正弦せいげん

正弦せいげん

性質せいしつ
奇偶きぐう性せい	奇き
定義ていぎ域いき	(-∞,∞)
到達とうたつ域いき	[-1,1]
周期しゅうき	$2\pi$ （ $360^{\circ }$ ）
特定とくてい值
當とうx=0	0
當とうx=+∞	N/A
當とうx=-∞	N/A
最大さいだい值	$\left(\left(2k+{\tfrac {1}{2}}\right)\pi ,1\right)$ $\left(360^{\circ }k+90^{\circ },1\right)$
最小さいしょう值	$\left(\left(2k-{\tfrac {1}{2}}\right)\pi ,-1\right)$ $\left(360^{\circ }k-90^{\circ },-1\right)$
其他性質せいしつ
渐近线	N/A
根ね	$k\pi$ （ $180^{\circ }k$ ）
臨界りんかい點てん	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （ $180^{\circ }k-90^{\circ }$ ）
拐點	$k\pi$ （ $180^{\circ }k$ ）
不動點ふどうてん	0
k是ぜ一いち個こ整數せいすう。

在ざい數學すうがく中なか，正弦せいげん（英語えいご：sine、縮寫しゅくしゃ $\sin$ ）是ぜ一いち種しゅ週しゅう期き函數かんすう，是ぜ三角さんかく函数かんすう的てき一いち種しゅ。它的定てい义域是ぜ整せい个实数集しゅう，值域是これ $[-1,1]$ 。它是周期しゅうき函数かんすう，其最小正おばさ周期しゅうき为 $2\pi$ （ $360^{\circ }$ ）。在自あらじ变量为 ${\frac {(4n+1)\pi }{2}}$ （ $360^{\circ }n+90^{\circ }$ ，其中 $n$ 为整数せいすう）时，该函数すう有ゆう极大值1；在自あらじ变量为 ${\frac {(4n+3)\pi }{2}}$ （ $360^{\circ }n+270^{\circ }$ ）时，该函数すう有ゆう极小值-1。正弦せいげん函数かんすう是ぜ奇き函数かんすう，其图像ぞう于原点げんてん对称。

在ざい半はん个最小正おばさ周期しゅうき内ない，正弦せいげん函数かんすう有ゆう反はん函数かんすう，称しょう为反はん正弦せいげん函数かんすう。

符号ふごう史し

正弦せいげん的てき符号ふごう为 $\sin$ ，取と自じ拉ひしげ丁ちょう文あやsinus，词源是ぜ梵文ぼんぶん的てきjiva（“弓弦ゆづる”，如今多た写うつし作さくjya）。这个词在阿おもね拉ひしげ伯はく语里转写为jiba（جيب），但ただし该词无意义，阿おもね拉ひしげ伯はく语又好こう省略しょうりゃく元もと音おと，故こ只ただ写うつし作さくjb（جب）。然しか而在从阿拉ひしげ伯はく文ぶん翻こぼし译到拉ひしげ丁ひのと文ぶん时，jb被ひ解かい释为jayb（جيب），意い为“胸部きょうぶ”或ある“乳房ちぶさ”，而拉丁ひのと文ぶんsinus便びん是ぜ克かつ雷かみなり莫纳的てき杰拉德とく由よし此词翻こぼし译而来らい。该符号ごう最早もはや由よし法ほう国こく数学すうがく家か阿おもね尔贝·热拉尔（Albert Gerard）使用しよう（但ただし他た只ただ使用しよう了りょう正弦せいげん、余弦よげん和正かずまさ切きり；其余三个符号则是被欧おう拉ひしげ补足的てき）。

定てい义

直角ちょっかく三角形さんかっけい中ちゅう

直角ちょっかく三角形さんかっけい， $\angle C$ 為ため直角ちょっかく， $\angle A$ 的てき角度かくど為ため $\theta$ ，對たい於 $\angle A$ 而言，a為ため對邊たいへん、b為ため鄰邊、c為ため斜邊しゃへん

在ざい直角ちょっかく三角形さんかっけい中ちゅう，一いち个锐角 $\angle A$ 的てき正弦せいげん定てい义为它的对边与斜はす边的比ひ值，也就是ぜ：

\sin \theta ={\frac {\mathrm {a} }{\mathrm {c} }}

其定義ていぎ與あずか餘よ割わり函數かんすう互為倒たおせ數すう。

直角ちょっかく坐すわ标系中ちゅう

设 $\alpha$ 是ぜ平面へいめん直角ちょっかく坐すわ标系xOy中ちゅう的てき一いち个象限しょうげん角かく， $P\left({x,y}\right)$ 是ぜ角かく的てき终边上じょう一いち点てん， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是ぜP到いた原点げんてんO的てき距离，则 $\alpha$ 的てき正弦せいげん定てい义为：

\sin \alpha ={\frac {y}{r}}

单位圆定义

图像中ちゅう给出了りょう用よう弧こ度度たびたび量的りょうてき某ぼう个公共こうきょう角かく。逆ぎゃく时针方向ほうこう的てき度量どりょう是正ぜせい角かく而顺时针的てき度量どりょう是ぜ负角。设一个过原点的线，同どうx轴正半はん部分ぶぶん得え到いた一いち个角 $\theta$ ，并与单位圆相交。这个交点こうてん的てきy坐すわ标等于 $\sin \theta$ 。在ざい这个图形中ちゅう的てき三角形确保了这个公式；半径はんけい等とう于斜边并有ゆう长度1，所しょ以有了りょう $\sin \theta ={\frac {y}{1}}$ 。单位圆可以被认为是ぜ通どおり过改变邻边和对边的てき长度并保持ほじ斜はす边等于1查看无限数すう目的もくてき三角形さんかっけい的てき一いち种方式しき。

对于大だい于 $2\pi$ 或ある小しょう于 $-2\pi$ 的てき角度かくど，简单的てき继续绕单位い圆旋转。在ざい这种方式ほうしき下か，正弦せいげん变成了りょう周期しゅうき为2π的てき周期しゅうき函数かんすう：

\sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)

对于任にん何なん角度かくど $\theta$ 和かず任つとむ何なに整数せいすう $k$ 。

級數きゅうすう定義ていぎ

正弦せいげん函数かんすう（蓝色）的てき七なな阶泰たい勒公式しき（粉こな色しょく）在ざい以原点てん为中心ちゅうしん的てき一个周期内紧密地逼近原函数

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

微分びぶん方かた程ほど定てい义

由よし于正弦せいげん的てき导数是ぜ余弦よげん，余弦よげん的てき导数是ぜ负的正弦せいげん，因いん此正弦せいげん函数かんすう满足初はつ值問題もんだい

y''=-y,\,y(0)=0,\,y'(0)=1

这就是正ぜせい弦つる的てき微分びぶん方かた程ほど定てい义。

指数しすう定てい义

正弦せいげん函數かんすう的てき指數しすう定義ていぎ可か由ゆかり歐おう拉ひしげ公式こうしき導出どうしゅつ：

\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,

恒等こうとう式しき

用よう其它三さん角かく函数かんすう来らい表示ひょうじ正弦せいげん

函数かんすう	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$\sin \theta =$	$\sin \theta \$	${\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	${\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	${\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$

两角和わ差さ公式こうしき

\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y

\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y

二に倍角ばいかく公式こうしき

\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,

三さん倍角ばいかく公式こうしき

\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,

半角はんかく公式こうしき

\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}.\,

和わ差さ化か积公式しき

\sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)

\sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\theta +\phi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\phi  \over 2}\right)\;

万能ばんのう公式こうしき

\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}

含有がんゆう正弦せいげん的てき积分

\int \sin cx\;dx=-{\frac {1}{c}}\cos cx\,\!

\int |\sin x|\;dx=-\cos x\,\!

\int \sin ^{n}{cx}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}cx\cos cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!

\int \sin ^{2}{cx}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4c}}\sin 2cx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2c}}\sin cx\cos cx\!

\int {\sqrt {1-\sin {x}}}\;dx=\int {\sqrt {\operatorname {cvs} {x}}}\,dx=2{\frac {\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}{\sqrt {\operatorname {cvs} {x}}}=2{\sqrt {1+\sin {x}}}

\int x\sin cx\;dx={\frac {\sin cx}{c^{2}}}-{\frac {x\cos cx}{c}}\,\!

\int x^{n}\sin cx\;dx=-{\frac {x^{n}}{c}}\cos cx+{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\cos cx\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!

\int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {\sin cx}{x}}\;dx=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i+1}}{(2i+1)\cdot (2i+1)!}}\,\!

\int {\frac {\sin cx}{x^{n}}}\;dx=-{\frac {\sin cx}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\cos cx}{x^{n-1}}}dx\,\!

\int {\frac {dx}{\sin cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan {\frac {cx}{2}}\right|

\int {\frac {dx}{\sin ^{n}cx}}={\frac {\cos cx}{c(1-n)\sin ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {dx}{1\pm \sin cx}}={\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)

\int {\frac {x\;dx}{1+\sin cx}}={\frac {x}{c}}\tan \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {cx}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|

\int {\frac {x\;dx}{1-\sin cx}}={\frac {x}{c}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {cx}{2}}\right)\right|

\int {\frac {\sin cx\;dx}{1\pm \sin cx}}=\pm x+{\frac {1}{c}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {cx}{2}}\right)

\int \sin c_{1}x\sin c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}-{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(for }}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}\,\!

特殊とくしゅ值

徑みち度ど	$0$	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {5\pi }{12}}$
sin	$0$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

角度かくど	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$
sin	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={1 \over 2}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$

正弦せいげん定理ていり

正弦せいげん定理ていり說明せつめい对于任意にんい三角形さんかっけい，它的边是 $a$ , $b$ 和わ $c$ 而相对这些边的てき角すみ是ただし $A$ , $B$ 和わ $C$ ，有ゆう：

{\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}

也表示ひょうじ为：

{\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在ざい这个定理ていり中出なかいで现的公共こうきょう数すう ${\frac {\sin A}{a}}$ 是ぜ通どおり过 $A$ , $B$ 和わ $C$ 三さん点てん的てき圆的直径ちょっけい的てき倒たおせ数すう。正弦せいげん定理ていり用よう于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角さんかく测量中ちゅう常つね见情况。

参考さんこう文献ぶんけん

外部がいぶ链接

维基共ども享とおる资源上うえ的てき相關そうかん多た媒體ばいたい資源しげん：正弦せいげん

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