三角みすみ学まなぶ

三角みすみ学まなぶ（英語えいご：Trigonometry）是これ數學すうがく的てき一いち個こ分ぶん支ささえ，主要しゅよう研究けんきゅう三角形さんかっけい，以及三角形中边与角之间的关系。三角さんかく学がく定義ていぎ了りょう三角さんかく函數かんすう，可か以描述じゅつ三角形边与角的关系，而且都と是ぜ周期しゅうき函数かんすう，可か以用來らい描述周期しゅうき性せい的てき現象げんしょう。三角学在西元前三世紀時開始發展，最早もはや是これ幾何きか學がく的てき一いち個こ分ぶん支ささえ，廣こう泛的用よう在ざい天文てんもん量りょう測はか中なか^[1]，三角さんかく学がく也是測量そくりょう學がく的てき基礎きそ。

三角学的基礎是平面三角学，研究けんきゅう平面へいめん上じょう的てき三角形中边与角之间的关系，分ふん为角的てき度量どりょう、三角さんかく函数かんすう与あずか反はん三角さんかく函数かんすう、诱导公式こうしき、和わ与あずか差さ的てき公式こうしき、倍角ばいかく、半角はんかく公式こうしき、和わ差さ化か积与积化和わ差さ公式こうしき、解かい三角形さんかっけい等とう内容ないよう，可能かのう會かい是ぜ單獨たんどく的てき一いち個こ科目かもく或ある是ぜ在ざい预科微ほろ积分教授きょうじゅ，三角さんかく函數かんすう在ざい純じゅん數學すうがく及應用おうよう數學すうがく中なか的てき許多きょた領域りょういき中ちゅう出現しゅつげん，例れい如傅でん立葉たてば分析ぶんせき及波なみ函數かんすう等ひとし，是ぜ許多きょた科技かぎ領域りょういき的てき基礎きそ。

三角学也包括球面三角學，研究けんきゅう球面きゅうめん上うえ，由ゆかり大圓だいえん的てき弧こ所しょ包圍ほうい成なり的てき球面きゅうめん三角形さんかっけい，位い在ざい曲きょく率りつ為ため正せい值常數すう的てき曲面きょくめん上うえ，是ぜ橢圓だえん幾何きか的てき一部いちぶ份，球面きゅうめん三角さんかく學がく是ぜ天文學てんもんがく及航海こうかい的てき基礎きそ，也在测量学がく、制せい图学、结晶学がく、仪器学がく等とう方面ほうめん有ゆう广泛的てき应用。負ふ曲きょく率りつ曲面きょくめん上じょう的てき三角さんかく学則がくそく是ぜ雙そう曲きょく幾何きか中なか的てき一部いちぶ份。

历史

苏美尔天文学てんもんがく家か引入了りょう角度かくど测量，将はた一个圆分割为360度ど。^[2]他た们和之の后きさき的てき巴ともえ比ひ伦人都と在ざい研究けんきゅう相似そうじ三角形各边之间的比例关系，并发现了其中一いち部分ぶぶん比例ひれい，但ただし是ぜ并没有ゆう将はた其发展てん为一套系统的方法ほうほう。古代こだい努つとむ比ひ亚人也使用よう了りょう类似的てき方法ほうほう。^[3]古希こき腊人最早もはや将しょう三角学转变成一套系统学科。^[4]

穆きよし斯林天文学てんもんがく家か巴ともえ塔とう尼あま引入了りょう我わが们今天てん熟知じゅくち的てき正弦せいげん、余弦よげん、正せい切きり、余よ切きり等とう术语，并且提出ていしゅつ了りょう正せい切きり^{[註 1]}和わ余あまり切きり的てき概念がいねん。

明代あきよ末すえ年ねん，由ゆかり于历法改革かいかく的てき需要じゅよう，西にし学がく东渐中ちゅう陆续引进了りょう几何学がく、三角さんかく学がく等とう西方せいほう数学すうがく。这项工作こうさく仍在清朝せいちょう继续进行，其中最さい重要じゅうよう的てき是ぜ由ゆかり波なみ兰传教士し穆きよし尼あま阁和わ薛凤祚所ところ介かい绍的对数方法ほうほう。薛凤祚所著ちょ《历学会がっかい通どおり》的てき数学すうがく部分ぶぶん主要しゅよう是ぜ传自穆きよし尼あま阁的《比例ひれい对数表ひょう》（1653年ねん）、《比例ひれい四よん线新表ひょう》和かず《三角さんかく算法さんぽう》等とう各かく一いち卷かん。《比例ひれい对数表ひょう》和かず《比例ひれい四よん线新表ひょう》分ぶん别给出で了りょう1～10000的てき六位对数表和六位三角函数（正弦せいげん、余弦よげん、正せい切きり、余よ切きり）对数表ひょう。书中把わ今いま天てん所しょ说的“对数”称しょう为“比例ひれい数すう”或ある“假数かすう”，并简单解释了把わ乘の除じょ运算化か为加か减运算的てき道理どうり。这是对数方法ほうほう在中ざいちゅう国こく的てき首くび次じ介かい绍。对数是ぜ17世せい纪最重要じゅうよう的てき发现之の一いち，它有效ゆうこう地ち简化了りょう繁しげる重じゅう的てき计算工作こうさく。在ざい对数、解析かいせき幾何きか和わ微積分びせきぶん这三种当时西方最重要的数学方法中，也只有ゆう对数比ひ较及时地传入了りょう中国ちゅうごく。《三角さんかく算法さんぽう》所しょ介かい绍的平面へいめん三角和球面三角知识，比ひ《崇たかし祯历书》中有ちゅうう关三角学的内容更丰富一些。如平面めん三さん角かく中ちゅう包つつみ含有がんゆう正弦せいげん定理ていり、余弦よげん定理ていり、正せい切きり定理ていり和わ半角はんかく定理ていり等ひとし，且多是ぜ运用三角函数的对数进行计算。球面きゅうめん三さん角かく中ちゅう增加ぞうか半角はんかく公式こうしき、半はん弧こ公式こうしき、达朗贝尔公式こうしき和わ纳皮尔公式しき等ひとし。

概がい述じゅつ

在ざい这个直角ちょっかく三角形さんかっけい当とう中なか：sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b。

如果三角形さんかっけい的てき一いち个角かく为90度ど，而另一个角的度数已知，那な么第三个角的度数也就固定下来了，这是因いん为任何なん一个三角形三个角的度数之和总是180度ど。这样，两个锐角的てき度数どすう之の和わ为90度ど：它们互为余よ角かく。这样的てき三角形さんかっけい形狀けいじょう已やめ经完全ぜん确定下か来らい，它们是ぜ一组度数相同的相似そうじ三角形さんかっけい。在ざい度数どすう确定的てき情じょう况下，每まい个边之の间的比例ひれい也就随ずい之の确定，无论三角形さんかっけい大小だいしょう。如果其中一个边的长度又为已知的话，那な么其他た两条边的长度也就确定。这些比例ひれい以 $\angle A$ 的てき三角さんかく函数かんすう形式けいしき表示ひょうじ出来でき，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分ぶん别带指ゆび三角形中对应三边的长度：

正弦せいげん函数かんすう（ $\sin$ ），定てい义为该角的てき对边与あずか斜邊しゃへん的てき比例ひれい。

{\displaystyle \sin A={\frac {\text{

余弦よげん函数かんすう（ $\cos$ ），定てい义为该角的てき邻边与あずか斜はす边的比例ひれい。

{\displaystyle \cos A={\frac {\text{鄰

正せい切きり函数かんすう（ $\tan$ ），定てい义为该角的てき对边与邻边的てき比例ひれい。

{\displaystyle \tan A={\frac {\text{

其中，斜はす边是ぜ指ゆび直角ちょっかく三角形さんかっけい中ちゅう90度ど角所かくしょ对的边；它是该三角形中最长的边，也是角かくA的てき一いち个邻边。对边是ぜ角かくA所しょ对的一いち条じょう边。

这些函数かんすう的てき倒たおせ数すう分ぶん别被称しょう为余よ割わり（ $\csc$ 或あるcosec）、正せい割わり（ $\sec$ ）和わ余よ切きり（ $\cot$ ）：

\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}},

\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}},

\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.

它们的てき反はん三角さんかく函数かんすう分ぶん别为arcsine、arccosine和わarctangent。这些函数かんすう之の间存在そんざい的てき数学すうがく关系被ひ称しょう为三角さんかく恒等こうとう式しき。

通つう过使用しよう这些函数かんすう，可か以回答かいとう有ゆう关任意にんい三角形さんかっけい的てき所有しょゆう问题，只ただ需使用しよう正弦せいげん定理ていり和わ余弦よげん定理ていり。在ざい已やめ知ち两条边长以及它们夹角的てき度数どすう，或ある是ぜ两个角かく的てき度数どすう以及一いち条じょう边长，或ある是ぜ知道ともみち三さん边长度ど后きさき，使用しよう这些法ほう则可以计算出さんしゅつ其他角かく和わ边。

定てい义的扩展

上面うわつら的てき定てい义只是ぜ用よう于度数すう在ざい0°到いた90°之の间的角かく（0到いた ${\frac {\pi }{2}}$ 弧こ度ど）。使用しよう单位圆，可か以将它们扩展到いた所有しょゆう度数どすう为正、负的角かく上じょう（参まいり见三角さんかく函数かんすう）。三角さんかく函数かんすう为周期しゅうき函数かんすう，周期しゅうき为360°（ $2\pi$ 个弧度ど）。这意味いみ着ぎ在ざい这个区く间内，它们的てき值会反はん复出现。正せい切きり和わ余あまり切きり函数かんすう周期しゅうき较短，为180°（ $\pi$ 个弧度ど）。

三角函数还可以使用非上述集合定义来描述，如使用しよう微ほろ积分和わ無窮むきゅう級數きゅうすう。采さい取と这种定てい义，三角函数可以扩展到复数。其中，复数指数しすう函数かんすう十じゅう分有ぶんゆう用よう。

e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).

参まいり见欧おう拉ひしげ公式こうしき和わ棣莫弗どる公式こうしき。

使用しよう单位圆绘制せい $y=\sin x$ 的てき过程。
使用しよう单位圆绘制せい $y=\tan x$ 的てき过程。
使用しよう单位圆绘制せい $y=\csc x$ 的てき过程。

计算

三角さんかく函数かんすう是ぜ最早もはや使用しよう数学すうがく用よう表ひょう的てき。这样的てき数学すうがく用よう表ひょう被ひ纳入数学すうがく课本中ちゅう，供きょう学生がくせい查询数すう值和使用しよう插值法ほう得え到いた更さら高だか精せい确度。计算尺じゃく在ざい三角函数中有着特别的计量。如今的てき科学かがく计算器き已やめ经配备有计算主要しゅよう三さん角かく函数かんすう的てき功こう能のう，大だい多数たすう电脑编程语言也提供ていきょう函数かんすう库来计算三さん角かく函数かんすう。

常用じょうよう公式こうしき

一些有关三角函数的恒等式对于所有角都始终成立，被ひ称しょう为三角さんかく恒等こうとう式しき。有ゆう一些恒等式是对于同一角的不同三角函数间的转换。

标准恒等こうとう式しき

恒等こうとう式しき是ぜ指ゆび那な些无论给定てい值为多少たしょう都みやこ始はじめ终成立せいりつ的てき等式とうしき。在ざい三角函数中存在如下恒等关系：

\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1

--- (1)

\tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A

--- (2)

1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A

--- (3)

正弦せいげん定理ていり

对于任意にんい三角形さんかっけい的てき正弦せいげん定理ていり（又また被ひ称しょう为“正弦せいげん法ほう则”）公式こうしき如下^[5]^:p.110：

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,

其中，R是ぜ三角形さんかっけい外接がいせつ圓えん的てき半径はんけい长度：

R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.

另一个有关于正弦的法则可以用来计算三角形的面积。在ざい给定两条边的长度以及它们所しょ夹角的てき角度かくど，该三角形さんかっけい的てき面めん积为：

{\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}ab\sin C.

余弦よげん定理ていり

任意にんい三角形さんかっけい的てき余弦よげん定理ていり（又また被ひ称しょう为余弦よげん方程式ほうていしき、余弦よげん法ほう则），是ぜ勾股定理ていり的てき一いち个扩展てん^[5]^:p.112 ：

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,

或ある者もの可か以写作さく：

\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.\,

正せい切きり定理ていり

正せい切きり定理ていり如下：

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}

欧おう拉ひしげ公式こうしき

欧おう拉ひしげ公式こうしき定てい义，对于任意にんい的てき $x$ ，都みやこ有ゆう $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ，于是产生了りょう如下的てき对于e和わ虛數きょすう單位たんいi的てき数学すうがく分析ぶんせき恒等こうとう式しき：

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.

角度かくど转换公式こうしき

角度かくど转换公式こうしき也稱為ため和わ角かく公式こうしき或ある是ぜ和わ差さ公式こうしき，是ぜ有ゆう關せき二角和或差的三角函數的公式。

\sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B

\cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B

\tan(A\pm B)={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\ \tan B}}

\cot(A\pm B)={\frac {\cot A\ \cot B\mp 1}{\cot B\pm \cot A}}

倍角ばいかく公式こうしき以及半角はんかく公式こうしき

二倍角公式可以利用二角相等時的和角公式求得。

\sin 2A=2\sin A\ \cos A

\cos 2A=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A=2\cos ^{2}A-1=1-2\sin ^{2}A

\tan 2A={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}

利用りよう和わ角かく公式こうしき也可以推導しるべ三さん倍角ばいかく公式こうしき、四よん倍角ばいかく公式こうしき等とう。

半角はんかく公式こうしき可か以利用りよう餘弦よげん函數かんすう的てき二に倍角ばいかく公式こうしき求もとめ得う。

\sin {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos A}{2}}}

\cos {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos A}{2}}}

\tan {\frac {A}{2}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos A \over 1+\cos A}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}={\frac {1-\cos A}{\sin A}}

积化和わ差さ以及和わ差さ化か积

积化和わ差さ是ぜ將しょう二に個こ正弦せいげん及餘弦よげん函數かんすう的てき乘じょう積せき轉換てんかん為ため另外二個正弦及餘弦函數的和或差，其逆運算うんざん即そく為ため和わ差さ化か积。數學すうがく家か韋達在ざい其三角さんかく學がく著作ちょさく《應用おうよう於三角形さんかっけい的てき數學すうがく定律ていりつ》給きゅう出で积化和わ差さ与あずか和わ差さ化か积恒等式とうしき。积化和わ差さ恒等こうとう式しき可か以通过展开角的てき和わ差さ恒等こうとう式しき的てき右手みぎて端はし来らい证明。

积化和わ差さ	和わ差さ化か积
$\sin A\sin B={\cos(A-B)-\cos(A+B) \over 2}$	$\sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}$
$\cos A\cos B={\cos(A-B)+\cos(A+B) \over 2}$	$\cos A+\cos B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}$
$\sin A\cos B={\sin(A+B)+\sin(A-B) \over 2}$	$\cos A-\cos B=-2\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}$
$\cos A\sin B={\sin(A+B)-\sin(A-B) \over 2}$	$\sin A-\sin B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}$

参考さんこう文献ぶんけん

^ R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., The Gale Group (2002)
^ Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. New York: Springer, 2001. ISBN 978-0-387-95136-2
^ Otto Neugebauer. A history of ancient mathematical astronomy. 1. Springer-Verlag. 1975: 744– [2013-03-23]. ISBN 978-3-540-06995-9. （原始げんし内容ないよう存そん档于2013-10-09）.
^ "The Beginnings of Trigonometry （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）". Rutgers, The State University of New Jersey.
^ ^5.0 ^5.1 數學すうがく. 北京ぺきん: 清きよし华大学がく出版しゅっぱん社しゃ有限ゆうげん公司こうし. 2006 [2013-08-21]. ISBN 7810826751. （原始げんし内容ないよう存そん档于2014-08-19）.

注ちゅう释

^ 阿おもね拉ひしげ伯はく语ظل，意味いみ阴影

参まいり見み

延伸えんしん阅读

Boyer, Carl B. A History of Mathematics Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. 1991. ISBN 0-471-54397-7.
Hazewinkel, Michiel (编), Trigonometric functions, 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.