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在数学中,三角多项式是一类基于三角函数的函数的总称。三角多项式是可以表示成有限个正弦函数sin(nx) 和余弦函数cos(nx) 的和的函数,其中的x 是变量,而n 是一个自然数。三角多项式中每一项的系数可以是实数或者复数。如果系数是复数的话,那么这个三角多项式是一个傅里叶级数。
三角多项式在许多数学分支,如数学分析和数值分析中都有应用,例如在傅里叶分析中,三角多项式被用于傅里叶级数的表示,在三角插值法中,三角多项式被用于逼近周期性函数。
三角多项式一般可以写成
一个函数T如果能够写成:
![{\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\mathrm {i} \sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1ecd9cb30e2a470fad93bea39c91c673a0b2e6)
的形式,其中对于所有的
,an 和 bn都是复数,那么就称其为N阶复三角多项式[1][2]。运用欧拉公式,这个函数可以写为:
![{\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}\qquad (x\in \mathbf {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ff32e752fc88ed945e924fe8d436254c5afdb7)
同样地,如果对于所有的
,an 和bn都是实数的话,那么函数t
![{\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748ef57021b42ba59c7f002ce88ac77d30da83af)
就被称N阶实三角多项式[2]。
是关于
的n 次多项式。
![{\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2460f206d6dd8c7b96e9fde53e3517e170a7ec25)
实际上,这种多项式称为第一类切比雪夫多项式。同样地,
也是关于
和
的n 次多项式,称为第二类切比雪夫多项式。
![{\displaystyle \sin(\theta )U_{n}(\cos(\theta ))=\sin((n+1)\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c698261a0cef9e5b6ded2306b5ff552401b3be)
因此,一个三角多项式实际上也可以认为是关于三角函数
和
的多项式。
三角多项式都是周期为
的周期函数。同时,任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到任意接近的程度。
- ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR924157
- ^ 2.0 2.1 Powell, Michael J. D., Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, 1981, ISBN 978-0-521-29514-7