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是合蚌线。
在平面几何中,蚌线是一类曲线,可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说,过定点 的动直线与给定曲线 相交,动直线上满足“与交点距离为定长 ”的点的轨迹定出的新曲线,就是原曲线 关于极点 和迹距 的蚌线。[1][2][3]
用解析几何的方式来表述:平面曲线 的极坐标方程为 ,则以 为方程的曲线是 关于原点的蚌线。[4]
“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线,即尼科美迪斯蚌线。[5]尼科美迪斯是古希腊数学家,他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。[6]
有定直线 和直线外一固定点 ,过点 的动直线与 相交,动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹,就是直线 关于极点 的蚌线 ,即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支,两支的渐近线都为 。[4][5]
通常记 与点 的距离为 ,迹距为 。根据 和 的关系,内支有三种不同形态:[4]
- 当 时,蚌线内支没有尖点或结点,极点与内支不相交。
- 当 时,蚌线内支有一个尖点,尖点与极点重合。
- 当 时,蚌线内支有一个结点,结点与极点重合。
尼科美迪斯蚌线是轴对称图形,对称轴与 垂直并通过极点 。[3]
古希腊数学家尼科美迪斯是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具,这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传,只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出,存在“四种”蚌线,但只记录了“第一种”蚌线,也就是直线蚌线的外支,用来解决尺规作图三大难题中的两个:三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线,很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。[7][6]
帕普斯将该曲线称为“螺线”(κοχλοειδὴς γραμμή),这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”(κογχοειδὴς γραμμή)。[7]
17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线,并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代,蚌线变得很少被数学家研究和关注。[8][9]
作线段 。以点 为圆心、 为半径作圆,以点 为圆心、 为半径作圆,交于点 。
过点 作线段 的垂线 。以点 为极点、 为迹距作直线 的蚌线外支。
延长 交蚌线于点 。延长 交圆 于点 。连接 交 于点 。线段 的长度即为 。[7]
尼科美迪斯的几何证明
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- 作长方形 , 。
- 延长 ,延长 ,交于点 。
- 连接 ,交 于点 ,点 是 中点。
- 取 中点 ,连接 。
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- [7]
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作任意直角三角形 ,点 为垂足。以点 为极点、 为迹距作直线 的蚌线外支。
过点 作直线 的垂线,交蚌线于点 。 就是 的三等分线。[7]
在极坐标系中,设点 为坐标原点,则直线 和蚌线 的方程可以表示为:[4]
在直角坐标系中,设点 为坐标原点,则直线 和蚌线 的方程可以表示为:[4]
或用参数方程表示为:[4]
- (上下正负号同号,)
尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。[4]
帕斯卡蜗线是一类外旋轮线,同时也是一类特殊的蚌线,是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上,所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时,就是心脏线。[1][2]
作圆 关于圆上一个定点 、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 ,延长 至圆外,与所作蚌线交于点 。根据蚌线的性质,易知 。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线。[2]
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圆对圆外一点的蚌线,迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离
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圆对圆外一点的蚌线,迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点
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圆对圆外一点的蚌线,迹距小于极点与圆的最大距离,大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点
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圆对圆外一点的蚌线,迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点
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圆对圆外一点的蚌线,迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离