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蚌线

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绿色为直线,黑色こくしょく为直线外いちてん所有しょゆう红色线段蓝色线段てき长度ひとし相等そうとう紫色むらさきいろ橙色だいだいいろきょく线是绿色ちょく线关于黑しょくてんてき蚌线,紫色むらさきいろ为内ささえ橙色だいだいいろ为外ささえ
极点はらただし线不变、迹距不同ふどうてきいち系列けいれつ蚌线

ざい平面へいめん几何なか蚌线いちきょく线以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。さら具体ぐたい说,过定てん てき动直线与给定きょく线 あい交,动直线上满足“あずか交点こうてん距离为定长 てきてんてき轨迹じょうてき新曲しんきょく线,就是原曲げんきょく线 关于极点 かず迹距 てき蚌线。[1][2][3]

よう解析かいせき几何てき方式ほうしきおもてじゅつ平面へいめんきょく线 てき极坐标かたほど ,则以 为方ほどてききょく线是 关于原点げんてんてき蚌线。[4]

“蚌线”也常とくゆび原曲げんきょく线为ちょく线てき蚌线,そくあますすむ斯蚌线[5]あますすむえいNicomedes (mathematician)古希こき腊数がく利用りよう这种蚌线らいかい古希こき腊数がく三大难题中的两个——さん等分とうぶんかくばい立方体りっぽうたい[6]

あますすむ斯蚌线

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灰色はいいろ为直线,黑色こくしょく为蚌线的极点
  迹距しょう于极てんあずかちょく线的距离,极点あずかうちささえぶん
  迹距とう于极てんあずかちょく线的距离,极点ないささえてきとんがてん
  迹距だい于极てんあずかちょく线的距离,极点ないささえてき结点

せい

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有定ありさだちょく线 かずただし线外いち固定こていてん ,过点 てき动直线与 あい交,动直线上满足“あずか交点こうてん距离为定长”てきてんてき轨迹,就是ちょく线 关于极点 てき蚌线 そくあますすむ斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支,两支てき渐近线[4][5]

通常つうじょう あずかてん てき距离为 ,迹距为 すえ てき关系,ないささえゆうさん种不同形どうけい态:[4]

  • とう 时,蚌线ないささえぼつゆうとんがてんある结点,极点あずかうちささえあい交。
  • とう 时,蚌线ないささえゆういち个尖てんとんがてんあずか极点重合じゅうごう
  • とう 时,蚌线ないささえゆういち个结てん,结点あずか极点重合じゅうごう

あますすむ斯蚌线是轴对しょう图形,对称轴与 垂直すいちょく并通过极てん [3]

历史应用

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あまよねすすむ斯发あかりてき工具こうぐようらい绘制ちょく线蚌线的がいささえ

古希こき腊数がくあますすむえいNicomedes (mathematician)これ最早もはや研究けんきゅう蚌线てきじん发明りょう绘制ちょく线之蚌线てき工具こうぐ,这是じん们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。关于蚌线てき论著やめ经失传,ただゆういち部分ぶぶんどおり帕普斯てき数学すうがく汇编》とく保存ほぞんらい。帕普斯指存在そんざいよん种”蚌线,ただしただ记录りょうだいいち种”蚌线,也就ちょく线蚌线的がいささえもちいらいかいせき规作图三大难题中的两个:さん等分とうぶんかくばい立方体りっぽうたいあましたてきさん种”蚌线,很可能かのうゆびてきちょく线蚌线内ささえてきさん种形态。[7][6]

帕普斯将该曲线称为“にし线”(κοχλοειδὴς γραμμή),这很可能かのうあますすむ最初さいしょてきさけべほうきさきらいてきひろし罗克らくとう人才じんさい改称かいしょう该曲线为“蚌线”(κογχοειδὴς γραμμή)。[7]

17せい纪的だい数学すうがくもぐさ萨克·うし认为蚌线仅次于直线和圆的、てい义第三简洁的曲线,并利用りよう蚌线构造さん平面へいめんきょく线ただし及至当代とうだい,蚌线变得很少数学すうがく研究けんきゅう关注。[8][9]

ばい立方体りっぽうたい

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じょ蚌线作出さくしゅつ长度为てき线段

さく线段 。以点 圆心半径はんけいさく,以点 为圆しん半径はんけいさく圆,交于てん

过点 さく线段 てきたれ线 。以点 为极てん 为迹距作ちょく线 てき蚌线がいささえ

のべ 交蚌线于てん のべ 交圆 于点 。连接 于点 。线段 てき长度そく[7]

代数だいすう证明

。显然 是正ぜせい实数

いん 为直かく三角形さんかっけい所以ゆえん

またよし所以ゆえん

あますすむ斯的几何证明
さく长方がた
のべのべ ,交于てん
连接 ,交 于点 てん これ 中点ちゅうてん
中点ちゅうてん ,连接
[7]

さん等分とうぶんかく

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じょ蚌线さん等分とうぶん任意にんい锐角

さく任意にんい直角ちょっかく三角形さんかっけい てん 为垂あし。以点 为极てん 为迹距作ちょく线 てき蚌线がいささえ

过点 さくちょく线 てきたれ线,交蚌线于てん 就是 てきさん等分とうぶん线。[7]

证明

さく あずか てき交点こうてん 的中てきちゅうてん ,连接

すえ蚌线直角ちょっかく三角形さんかっけいてきせい质,可知かち

えき证得

[7]

解析かいせき几何

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ざい极坐标系なか,设点 为坐标原点げんてん,则直线 かず蚌线 まとかたほど表示ひょうじ为:[4]

ざい直角ちょっかくすわ标系なか,设点 为坐标原点げんてん,则直线 かず蚌线 まとかたほど表示ひょうじ为:[4]

あるようまいりすうぽうほど表示ひょうじ为:[4]

上下じょうかせい负号どうごう

あますすむ斯蚌线是よん平面へいめんきょく线[4]

帕斯卡蜗线

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帕斯卡蜗线いちそと旋轮线どう时也一类特殊的蚌线,关于圆上一个定点的蚌线。よし于极点在てんざい原曲げんきょく线上,所以ゆえん蚌线てきないささえがいささえこうすべりしょう连为いちじょうきょく线。とう迹距とう于圆てき直径ちょっけい时,就是こころ脏线[1][2]

さく 关于圆上いち个定てん 、迹距とう于圆てき半径はんけいてき蚌线。对于圆上任意にんいいちてん のべ いたり圆外,あずか所作しょさ蚌线交于てん すえ蚌线てきせい质,えき 。这条特殊とくしゅてき蚌线しょうさん等分とうぶんかく蜗线えいLimaçon_trisectrix[2]

其他蚌线

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参考さんこうらいげん

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  1. ^ 1.0 1.1 别尔曼にわかБерман,_Георгий_Николаевич. 摆线. えつみん义 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大がく出版しゅっぱんしゃ. 2019: 53-60. ISBN 978-7-5603-5834-5. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 霍华とく·おっとえいHoward Eves. 数学すうがくがい论. だい6はん. おう阳峰 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大がく出版しゅっぱんしゃ. 2009: 126. 
  3. ^ 3.0 3.1 きょうかんはじめ; よしほし. 几何てき原理げんり作法さほう. 上海しゃんはい: 上海しゃんはい科学かがくわざ出版しゅっぱんしゃ. 1964: 289-293. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 ぬのたかし什坦にわかБронштейн, Илья Николаевич; 谢缅けい也夫にわかСемендяев,_Константин_Адольфович. 数学すうがくしゅさつ. 罗零, いし峥嵘 (译). 北京ぺきん: 高等こうとう教育きょういく出版しゅっぱんしゃ. 1965: 90-91. 
  5. ^ 5.0 5.1 こうのぞみ尧. 数学すうがく术语详解词典. 西安しーあん: 陕西科学かがくわざ出版しゅっぱんしゃ. 1991: 20-21. ISBN 7-5369-0738-9. 
  6. ^ 6.0 6.1 莫里斯·かつ莱因. 古今ここん数学すうがく思想しそう だい1さつ. 张理きょう, 张锦えん, こう泽涵 (译). 上海しゃんはい: 上海しゃんはい科学かがくわざ出版しゅっぱんしゃ. 2014: 95-96. ISBN 978-7-5478-1717-9. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Thomas HeathえいThomas_Heath_(classicist). A History of Greek Mathematics: Volume I, From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: 238-240, 260-262 えい语). 
  8. ^  Chisholm, Hugh (编). Conchoid. Encyclopædia Britannica 6 (だい11はん). London: Cambridge University Press: 826–827. 1911 えい语). 
  9. ^ だい卫·S.さともりえいDavid Richeson. 不可能ふかのうてき几何挑战 数学すうがくもとめさくせんねん. きょう喆 (译). 北京ぺきん: 人民じんみん邮电出版しゅっぱんしゃ. 2022: 176-179. ISBN 978-7-115-57370-4.