三角さんかく多た项式

在ざい数学すうがく中なか，三角さんかく多た项式是ぜ一いち类基于三角さんかく函数かんすう的てき函数かんすう的てき总称。三角多项式是可以表示成有限个正弦せいげん函数かんすうsin(nx) 和わ余弦よげん函数かんすうcos(nx) 的てき和わ的てき函数かんすう，其中的てきx 是ぜ变量，而n 是ぜ一いち个自然しぜん数すう。三角多项式中每一项的系けい数すう可か以是实数或ある者もの复数。如果系けい数すう是ぜ复数的てき话，那な么这个三角多项式是一个傅でん里さと叶かのう级数。

三角多项式在许多数学分支，如数学すうがく分析ぶんせき和わ数かず值分析ぶんせき中ちゅう都と有ゆう应用，例れい如在傅でん里さと叶かのう分析ぶんせき中ちゅう，三角多项式被用于傅里叶级数的表示，在ざい三角さんかく插值法ほう中ちゅう，三角多项式被用于逼近周期しゅうき性せい函数かんすう。

三角多项式一般可以写成

定てい义

一いち个函数すうT如果能のう够写成なり：

$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\mathrm {i} \sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )$

的てき形式けいしき，其中对于所有しょゆう的てき$0\leq n\leq N$，a_n 和わ b_n都みやこ是ただし复数，那な么就称しょう其为N阶复三角さんかく多た项式。运用欧おう拉ひしげ公式こうしき，这个函数かんすう可か以写为：

$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}\qquad (x\in \mathbf {R} ).$

同どう样地，如果对于所有しょゆう的てき$0\leq n\leq N$，a_n 和わb_n都みやこ是ただし实数的てき话，那な么函数すうt

$t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )$

就被称しょうN阶实三角さんかく多た项式。

性せい质

$\scriptstyle \cos n\theta \,$是ぜ关于$\scriptstyle \cos \theta \,$的てきn 次つぎ多た项式。

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,$

实际上じょう，这种多た项式称しょう为第一いち类切きり比ひ雪夫ゆきお多た项式。同どう样地，$\scriptstyle \sin n\theta \,$也是关于$\scriptstyle \cos \theta \,$和わ$\scriptstyle \sin \theta \,$的てきn 次つぎ多た项式，称しょう为第二类切比雪夫多项式。

$\sin(\theta )U_{n}(\cos(\theta ))=\sin((n+1)\theta )\,$

因いん此，一个三角多项式实际上也可以认为是关于三角函数$\scriptstyle \cos \theta \,$和わ$\scriptstyle \sin \theta \,$的てき多た项式。

三角多项式都是周期为$\scriptstyle 2\pi \,$的てき周期しゅうき函数かんすう。同どう时，任にん何なん连续的てき周期しゅうき函数かんすう都と可か以借助じょ于三角多项逼近到任意接近的程度。