锥台

錐きり台だい

例れい如：五角錐台與四角錐台
類別るいべつ	錐きり台だい
對偶たいぐう多面體ためんたい	不ふ對稱たいしょう雙そう錐きり體たい
性質せいしつ
面めん	${{n}+{2}}$
邊あたり	${{3}\,{n}}$
頂點ちょうてん	${{2}\,{n}}$
歐おう拉ひしげ特徵とくちょう數すう	F=${{n}+{2}}$, E=${{3}\,{n}}$, V=${{2}\,{n}}$ （χかい=2）
組成そせい與あずか佈局
面めん的てき種類しゅるい	n 个梯形ていけい, 2 个n边形
對稱たいしょう性せい
對稱たいしょう群ぐん	Cnv, [1,n], (*nn)
特性とくせい
凸とつ多面体ためんたい
圖像ずぞう
不ふ對稱たいしょう雙そう錐きり體たい （對偶たいぐう多面體ためんたい） （展開てんかい圖ず）
註：$n$為ため底面ていめん邊べ數すう 。

棱台是これ几何学がく中ちゅう研究けんきゅう的てき一いち类多面体ためんたい，指ゆび一いち个棱锥被ひ平行へいこう于它的てき底面ていめん的てき一いち个平面へいめん所ところ截後，截面与あずか底面ていめん之の间的几何形体けいたい。截面也称为棱台だい的てき上底あげぞこ面めん，原はら来らい棱锥的てき底面ていめん称しょう为下底面ていめん。随ずい着ぎ棱锥形状けいじょう不同ふどう，棱台的てき称呼しょうこ也不相しょう同どう，依よ底面ていめん多た边形而定，例れい如底面めん是正ぜせい方形ほうけい的てき棱台称しょう为方棱台，底面ていめん为三角形的棱台称为三棱台，底面ていめん为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是ぜ平ひら截头体たい的てき一いち类，也是更さら广义的てき拟柱体たい的てき一いち种。根ね据すえ所しょ截的是ぜ圆锥还是棱锥，可分かぶん为圆台与あずか棱台。

从棱台だい的てき定てい义可以推知すいち，一いち个以n边形为底面めん的てき棱台，一いち共有きょうゆう2n个顶点，n+2个面以及3n条じょう边。棱台的てき对偶多面体ためんたい是これ双そう锥。棱台的てき对称性せい取と决于原はら来らい棱锥。如果原ばら来らい的てき棱锥是正ぜせい棱锥，那な么棱台だい和正かずまさ多た边形有ゆう相しょう同どう的てき对称结构（同どう构的てき对称群ぐん）。

性せい质

体からだ积

棱台的てき体からだ积取决于两底面めん之の间的距离（棱台的てき高だか），以及原はら来らい棱锥的てき体からだ积。设$h$為ため棱台的てき高だか，$S_{u}$和わ$S_{d}$為ため棱台的てき上下じょうげ底そこ面積めんせき，$V$ 為ため棱台的てき体からだ积。由よし于棱台だい是ぜ由よし一个平面截去棱锥的一部分（也就是ぜ和かず原げん来らい棱锥相似そうじ的てき一いち个小棱锥）得とく到いた，所以ゆえん计算体たい积的时候，可か以先算出さんしゅつ原ばら来らい棱锥的てき体からだ积，再さい减去和わ它相似そうじ的てき小しょう棱锥的てき体からだ积。棱锥被ひ平行へいこう于底面めん的てき平面へいめん所しょ截时，截面的てき面めん积与底面ていめん面めん积的比ひ，等とう于小棱锥和わ原げん棱锥的てき高だか的てき比ひ的てき平方へいほう。假かり设原棱锥的てき高だか是ぜ$H$，那な么小棱锥的てき高だか是ぜ$H-h$。也就是ぜ说：

${\frac {H-h}{H}}={\sqrt {\frac {S_{u}}{S_{d}}}}$

所以ゆえん：

$H={\frac {h{\sqrt {S_{d}}}}{{\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}}}}$

棱台的てき体からだ积等于原棱锥体たい积减去さ小しょう棱锥的てき体からだ积：

$V={\frac {S_{d}H}{3}}-{\frac {S_{u}(H-h)}{3}}={\frac {(S_{d}{\sqrt {S_{d}}}-S_{u}{\sqrt {S_{u}}})h}{3({\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}})}}={\frac {h}{3}}\left(S_{d}+S_{u}+{\sqrt {S_{d}}}{\sqrt {S_{u}}}\right)$

对于正せい棱锥，假かり设它的てき底面ていめん是正ぜせいn边形，边长分ぶん别为a和わb，高こう是ただしh，那な么底面めん积是：$S_{u}={\frac {na^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}},\quad S_{u}={\frac {nb^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}.$ 所以ゆえん它的体たい积是：

$V={\frac {n(a^{2}+b^{2}+ab)h}{12}}\cot {\frac {\pi }{n}}.$

表面ひょうめん积

棱台的てき侧面展てん开图是ぜ由ゆかり各かく个梯形ていけい侧面组成的てき，展てん开图的てき面めん积，就是各かく个侧面めん的てき面めん积之和わ，也就是ぜ原げん棱锥的てき侧面积减去さ小しょう棱锥的てき侧面积S_c

$S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}$，其中$S_{i},i=1,2\cdots ,n$是ぜ第だい i 个侧面めん的てき面めん积。

棱台的てき表面ひょうめん积等于棱台だい的てき侧面积S_c加か上底あげぞこ面めん积S。假かり设各个梯形がた侧面的てき高だか是ぜh_i，底そこ边的长度是ぜa_i和わb_i，那な么棱锥的侧面积：

$S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})h_{i}.$

体からだ积公式しき

棱台或ある圆台的てき体からだ积是ぜ原げん立体りったい图形的てき体からだ积减去さ被ひ截去部分ぶぶん的てき体からだ积：

$V={\frac {h_{2}B_{2}-h_{1}B_{1}}{3}}$

B₁ 指ゆび一个底面的面积，B₂指ゆび另一个底面的面积, and h₁， h₂ 指原さすはら顶点分ぶん别到两底面めん的てき面めん积。 考こう虑到

${\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}$

这个体たい积也可用かよう平ひら截头体たい的てき高だか h = h₂−h₁ 与あずか两底面面めんめん积的希まれ罗平均へいきん数すう表おもて达：

$V={\frac {h}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})$

亚历山さん大里おおさと亚的希まれ罗 推导出で了りょう这个公式こうしき并且凭もたれ借か它遇到いた了りょう虚数きょすう。

特とく别地， 圆台的てき体からだ积是

$V={\frac {\pi h}{3}}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}R_{2})$

πぱい 等とう于 3.14159265...，'R₁, R₂ 是ぜ两底面めん的てき半径はんけい。

Pyramidal frustum.

底面ていめん为n边形的てき棱台的てき体からだ积是

$V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{2})\cot {\frac {180}{n}}$

a₁ 与あずか a₂ 是ぜ底面ていめん的てき边长。

表面ひょうめん积公式しき

对于一いち个正圆台，

${\begin{aligned}{\text{Lateral Surface Area}}&=\pi (R_{1}+R_{2})s\\&=\pi (R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{Total Surface Area}}&=\pi \left[(R_{1}+R_{2})s+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\\&=\pi \left[(R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\end{aligned}}$

Lateral Surface Area指ゆび侧面积，Total Surface Area指ゆび总面积，R₁ and R₂ 为底面めん半径はんけい，s 为平截头体たい的てき斜はす高だか。 一いち个底面めん为正n边形的てき正せい棱台的てき表面ひょうめん积是

$A={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]$

a₁ 与あずか a₂是ぜ两底面めん的てき边长。

參まいり見み

• 金字塔きんじとう：某ぼう些金字塔きんじとう是ぜ棱台状じょう建けん筑，大だい部分ぶぶん是ぜ四よん棱台；
• 圓えん台だい：平行へいこう于圆锥底面めん的てき平面へいめん截圆锥，截面和わ底面ていめん之の间的部分ぶぶん；
• 棱锥：多た边形的てき各かく个顶点与平よへい面めん外がい一点相连得到的几何体たい。
• 雙そう錐きり台だい
• 錐きり體たい

链接

• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Pyramidal frustum. MathWorld. 
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Conical frustum. MathWorld. 
• Paper models of frustums (truncated pyramids) （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Paper model of frustum (truncated cone) （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Design paper models of conical frustum (truncated cones) （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）