圆锥曲きょく线

圆锥曲きょく线

圆锥曲きょく线（英語えいご：conic section），又また稱たたえ圓錐えんすい截痕、圓錐えんすい截面、二に次じ平面へいめん曲きょく线，是ぜ数学すうがく、幾何きか學がく中なか透とおる过平切きり圆锥（嚴格げんかく為ため一个正圆锥面和一个平面へいめん完かん整せい相しょう切きり）得とく到いた的てき曲きょく线，包括ほうかつ圆，椭圆，抛ほう物もの线，双そう曲きょく线及一些退化か类型。

圆锥曲きょく线在約やく西元にしもと前ぜん200年ねん時じ就已被ひ命名めいめい與あずか研究けんきゅう，其發現はつげん者しゃ為ため古希こき臘的てき數學すうがく家か阿波あわ羅ら尼に奥おく斯，當とう时阿波は羅ら尼に阿おもね斯已对它们的性せい质做過か系けい统性的てき研究けんきゅう。

圆锥曲きょく线应用よう最さい广泛的てき定てい义为（椭圆，抛ほう物もの线，双そう曲きょく线的统一定いってい义）：动点到いた一定いってい点てん（焦点しょうてん）的てき距离与其到一定いってい直ちょく线（准じゅん线）的てき距离之の比ひ为常数すう（離はなれ心しん率りつ$e$）的てき点てん的てき集合しゅうごう是ぜ圆锥曲きょく线。对于$0<e<1$得え到いた椭圆，对于$e=1$得え到いた抛ほう物もの线，对于$e>1$得え到いた双そう曲きょく线。

定てい义

有ゆう同一どういつ焦点しょうてん $F$ 和かず同どう一いち准じゅん线 $l$ 的てき：椭圆（$e$=1/2）、抛ほう物もの线（$e$=1）、双そう曲きょく线（$e$=2）。

设$F$为定点ていてん，$l$为定直ちょく线，$e$为正常数じょうすう，称しょう满足${\frac {|PF|}{|Pl|}}=e$的てき动点$P$的てき轨迹为圆锥曲きょく线。

其中$F$为其焦点しょうてん，$l$为准じゅん线，$e$为离心率りつ。

由よし此可知かち，圆锥曲きょく线的极坐标参まいり数すう方ぽう程ほど为$\rho =e(d-\rho \cos \theta )$或ある$\rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}$（正せい负号由よし所しょ选焦点てん与あずか定てい直ちょく线所处的位置いち不同ふどう而引起おこり）。 其中$\theta$为$PF$与あずか极轴的てき夹角，$d$为定直ちょく线$x=d$，即そく准じゅん线到焦点しょうてん的てき距离。

将はた参まいり数すう方ぽう程ほど转换成なり直角ちょっかく坐すわ标方かた程ほど易やす得え，

当とう$e=1$时，曲きょく线为抛ほう物もの线。

当とう$e\neq 1$时，

当とう$0<e<1$时，曲きょく线为椭圆。

当とう$e>1$时，曲きょく线为双そう曲きょく线。

圆锥曲きょく线的类型

圆锥曲きょく线	方かた程ほど	離はなれ心しん率りつ（e）	半はん焦こげ距（c）	半はん正せい焦こげ弦つる（ℓ）	焦点しょうてん准じゅん线距离（p）
圓えん	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$	$0\,$	$0\,$	$a\,$	$\infty$
橢圓だえん	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$
拋物線せん	$y^{2}=4ax\,$	$1\,$	$-\,$	$2a\,$	$2a\,$
雙曲線そうきょくせん	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

圆锥曲きょく线的类型：1.抛ほう物もの线2.圆和椭圆3.双そう曲きょく线

椭圆，圆：当とう平面へいめん只ただ与あずか圆锥面めん一いち侧相交，交截线是闭合曲きょく线的てき时候，且不过圆锥顶点てん，结果为椭圆。如果截面与あずか圆锥面めん的てき对称轴垂直すいちょく，结果为圆。

抛ほう物もの线：截面仅与圆锥面めん的てき一いち条じょう母はは线平行へいこう，结果为抛物ぶつ线。

双そう曲きょく线：截面与あずか圆锥面めん两侧都と相しょう交，且不过圆锥顶点てん，结果为双曲きょく线。

在ざい平面へいめん通どおり过圆锥的顶点的てき时候，有ゆう一些退化情况。交截线可以是一いち个直线、一いち个点、或ある一いち对直线。

几何性せい质

椭圆（ellipse）

椭圆上じょう的てき点てん到いた两个焦点しょうてん的てき距离和わ等とう于长轴长（2a）。

抛ほう物もの线（Parabola）

抛ほう物もの线上的てき点てん到いた焦点しょうてん的てき距离等とう于该点てん到いた准じゅん线的てき距离。

双そう曲きょく线（Hyperbola）

双そう曲きょく线上的てき点てん到いた两个焦点しょうてん的てき距离之の差さ的てき绝对值等于貫轴长（2a）。

离心率りつ

有ゆう固定こてい焦点しょうてんF和かず准じゅん线的圓えん（e=0) 、椭圆（e=1/2）、抛ほう物もの线 (e=1)和わ双そう曲きょく线（e=2）。

对于椭圆和わ双そう曲きょく线，可か以采用よう两种焦点しょうてん-准じゅん线组合あい，每まい个都给出同どう样完整せい的てき椭圆或ある双そう曲きょく线。从中心ちゅうしん到いた准じゅん线的距离是ぜ$a/e\$，这里的てき$a\$是ぜ椭圆的てき半はん长轴，或ある双そう曲きょく线的半はん实轴。从中心ちゅうしん到いた焦点しょうてん的てき距离是ぜ$ae\$。

在ざい圆的情じょう况下，$e=0$且准线被假想かそう为离中心ちゅうしん无限远。这时声ごえ称しょう圆由距离是ぜ到いたL的てき距离的てきe倍ばい的てき所有しょゆう点てん组成是ぜ没ぼつ有意ゆうい义的。

圆锥曲きょく线的离心率りつ因いん此是对它偏へん离于圆的程度ていど的てき度量どりょう。

对于一いち个给定じょう的てき$a\$，$e\$越こし接近せっきん于1，半はん短たん轴就越小しょう。

笛ふえ卡尔坐标

在ざい笛ふえ卡尔坐标系内うち，二に元げん二に次じ方かた程ほど的てき圖像ずぞう可か以表示ひょうじ圓錐えんすい曲線きょくせん，并且所有しょゆう圓錐えんすい曲線きょくせん都と以這種しゅ方式ほうしき引出。方ほう程ほど有ゆう如下形式けいしき

$Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

此處ここら參さん數すう$A\,$，$B\,$和わ$C\,$不ふ得とく皆みな等とう於$0\$。

矩のり陣じん表示ひょうじ

上述じょうじゅつ方かた程ほど可か以使用しよう矩のり陣じん表示ひょうじ爲ため

$\left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0$

亦また可か以寫作さく

$\left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0$

這是在ざい射影しゃえい幾何きか中ちゅう使用しよう的てき齊ひとし次じ形式けいしき的てき一いち個こ特例とくれい。 (参まいり见齐次坐すわ标)

下しも文中ぶんちゅう記き$A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]$，記き$A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}$。

類別るいべつ

藉由$A_{Q}$，我わが們可以判定はんてい圓錐えんすい曲線きょくせん是ぜ否ひ退化たいか。

• 若わか$\det(A_{Q})=0$，則のり圓錐えんすい曲線きょくせん$Q$退化たいか。
• 若わか$\det(A_{Q})\neq 0$，則のり圓錐えんすい曲線きょくせん$Q$未み退化たいか。

若わか圓錐えんすい曲線きょくせん未み發生はっせい退化たいか，則のり

• 若わか $\det(A_{33})>0$, 方ほう程ほど表示ひょうじ一いち個こ橢圓だえん；
  • 對たい於橢圓えん，當とう$(A+C)\det(A_{Q})<0$時とき，$Q$爲ため一いち個こ實じつ橢圓だえん；當とう$(A+C)\det(A_{Q})>0$時とき$Q$爲ため一いち個こ虛きょ橢圓だえん。（例れい如，$2x^{2}+y^{2}+10=0$沒ぼつ有ゆう任にん何なん實じつ值解，是ぜ一いち個こ虛きょ橢圓だえん）
  • 特別とくべつ的てき，若わか$A=C$ ，$B=0$且$D^{2}+E^{2}-4AF>0\,$，作爲さくい橢圓だえん的てき特殊とくしゅ情況じょうきょう，$Q$表示ひょうじ一いち個こ圓えん。
• 若わか $\det(A_{33})=0$，$Q$表示ひょうじ一いち條じょう拋物線せん；
• 若わか $\det(A_{33})<0$，$Q$表示ひょうじ一いち條じょう雙曲線そうきょくせん；
  • 若わか$A+C=0$ ，$Q$表示ひょうじ一いち條じょう直角ちょっかく雙曲線そうきょくせん。

若わか圓錐えんすい曲線きょくせん發生はっせい退化たいか，則のり

• 若わか$\det(A_{33})>0$，作爲さくい橢圓だえん的てき退化たいか，$Q$爲ため一いち個こ點てん。
• 若わか$\det(A_{33})=0$，作爲さくい拋物線せん的てき退化たいか，$Q$爲ため兩りょう條じょう平行へいこう直線ちょくせん。
  • 若わか$D^{2}+E^{2}>4(A+C)F$，$Q$爲ため兩りょう條じょう不ふ重合じゅうごう的てき平行へいこう直線ちょくせん。
  • 若わか$D^{2}+E^{2}=4(A+C)F$，$Q$爲ため兩りょう條じょう重合じゅうごう的てき平行へいこう直線ちょくせん。（特別とくべつ的てき，此時$A_{Q}$的てき秩爲ため1）
  • 若わか$D^{2}+E^{2}<4(A+C)F$，$Q$直線ちょくせん不ふ存在そんざい與あずか實じつ平面へいめん中ちゅう。
• 若わか$\det(A_{33})<0$，作爲さくい雙曲線そうきょくせん的てき退化たいか，$Q$爲ため兩りょう條じょう相しょう交直線せん。（同時どうじ，也是雙曲線そうきょくせん的てき漸近ぜんきん線せん）

在ざい此處ここ的てき表ひょう達たち中ちゅう，$A$和わ$B$爲ため多項式たこうしき係數けいすう，而非半はん長ちょう軸じく$A$和かず半なかば短たん軸じく$B$。

不ふ變量へんりょう

矩のり陣じん$A_{Q}$、$A_{33}$的てき行列ぎょうれつ式しき，以及$A+C$（$A_{33}$的てき跡あと）在ざい任意にんい的てき旋轉せんてん和わ座標軸ざひょうじく的てき交換こうかん中ちゅう保持ほじ不變ふへん。 常つね數すう項こう$F$以及$D^{2}+E^{2}$僅在旋轉せんてん中ちゅう保持ほじ不變ふへん。

離はなれ心しん率りつ

$Q$的まと離はなれ心しん率りつ可か被ひ寫うつし作さく關せき於$Q$係數けいすう的てき函數かんすう。 若わか $\det(A_{33})=0$，$Q$爲ため 拋物線せん，其離心しん率りつ爲ため1。其它情況じょうきょう下か，假設かせつ$Q$表ひょう達たち一個未退化的橢圓或雙曲線，那な麼

$e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},$

此處ここら若わか$\det(A_{Q})$爲ため負まけ則そく$\eta =1$；若わか$\det(A_{Q})$爲ため正則せいそく$\eta =-1$。

此外，離はなれ心しん率りつ$e$也是下か述じゅつ方かた程ほど的てき一いち個こ正せい根ね

$\Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,$

此處ここら $\Delta =\det(A_{33})$ 。對たい於橢圓えん或ある拋物線せん，該方程ほど只ただ有ゆう一いち個こ正せい根ね，即そく其離心しん率りつ；對たい於雙曲線きょくせん，其有兩個りゃんこ正せい根ね，其中的てき一いち個こ爲ため其離心しん率りつ。

轉換てんかん爲ため標準ひょうじゅん方かた程ほど

對たい於橢圓えん或ある雙曲線そうきょくせん，$Q$可用かよう變換へんかん後ご的てき變量へんりょう$x',y'$表示ひょうじ爲ため如下所しょ示しめせ的てき標準ひょうじゅん形式けいしき

${\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,$

或ある等價とうか的てき

${\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,$

此處ここら，$\lambda _{1}$和わ$\lambda _{2}$爲ため$A_{33}$的てき特徵とくちょう值，也即下か述じゅつ方かた程ほど的てき兩りょう根ね：

$\lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0$

同時どうじ，$S=\det(A_{Q})$，$\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})$。

透過とうか座標ざひょう變換へんかん，各かく種類しゅるい型がた的てき圓錐えんすい曲線きょくせん都と可か以表示ひょうじ爲ため其標準じゅん形式けいしき：

方程式ほうていしき	圆	椭圆	抛ほう物もの线	双そう曲きょく线
标准方程式ほうていしき	${x^{2}}+{y^{2}}=a^{2}\$	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\$	$y^{2}=4ax\,$	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\$
参まいり数すう方程式ほうていしき	$a\cos \theta ,a\sin \theta \,$	$a\cos \theta ,b\sin \theta \,$	$at^{2},2at\,$	$a\sec \theta ,b\tan \theta \,$或ある $\pm a\cosh u,b\sinh u\,$

极坐标

椭圆的てき半はん正せい焦こげ弦つる

圆锥曲きょく线的半はん正せい焦こげ弦つる（semi-latus rectum）通常つうじょう指示しじ为$\ell$，是ぜ从单一焦点或两个焦点中的一个，到いた圆锥曲きょく线自身じしん的てき，沿着垂直すいちょく于主轴（长轴）的てき直ちょく线度量的りょうてき距离。它有关于半はん长轴$a$，和わ半はん短たん轴$b$，通つう过公式しき$a\ell =b^{2}\$或ある$\ell =a(1-e^{2})\$。

在ざい极坐标系中なか，圆锥曲きょく线有一いち个焦点在てんざい原点げんてん，如果有ゆう另一个焦点的话它在正x轴上，给出自しゅつじ方かた程ほど

$r={\ell \over (1-e\cos \theta )}$，

或ある者もの，

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )$，

如上じょじょう，对于$e=0$得え到いた一いち个圆，对于$0<e<1$得え到いた椭圆，对于$e=1$得え到いた抛ほう物もの线，对于$e>1$得え到いた双そう曲きょく线。

齐次坐すわ标

在ざい齐次坐すわ标下しも圆锥曲きょく线可以表示ひょうじ为：

$A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;$

或ある表示ひょうじ为矩のり阵：

${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0$

矩のり阵$M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}$叫さけべ做“圆锥曲きょく线矩阵”。

$\Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}$叫さけべ做圆锥曲线的行列ぎょうれつ式しき。如果$\Delta =0$则这个圆锥曲线被称しょう为退化か的てき，这意味いみ着ぎ圆锥曲きょく线是两个直ちょく线的联合（两相交直线，两平行へいこう直ちょく线或两重合じゅうごう直ちょく线）或ある一いち点てん。。

例れい如，圆锥曲きょく线${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0$退化たいか为两相しょう交直线：$\{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}$。

类似的てき，圆锥曲きょく线有时退化か为两重合じゅうごう直ちょく线（两直线重合成ごうせい一いち条じょう）: $\{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}$。

$\delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}$被ひ称しょう为圆锥曲线的判はん别式。如果$\delta =0$则圆锥曲线是抛ほう物もの线，如果$\delta <0$则是双そう曲きょく线，如果$\delta >0$则是椭圆。如果$\delta >0$且$A_{1}=A_{2}$，圆锥曲きょく线是圆；如果$\delta <0$且$A_{1}=-A_{2}$，它是直角ちょっかく双そう曲きょく线。可か以证明あかり在ざい複ふく射影しゃえい平面へいめん$\mathbb {CP} ^{2}$中なか，两个圆锥曲きょく线共有きょうゆう四よん个点（如果考こう虑重根しこね），所以ゆえん永なが不ふ多た于4个交点てん并总有ゆう1个交点てん（可能かのう性せい：4个不同ふどう的てき交点こうてん，2个单一いち交点こうてん和わ1个双重じゅう交点こうてん，2个双重じゅう交点こうてん，1单一交点こうてん和わ1个三さん重じゅう交点こうてん，1个四よん重じゅう交点こうてん）。如果存在そんざい至いたり少しょう一いち个重根ね$>1$的てき交点こうてん，则两个圆锥曲线被称しょう为相あい切きり的てき。如果只ただ有ゆう一いち个四よん重じゅう交点こうてん，两个圆锥曲きょく线被称しょう为是共振きょうしん的てき。

进一いち步ほ的てき，每まい个直ちょく线与あずか每まい个圆锥曲线相交两次じ。如果两交点てん是重これしげ合成ごうせい一いち点てん，则这个线被ひ称しょう为切きり线。因よし为所有しょゆう直ちょく线交圆锥曲きょく线两次じ，每まい个圆锥曲线有两个点在てんざい无穷远（与あずか无穷远线的てき交点こうてん）。如果这些点てん是ぜ实数的てき，圆锥曲きょく线必定ひつじょう是ぜ双そう曲きょく线；如果它们是ぜ虚むなし共きょう轭，圆锥曲きょく线必定ひつじょう是ぜ椭圆，如果圆锥曲きょく线有双そう重点じゅうてん在ざい无穷远，则它是ぜ抛ほう物もの线。如果在ざい无穷远的点てん是ぜ$(1,i,0)$和わ$(1,-i,0)$，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲きょく线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或ある它有两个不ふ共きょう轭的虚きょ数すう点てん，它不是ぜ抛ほう物もの线、不ふ是ぜ椭圆、不ふ是ぜ双そう曲きょく线。

外部がいぶ链接

• Conic sections（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） at Special plane curves（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）.
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Conic Section. MathWorld. 
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Conic Section Directrix. MathWorld. 
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Focus. MathWorld. 
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.