊ひとし次じ多項式たこうしき$f(X,Y)$定義ていぎ的てき零れい點てん。

仿射曲線きょくせん

定義ていぎ在ざい域いき$F$上うえ的てき仿射代數だいすう曲線きょくせん可か以看作さく是ぜ$F^{n}$中ちゅう由よし若干じゃっかん個こ$n$-元もと多項式たこうしき$g_{i}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]$定義ていぎ的てき公共こうきょう零れい點てん，使つかい得とく其维数為一ためいち。

利用りよう結ゆい式しき，我わが們可以將變數へんすう消しょう至いたり兩個りゃんこ，並なみ化か約やく到いた與あずか之これ雙そう有理ゆうり等價とうか的てき平面へいめん代數だいすう曲線きょくせん$f(x,y)=0$，其中$f\in F[x,y]$，因いん此在探さがせ討曲線せん的てき雙そう有理ゆうり幾いく何なん時じ僅須考慮こうりょ平面へいめん曲線きょくせん。

射影しゃえい曲線きょくせん

射影しゃえい空間くうかん中なか的てき曲線きょくせん可視かし作さく仿射曲線きょくせん的てき緊化，它們帶たい有ゆう更さら好このみ的てき幾何きか性質せいしつ。在ざい以上いじょう考慮こうりょ的てき方かた程ほど$g_{i}=0$（$i=1,\ldots ,n-1$）中ちゅう，我わが們作代だい換かわ：

$g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\longrightarrow (X_{0})^{\deg g_{i}}g_{i}\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)$

遂とげ得え到いた$n-1$個こ齊ひとし次じ多項式たこうしき，它們在ざい射影しゃえい空間くうかん$\mathbb {P} _{F}^{n}$中ちゅう定義ていぎ一いち條じょう曲線きょくせん，此射影しゃえい曲線きょくせん與あずか開ひらき集しゅう$U_{0}:=\{(X_{0}:\cdots :X_{n})|X_{0}\neq 0\}$的てき交集同どう構於原曲げんきょく線せん。射影しゃえい曲線きょくせん的てき例れい子こ包括ほうかつ$\mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{3}$中なか的てき費ひ馬ば曲線きょくせん$X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0$，其上的てき有理ゆうり點てん對應たいおう到いた費ひ馬方うまかた程ほど$X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$的てき互素整數せいすう解かい。

代數だいすう函數かんすう域いき

更さら多た信しん息いき：函數かんすう域いき

代數だいすう曲線きょくせん之の研究けんきゅう可か化か約やく為ため不可ふか約やく代數だいすう曲線きょくせん之の研究けんきゅう，後者こうしゃ的てき範疇はんちゅう在ざい雙そう有理ゆうり等價とうか之これ意義いぎ下か等價とうか於代數だいすう函數かんすう域いき範疇はんちゅう。域いき$F$上うえ的てき函數かんすう域いき$K$是これ超越ちょうえつ次數じすう為ため一いち的てき有限ゆうげん型がた域いき擴張かくちょう，換言かんげん之の：存在そんざい元素げんそ$x\in K$使つかい得とく$x$在ざい$F$上うえ超越ちょうえつ，而且$K/F(x)$是これ有限ゆうげん擴張かくちょう。

以複數すう域いき$\mathbb {C}$為ため例れい，我わが們可以定義ていぎ複ふく係數けいすう有理ゆうり函數かんすう域いき$\mathbb {C} (x)$。變へん元もと$x,y$對たい代數だいすう關係かんけい$y^{2}=x^{3}-x-1$生成せいせい的てき域いき$\mathbb {C} (x,y)$是ぜ一いち個こ橢圓だえん函數かんすう域いき，代數だいすう曲線きょくせん$\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1\}$ 給きゅう出で它的一いち個こ幾何きか模型もけい。

若わか基もと域いき$F$非ひ代數だいすう封ふう閉域，則のり函數かんすう域いき無法むほう只ただ由ゆかり多項式たこうしき的てき零れい點描てんびょう述じゅつ，因いん為ため此時存在そんざい無む點てん的てき曲線きょくせん。例れい如可取と實數じっすう域いき$F:=\mathbb {R}$並なみ考慮こうりょ其上的てき代數だいすう曲線きょくせん$x^{2}+y^{2}+1=0$，此方こちら程ほど定義ていぎ了りょう一いち個こ$\mathbb {R} [x]$的てき有限ゆうげん擴張かくちょう，因いん而定義ていぎ了りょう一いち個こ函數かんすう域いき，然しか而

$\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset$

代數だいすう封ふう閉域上うえ的てき代數だいすう曲線きょくせん可か以用代數だいすう簇むらが完かん整地せいち描述，對たい於一般的基域或者環たまき上うえ的てき曲線きょくせん論ろん，概がい形がた論ろん能のう提供ていきょう較合適てき的てき框かまち架か。

複ふく代數だいすう曲線きょくせん與あずか黎はじむ曼曲面めん

更さら多た信しん息いき：黎はじむ曼曲面めん

複ふく射影しゃえい曲線きょくせん可か以嵌入かんにゅう$n$維複射影しゃえい空間くうかん$\mathbb {C} P^{n}$。複ふく射影しゃえい曲線きょくせん在ざい拓ひらけ撲なぐ上うわ為ため二に維的對象たいしょう，當とう曲線きょくせん光こう滑すべり時じ，它是個こ緊黎はじむ曼曲面めん，即そく一いち維的緊複流ふくりゅう形がた，因いん而是可か定てい向むこう的てき二に維緊流ながれ形がた。這時該曲面めん的てき拓ひらけ撲なぐ虧格（直觀ちょっかん說せつ就是曲面きょくめん有ゆう幾いく個こ洞ほら或ある把手とって）等とう同どう於曲線上せんじょう由よし代數だいすう幾何きか學がく定義ていぎ的てき虧格。視し這類曲線きょくせん為ため黎はじむ曼曲面めん，則のり可か以採複ふく分析ぶんせき手法しゅほう加か以研究けんきゅう。另一方面ほうめん，黎はじむ曼則のり證明しょうめい了りょう任にん何なん緊黎曼曲面めん都と同どう構於一いち條じょう複ふく射影しゃえい曲線きょくせん。

於是我わが們有三さん個こ相互そうご等價とうか的てき範疇はんちゅう：複數ふくすう域いき上じょう的てき不可ふか約やく平滑へいかつ射影しゃえい曲線きょくせん、緊黎曼曲面めん與あずか$\mathbb {C}$上うえ的てき函數かんすう域いき。因よし此一維複ふく分析ぶんせき（包括ほうかつ位い勢ぜい論ろん）、代數だいすう幾何きか與あずか域いき論ろん的てき方法ほうほう此時能のう相互そうご為ため用よう，這是高等こうとう數學すうがく裡うら很常見み的てき現象げんしょう。

奇き點てん

判斷はんだん方式ほうしき

曲線きょくせん在ざい一いち點てん$P$的てき平滑へいかつ性せい可か以用雅みやび可か比ひ矩のり陣じん判斷はんだん。以下いか考慮こうりょ嵌はま於$\mathbb {P} ^{n}$中なか的てき曲線きょくせん：設しつらえ該曲線せん由ゆかり$n-1$個こ$n+1$個こ變へん元もと的てき齊ひとし次じ多項式たこうしき$g_{1},\ldots ,g_{n-1}$定義ていぎ，若わか其雅可か比ひ矩のり陣じん$\left({\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j}$在ざい區く線上せんじょう一いち點てん$P$滿まん秩，則のり稱しょう它$P$點てん光こう滑すべり；反はん之これ則そく稱たたえ為ため奇き點てん。在ざい一點的平滑性與多項式$g_{1},\ldots ,g_{n-1}$的まと選せん取と無關むせき，也與曲線きょくせん的てき嵌入かんにゅう方式ほうしき無關むせき。

在ざい平面へいめん射影しゃえい曲線きょくせん的てき例れい子こ，假設かせつ曲線きょくせん$C$由よし齊ひとし次じ方程式ほうていしき$f(x,y,z)=0$定義ていぎ，則のり$C$的てき奇き點てん恰為$C$上使じょうし得とく$\nabla f$為ため零れい的てき點てん，即そく：

${\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)$

在ざい特徵とくちょう非ひ零れい的てき域いき上じょう，一條代數曲線僅有有限個奇點；無む奇き點てん的てき曲線きょくせん即そく平滑へいかつ曲線きょくせん。奇き點在てんざい雙そう有理ゆうり映うつ射い下か可能かのう映うつ為ため光ひかり滑すべり點てん；事實じじつ上じょう，奇き點てん總そう是ぜ可か藉著平面へいめん的てき拉ひしげ開ひらく映うつ射い或ある正規せいき化か解消かいしょう，由ゆかり此得到いた的てき新しん平滑へいかつ曲線きょくせん仍雙有理ゆうり等價とうか於原曲げんきょく線せん；然しか而對代數だいすう封ふう閉域上うえ的てき射影しゃえい曲線きょくせん，其奇點てん總數そうすう則そく關係かんけい到いた曲線きょくせん的てき幾何きか虧格，後者こうしゃ是ぜ個こ雙そう有理ゆうり不變ふへん量りょう。

奇き點てん分類ぶんるい

x³ = y²

曲線きょくせん的てき奇き點てん包括ほうかつ多た重點じゅうてん（這是曲線きょくせん的てき自じ交點こうてん）及尖とんが點てん（如仿射しゃ曲線きょくせん$x^{3}=y^{2}$之これ於原點てん$(0,0)$，見み右みぎ圖ず）等とう等とう。一般いっぱん來らい說せつ，仿射平面へいめん曲線きょくせん$f(x,y)=0$在ざい一いち點てん$P$的てき奇き點てん性質せいしつ可か以透過とうか下か述じゅつ方式ほうしき理解りかい：

透過とうか平ひら移うつり，不ふ妨さまたげ假設かせつ$P=(0,0)$。將はた多項式たこうしき$f(x,y)$寫うつし成なり

$f(x,y)=\sum _{n\geq 1}f_{n}(x,y)$

其中$f_{n}(x,y)$是これ$n$次つぎ齊ひとし次じ多項式たこうしき。直觀ちょっかん地ち想像そうぞう，$f(x,y)=0$在ざい原點げんてん附近ふきん的てき性狀せいじょう僅決定けってい於最低さいてい次じ的てき非ひ零れい項こう，設しつらえ之これ為ため$f_{m}(x,y)$。根據こんきょ齊ひとし次つぎ性せい可か以將之の分解ぶんかい成なり

$f_{m}(x,y)=\prod _{i=1}^{m}(a_{i}x-b_{i}y)$

換言かんげん之の，曲線きょくせん在ざい原點げんてん附近ふきん將しょう近似きんじ於$m$條じょう（含重複じゅうふく）直線ちょくせん$a_{i}x-b_{i}y=0$的てき聯れん集しゅう。上うえ式しき中ちゅう相しょう異こと的てき直線ちょくせん數すう$r$稱しょう作さく分ぶん支ささえ數すう，正せい整數せいすう$m$稱しょう作さく平面へいめん曲線きょくせん在ざい該點的てき重じゅう數すう，此外還かえ有ゆう一いち個こ內在的てき不變ふへん量りょう$\delta _{P}:=\dim {\mathcal {O}}_{{\tilde {C}},P}/{\mathcal {O}}_{C,P}$，其中${\tilde {C}}\rightarrow C$是ぜ該曲線せん的てき正規せいき化か態たい射しゃ。資料しりょう[m, δでるた, r]能のう夠被用よう來らい分類ぶんるい奇き點てん。例れい如一いち般尖點てん對應たいおう到いた$[2,1,1]$，一般いっぱん雙そう重點じゅうてん對應たいおう到いた$[2,1,2]$，而一般いっぱんn重點じゅうてん則のり對應たいおう到いた$[n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]$。

各かく奇き點てん的てき不變ふへん量りょうδでるた_P決定けってい平面へいめん曲線きょくせん$f(x,y)=0$的てき虧格：設しつらえ$\deg f=d$，則のり有ゆう

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},$

對たい於在複數ふくすう域いき上じょう的てき平面へいめん曲線きょくせん，John Milnor以拓撲なぐ方式ほうしき定義ていぎ了りょう不ふ變量へんりょうμみゅー，稱たたえ為ためMilnor數すう：同樣どうよう假設かせつ$P=(0,0)$，在ざい原點げんてん附近ふきん夠小的てき四よん維球$B_{\epsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}$內有$(x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0$，此時有ゆう連れん續映ぞくえい射しゃ

$\nabla f(x,y):B_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B_{\epsilon }-\{(0,0)\}$

由よし於$B_{\epsilon }-\{(0,0)\}$ 同どう倫りん等價とうか於三さん維球面めん$\mathbb {S} ^{3}$，於是可か定義ていぎμみゅー為ため此映射的しゃてき拓ひらけ撲なぐ次數じすう。μみゅー與あずか前述ぜんじゅつ不變ふへん量的りょうてき關係かんけい由よし下か式しき表明ひょうめい：

$\mu =2\delta -r+1$

事實じじつ上じょう，$\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}$在ざいεいぷしろん夠小時じ是ぜ$\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong \mathbb {S} ^{3}$中なか的てき一いち個こ環たまき圈けん，稱しょう作さく奇き點てん環たまき圈けん，它具有ぐゆう複雜ふくざつ的てき拓ひらけ撲なぐ性質せいしつ。例れい如：$x^{3}=y^{2}$在ざい尖とんが點てん附近ふきん的てき奇き點てん環たまき圈けん是ぜ三さん葉よう結ゆい。

曲線きょくせん的てき例れい子こ

有理ゆうり曲線きょくせん

域いき$F$上うえ的てき有理ゆうり曲線きょくせん是これ雙そう有理ゆうり等價とうか於射影しゃえい直線ちょくせん$\mathbb {P} _{F}^{1}$的てき曲線きょくせん，換言かんげん之の，其函數すう域いき同どう構於單たん變へん元もと有理ゆうり函數かんすう域いき$F(t)$。當とう$F$代數だいすう封ふう閉時，這也等價とうか於該曲線きょくせん之の虧格為ため零れい，對たい一般的域則不然；實數じっすう域いき上うえ由ゆかり$x^{2}+y^{2}+1=0$給きゅう出で的てき函數かんすう域いき虧格為ため零れい，而非有理ゆうり函數かんすう域いき。

具體ぐたい地ち說せつ，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例れい子こ請見條目じょうもく有理ゆうり正規せいき曲線きょくせん。

任にん何なに$F$上うえ有ゆう有理ゆうり點てん的てき圓錐えんすい曲線きょくせん都みやこ是ただし有理ゆうり曲線きょくせん。參まいり數すう化か的てき過程かてい如下：過か給きゅう定てい有理ゆうり點てん$P$而斜率りつ為ため$t$的てき直線ちょくせん交平面めん上じょう一いち條じょう二に次じ曲線きょくせん於兩點てん，就x坐すわ標しるべ來らい說せつ，交點こうてん的てきx坐すわ標しめぎ是ただし一いち個こ二に次じ多項式たこうしき的てき根ね，其中一いち個こ屬ぞく於$F$的てき根ね已やめ知ち，即そく$P$的てきx坐すわ標しるべ；因いん此透過とうか根ね與あずか係數けいすう的てき關係かんけい得知とくち另一根也屬於$F$，而且能のう表作おもてさく$t$在ざい$F$上うえ的てき有理ゆうり函數かんすう。y坐すわ標的ひょうてき作さく法相ほうしょう同どう。

x² + xy + y² = 1

例れい。考慮こうりょ斜はす橢圓だえん$E:x^{2}+xy+y^{2}=1$，其中$(-1,0)$是ぜ有理ゆうり點てん。畫が一條過該點且斜率為t之の直線ちょくせん$y=t(x+1)$，並なみ帶たい入いれE的てき等式とうしき，於是得え到いた：

$x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}$。

$y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}$

這就給きゅう出でE的てき有理ゆうり參さん數すう化か，於是證明しょうめい了りょうE是ぜ有理ゆうり曲線きょくせん。

將はた此結果けっか置おけ於射影しゃえい幾何きか的てき框かまち架か下か，則のり能のう導出どうしゅつ若干じゃっかん數すう論ろん的てき結論けつろん。例れい如我們可在ざいE中ちゅう加入かにゅう無窮むきゅう遠とお點てん，得え到いた射影しゃえい曲線きょくせん

$X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!$

以上いじょう參さん數すう化か遂とげ表ひょう為ため

$X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!$

若わか取と$t$為ため整數せいすう，對應たいおう的てき$X,Y,Z$是これ不定ふてい方かた程ほど$X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}$的てき整數せいすう解かい；若わか將しょう$X$代だい以$-X$，則のり此方こちら程ほど詮かい釋しゃく為ためθしーた=60°時じ的てき餘弦よげん定理ていり，藉此能のう描述所有しょゆう一角いっかく為ため 60°且邊長ちょう均ひとし為ため整數せいすう的てき三角形さんかっけい，例れい如取$t=2$，就得到いた邊あたり長ちょう分別ふんべつ為ためX=3, Y=8, Z=7的てき三角形さんかっけい。

橢圓だえん曲線きょくせん

更さら多た信しん息いき：橢圓だえん曲線きょくせん

橢圓だえん曲線きょくせん可か以定義ていぎ為ため任意にんい虧格等とう於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都と同どう構於平面へいめん上じょう的てき三さん次じ曲線きょくせん。此時通常つうじょう取と無む窮きゅう遠とお處しょ的てき反はん曲きょく點てん為ため給きゅう定じょう的てき有理ゆうり點てん，這時該曲線せん可か以寫作さく射影しゃえい版本はんぽん的てきTate-魏ぎ爾なんじ施ほどこせ特とく拉ひしげ斯形式けいしき：

$y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.\,\!$

橢圓だえん曲線きょくせん帶たい有ゆう唯一ゆいいつ的てき阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん結構けっこう，使つかい得とく給きゅう定てい有理ゆうり點てん為ため單位たんい元素げんそ，且加法ほう為ため代數だいすう簇むらが的てき態たい射い，因いん而橢圓えん曲線きょくせん構成こうせい一いち個こ阿おもね貝かい爾しか簇むらが。在ざい三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對たい於複數すう域いき上じょう的てき橢圓だえん曲線きょくせん，此阿貝かい爾しか簇むらが同どう構於$\mathbb {C} /\Lambda$，其中的てき$\Lambda$由よし相應そうおう的てき橢圓だえん函數かんすう給きゅう出で。

虧格大だい於一的てき曲線きょくせん

對たい虧格大だい於一的てき曲線きょくせん，其性質せいしつ與あずか有理ゆうり曲線きょくせん與あずか橢圓だえん曲線きょくせん有ゆう顯著けんちょ不同ふどう。根據こんきょ法ほう爾なんじ廷斯定理ていり，定義ていぎ在ざい數すう域いき上じょう的てき這類曲線きょくせん只ただ有ゆう有限ゆうげん個こ有理ゆうり點てん；若わか視し為ため黎はじむ曼曲面めん，它們則そく帶たい有ゆう雙そう曲きょく幾何きか的てき結構けっこう。例れい子こ包括ほうかつ超ちょう橢圓だえん曲線きょくせん、克かつ萊因四よん次じ曲線きょくせん與一よいち開始かいし提ひっさげ到いた的てき費ひ馬ば曲線きょくせん在ざい$n\geq 4$的てき情じょう形がた。

文獻ぶんけん

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• Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
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• Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988