数かず值分析ぶんせき

巴ともえ比ひ伦泥板ばん YBC 7289（公おおやけ元もと前ぜん约1800–1600年ねん），泥どろ板ばん上じょう有ゆう根號こんごう2的てき六ろく十じゅう進しん制せい近似きんじ值， $1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421296\ldots$ ，接近せっきん十じゅう進しん制せい根號こんごう2的てき小數しょうすう下か第だい6位い^[1]

数かず值分析ぶんせき（英語えいご：Numerical analysis），是ぜ指ゆび在ざい数学すうがく分析ぶんせき^{[註 1]}问题中ちゅう，对使用しよう数すう值近似きんじ^{[註 2]}算法さんぽう的てき研究けんきゅう。

巴ともえ比ひ伦泥板ばんYBC 7289是ぜ关于数すう值分析ぶんせき的てき最早もはや数学すうがく作品さくひん之の一いち，它给出で了りょう ${\sqrt {2}}$ 在ざい六ろく十じゅう进制下した的てき一个数值逼近， ${\sqrt {2}}$ 是ぜ一いち個こ邊あたり長ちょう為ため1的てき正方形せいほうけい的てき對角線たいかくせん，在ざい西元にしもと前ぜん1800年ねん巴ともえ比倫ひりん人じん也已在ざい巴ともえ比倫ひりん泥どろ板ばん上じょう計算けいさん勾股數すう $(3,4,5)$ ，即そく直角ちょっかく三角形さんかっけい的てき三さん邊へん長ちょう比ひ。

数かず值分析ぶんせき延のべ續ぞく了りょう實務じつむ上じょう數學すうがく計算けいさん的てき傳統でんとう。巴ともえ比倫ひりん人じん利用りよう巴ともえ比ひ伦泥板ばん計算けいさん ${\sqrt {2}}$ 的てき近似きんじ值，而不是ぜ精確せいかく值。在ざい許多きょた實務じつむ的てき問題もんだい中ちゅう，精確せいかく值往往おうおう無法むほう求もとめ得え，或ある是ぜ無法むほう用よう有理數ゆうりすう表示ひょうじ（如 ${\sqrt {2}}$ ）。数かず值分析ぶんせき的てき目的もくてき不在ふざい求もとめ出で正確せいかく的てき答案とうあん，而是在ざい其誤差さ在ざい一合理範圍的條件下找到近似解。

在ざい所有しょゆう工程こうてい及科學かがく的てき領域りょういき中ちゅう都會とかい用よう到いた数かず值分析ぶんせき。像ぞう天體てんたい力學りきがく研究けんきゅう中ちゅう會かい用よう到いた常微分じょうびぶん方かた程ほど，最さい優ゆう化か會かい用よう在ざい投資とうし組合くみあい管理かんり中ちゅう，數かず值線性せい代數だいすう是ぜ資料しりょう分析ぶんせき中ちゅう重要じゅうよう的てき一部いちぶ份，而隨ずい機き微分びぶん方かた程ほど及馬うま可か夫おっと鏈是ぜ在ざい醫藥いやく或ある生物せいぶつ學がく中ちゅう生物せいぶつ細胞さいぼう模擬もぎ的てき基礎きそ。

在ざい電腦でんのう發明はつめい之の前まえ，数かず值分析ぶんせき主要しゅよう是ぜ依よ靠もたれ大型おおがた的てき函數かんすう表ひょう及人工じんこう的てき內插法ほう，但ただし在ざい二に十世紀中被電腦的計算所取代。不ふ過か電腦でんのう的てき內插演算えんざん法ほう仍然是ぜ数すう值分析ぶんせき軟體中ちゅう重要じゅうよう的てき一部いちぶ份。

簡介[编辑]

数かず值分析ぶんせき的てき目的もくてき是ぜ設計せっけい及分析ぶんせき一いち些計算けいさん的てき方式ほうしき，可か針はり對たい一些問題得到近似但夠精確的結果。以下いか是ぜ一些會用利用数值分析處理的問題：

數かず值天氣てんき預あずか報ほう中ちゅう會かい用よう到いた許多きょた先進せんしん的てき数すう值分析ぶんせき方法ほうほう。
計算けいさん太ふと空そら船せん的てき軌跡きせき需要じゅよう求もとめ出で常微分じょうびぶん方かた程ほど的てき數すう值解。
汽車きしゃ公司こうし會かい利用りよう電腦でんのう模擬もぎ汽車きしゃ撞擊來らい提つつみ昇のぼり汽車きしゃ受到撞擊時じ的てき安全あんぜん性せい。電腦でんのう的てき模擬もぎ會かい需要じゅよう求もとめ出で偏へん微分びぶん方かた程ほど的てき數すう值解。
对冲基金ききん會かい利用りよう各種かくしゅ数すう值分析ぶんせき的てき工具こうぐ來らい計算けいさん股また票ひょう的てき市し值及其變異へんい程度ていど。
航空こうくう公司こうし會かい利用りよう複雜ふくざつ的てき最さい佳けい化か演算えんざん法ほう決定けってい票ひょう價か、飛ひ機き、人員じんいん分配ぶんぱい及用油あぶら量りょう。此領域りょういき也稱為ため作業さぎょう研究けんきゅう。
保險ほけん公司こうし會かい利用りよう数すう值軟體たい進行しんこう精算せいさん分析ぶんせき。

直接ちょくせつ法ほう和わ迭代法ほう[编辑]

直接ちょくせつ法ほう和わ迭代法ほう

考慮こうりょ以下いか問題もんだい

3x^{3}+4=28

要求ようきゅう解かい未知數みちすう $x$

直接ちょくせつ法ほう
	$3x^{3}+4=28$
減げん 4	$3x^{3}=24$
除じょ 3	$x^{3}=8$
開立かいりゅう方かた	$x=2$

若わか是ぜ用よう迭代法ほう，可用かよう迭代法ほう求もとめ解かい $f(x)=3x^{3}-24=0$ ，初はつ值為 $a=0$ , $b=3$ , $f(a)=-24$ , $f(b)=57$ 。

迭代法ほう
a	b	中點ちゅうてん	f(中點ちゅうてん)
0	3	1.5	−13.875
1.5	3	2.25	10.17...
1.5	2.25	1.875	−4.22...
1.875	2.25	2.0625	2.32...

計算けいさん到いた目前もくぜん為ため止どめ，問題もんだい的てき解かい是ぜ界かい於1.875及2.0625之これ間あいだ，若わか繼續けいぞく往下算さん，可か以得到いた更さら精確せいかく的てき答案とうあん。

直接ちょくせつ法ほう利用りよう固定こてい次數じすう的てき步ふ驟求出で問題もんだい的てき解かい。這些方式ほうしき包括ほうかつ求もとめ解かい线性方かた程ほど组的てき高こう斯消去しょうきょ法ほう及QR演算えんざん法ほう（英えい语：QR algorithm），求もとめ解かい線せん性せい規ぶんまわし劃的てき单纯形がた法ほう等ひとし。若わか利用りよう無限むげん精度せいど算術さんじゅつ的てき計算けいさん方式ほうしき，有ゆう些問題もんだい可か以得到いた其精確かく的てき解かい。不ふ過か有ゆう些問題もんだい不ふ存在そんざい解析かいせき解かい（如五ご次じ方かた程ほど），也就無法むほう用よう直接ちょくせつ法ほう求もとめ解かい。在ざい電腦でんのう中ちゅう會かい使用しよう浮點數すう進行しんこう運算うんざん，在ざい假設かせつ運算うんざん方式ほうしき稳定的てき前提ぜんてい下か，所しょ求もとめ得とく的てき結果けっか可か以視為ため是ぜ精確せいかく解かい的てき近似きんじ值。

迭代法ほう是ぜ通過つうか從したがえ一個初始估計出發尋找一系列近似きんじ解かい來らい解決かいけつ問題もんだい的てき數學すうがく過程かてい。和わ直接ちょくせつ法ほう不同ふどう，用よう迭代法ほう求もとめ解かい問題もんだい時じ，其步驟沒有ゆう固定こてい的てき次數じすう，而且只ただ能のう求もとめ得え問題もんだい的てき近似きんじ解かい，所しょ找到的てき一いち系列けいれつ近似きんじ解かい會かい收おさむ敛到いた問題もんだい的てき精確せいかく解かい。會かい利用りよう審しん斂法來らい判別はんべつ所得しょとく到いた的てき近似きんじ解かい是ぜ否ひ會かい收斂しゅうれん。一般いっぱん而言，即そく使つかい使用しよう無限むげん精度せいど算術さんじゅつ的てき計算けいさん方式ほうしき，迭代法ほう也無法ほう在ざい有限ゆうげん次數じすう內得到いた問題もんだい的てき精確せいかく解かい。

在ざい數すう值分析ぶんせき中ちゅう用もちい到いた迭代法的ほうてき情じょう形がた會かい比ひ直接ちょくせつ法要ほうよう多た。例れい如像牛うし頓ひたぶる法ほう、二分にぶん法ほう、雅みやび可か比ひ法ほう、廣義こうぎ最小さいしょう殘ざん量りょう方法ほうほう（GMRES）及共軛きょうやく梯はしご度ど法ほう等ひとし。在ざい計算けいさん矩のり陣じん代數だいすう中ちゅう，大型おおがた的てき問題もんだい一般會需要用迭代法來求解。

離散りさん化か[编辑]

許多きょた時候じこう需要じゅよう將しょう連續れんぞく模型もけい的てき問題もんだい轉換てんかん為ため一いち個こ離散りさん形式けいしき的てき問題もんだい，而離散りさん形式けいしき的てき解かい可か以近似きんじ原ばら來らい的てき連續れんぞく模型もけい的てき解かい，此轉換てんかん過程かてい稱たたえ為ため離散りさん化か。例れい如求一個函數的積分是一個連續模型的問題，也就是ぜ求もとめ一曲線以下的面積若將其離散化變成數かず值積分ぶん，就變成へんせい將はた上述じょうじゅつ面積めんせき用よう許多きょた較簡單かんたん的てき形狀けいじょう（如長方形ちょうほうけい、梯形ていけい）近似きんじ，因いん此只要求ようきゅう出で這些形狀けいじょう的てき面積めんせき再さい相あい加か即そく可か。

例れい如在二小時的賽車比賽中，記錄きろく了りょう三個不同時間點的賽車速度，如下表ひょう

時間じかん	0:20	1:00	1:40
km/h	140	150	180

利用りよう離散りさん化か的てき方式ほうしき，可か以假設かせつ賽さい車しゃ在ざい0:00到いた0:40之これ間あいだ的てき速度そくど、0:40到いた1:20之これ間あいだ的てき速度そくど及1:20到いた2:00之これ間あいだ的てき速度そくど分別ふんべつ為ため三さん個こ定じょう值，因いん此前40分ふん鐘かね的てき總そう位い移うつり可か近似きんじ為ため( ${\frac {2}{3}}$ h × 140 km/h) = 93.3 公里くり。可か依よ此方こちら式しき近似きんじ二小時內的總位移為93.3 公里くり + 100 公里くり + 120 公里くり = 313.3 公里くり。位い移うつり是ぜ速度そくど的てき積分せきぶん，而上述じょうじゅつ的てき作法さほう是ぜ用よう黎はじむ曼和進行しんこう數すう值積分ぶん的てき一いち個こ例れい子こ。

誤差ごさ的てき產さん生せい及傳播でんぱ[编辑]

誤差ごさ是ぜ数すう值分析ぶんせき的てき重要じゅうよう主題しゅだい之の一いち。誤差ごさ的てき形成けいせい可分かぶん為ため幾いく種しゅ不同ふどう的てき原因げんいん。

捨入誤差ごさ[编辑]

當とう進行しんこう數すう值分析ぶんせき的てき設備せつび只ただ能のう用よう有限ゆうげん位い數すう來らい表示ひょうじ一いち個こ實數じっすう時とき，就會出現しゅつげん捨入誤差ごさ（Round-off error），例れい如用可か顯示けんじ十じゅう位い數字すうじ的てき計算けいさん器き計算けいさん ${\frac {1}{3}}$ ，所得しょとく到いた的てき結果けっか0.333333333，和わ實際じっさい數すう值的誤差ごさ就是捨入誤差ごさ。即そく使つかい進行しんこう數すう值分析ぶんせき的てき設備せつび用よう浮點數すう來らい表示ひょうじ實數じっすう，仍無法ほう完全かんぜん避免捨入誤差ごさ的てき問題もんだい。

截尾及離散りさん化か誤差ごさ[编辑]

若わか迭代法的ほうてき数すう值分析ぶんせき算さん到いた某ぼう一いち程度ていど就中なかんずく止とめ計算けいさん，或ある是ぜ使用しよう一些近似的數學程序，程ほど序じょ所得しょとく結果けっか和かず精きよし準じゅん解かい不同ふどう，就會出現しゅつげん截尾誤差ごさ（英えい语：Truncation_error）。將はた問題もんだい離散りさん化か後ご，由ゆかり於離散りさん化か問題もんだい的てき解かい不ふ會かい和わ原ばら問題もんだい的てき解かい完全かんぜん一いち様よう，因いん此會出現しゅつげん離散りさん化か誤差ごさ（英えい语：discretization error）。例れい如用迭代法ほう計算けいさん $3x^{3}+4=28$ 的てき解かい，在ざい計算けいさん幾いく次じ後ご認みとめ為ため其解為ため1.99，就會有ゆう0.01的てき截尾誤差ごさ。

一旦いったん有ゆう了りょう誤差ごさ，誤差ごさ就會藉著計算けいさん繼續けいぞく的てき擴散かくさん。例れい如一個計算機中的加法是不準的，則のり $a+b+c+d+e$ 的てき計算けいさん也一定いってい不ふ準じゅん。例れい如剛剛つよし計算けいさん $3x^{3}+4=28$ 的てき解かい為ため1.99，若わか後續こうぞく的てき運算うんざん需要じゅよう用よう到いた $3x^{3}+4=28$ 的てき解かい，用もちい1.99代入だいにゅう所得しょとく的てき結果けっか也會不ふ準じゅん。

當用とうよう近似きんじ的てき方式ほうしき處理しょり數學すうがく式しき時じ就會出現しゅつげん截尾誤差ごさ。以積分ぶん為ため例れい，完全かんぜん精せい準じゅん的てき積分せきぶん需要じゅよう求もとめ出で曲線きょくせん下方かほう無限むげん個こ梯形ていけい的てき面積めんせき和わ，但ただし用もちい在ざい數すう值分析ぶんせき中ちゅう會かい用よう有限ゆうげん個こ梯形ていけい的てき面積めんせき和わ來らい近似きんじ無限むげん個こ梯形ていけい的てき面積めんせき和わ，此時就會出現しゅつげん截尾誤差ごさ。若わか要よう對たい一いち個こ函數かんすう進行しんこう微分びぶん，其微分量ぶんりょう需要じゅよう趨近於0，但ただし實務じつむ上じょう只ただ能のう選擇せんたく很小的てき微分びぶん量りょう。

數かず值穩定性ていせい及良置おけ問題もんだい[编辑]

非ひ良りょう置おけ問題もんだい：考慮こうりょ一いち函數かんすう $f(x)={\frac {1}{(x-1)}}$ ， $f(1.1)=10$ ， $f(1.001)=1000$ 。當とう $x$ 只ただ改變かいへん小しょう於0.1的てき數すう值， $f(x)$ 的てき變化へんか將はた近きん1000。因よし此在 $x=1$ 的てき附近ふきん計算けいさん $f(x)$ 是ぜ一個非良置的問題。良りょう置おけ問題もんだい：相反あいはん的てき，函數かんすう $f(x)={\sqrt {x}}$ 在ざい $x$ 不ふ接近せっきん0時じ，其值的てき計算けいさん就是一いち個こ良りょう置おけ的てき問題もんだい。

數かず值穩定性ていせい是ぜ數すう值分析ぶんせき中ちゅう一いち個こ重要じゅうよう的てき主題しゅだい。若わか一演算法中不論什麼原因產生了誤差，此誤差さ不ふ會かい在ざい運算うんざん中ちゅう明あかり顯あらわ增加ぞうか，此演算法さんぽう為ため數すう值穩定じょう的てき演算えんざん法ほう。若わか問題もんだい為ため良りょう置おけ（well-conditioned）的てき，就會符合ふごう上述じょうじゅつ的てき特性とくせい，也就是ぜ問題もんだい數すう據よりどころ微小びしょう的てき變化へんか只ただ會かい造成ぞうせい其解的てき微小びしょう變化へんか。相反あいはん的てき，若わか問題もんだい數すう據よりどころ微小びしょう的てき變化へんか會かい造成ぞうせい其解的てき巨きょ大變たいへん化か，會かい稱しょう問題もんだい為ため非ひ良りょう置おけ或ある病態びょうたい（ill-conditioned）。

原始げんし問題もんだい及求解かい問題もんだい演算えんざん法ほう都と可か以分為ため良りょう置おけ及非良りょう置おけ，任にん何なん的てき組合くみあい都と是ぜ允許いんきょ的てき。

一個求解良置問題的演算法可能是數值穩定的，也可能かのう是ぜ數すう值不穩定的てき。數かず值分析ぶんせき的てき重點じゅうてん就是找到適てき定性ていせい問題もんだい的てき數すう值穩定てい演算えんざん法ほう。例れい如，計算けいさん2的てき平方根へいほうこん（大約たいやく是ぜ1.41421）本身ほんみ是ぜ一いち個こ適てき定性ていせい問題もんだい。許多きょた求もとめ解かい的てき演算えんざん法ほう都と是ぜ從したがえ一個初始的近似值 $x_{1}$ 開始かいし去さ求もとめ解かい，例れい如 $x_{1}=1.4$ ，再さい繼續けいぞく計算けいさん $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 等ひとし。巴ともえ比倫ひりん法ほう就是一個具有此特性的演算法。另一いち個こ方法ほうほう，先さき稱しょう之の為ためX方法ほうほう，演算えんざん法ほう為ため $x_{k+1}=({x_{k}}^{2}-2)^{2}+x_{k}$ ^{[註 3]}。以下いか分別ふんべつ用よう初はつ始はじめ值 $x_{1}=1.4$ 及 $x_{1}=1.42$ ，用もちい二種方式進行幾次迭代。

巴ともえ比倫ひりん法ほう	巴ともえ比倫ひりん法ほう	X方法ほうほう	X方法ほうほう
$x_{1}=1.4$	$x_{1}=1.42$	$x_{1}=1.4$	$x_{1}=1.42$
$x_{2}=1.4142857\ldots$	$x_{2}=1.41422535\ldots$	$x_{2}=1.4016$	$x_{2}=1.42026896$
$x_{3}=1.414213564\ldots$	$x_{3}=1.41421356242\ldots$	$x_{3}=1.4028614\ldots$	$x_{3}=1.42056\ldots$
		...	...
		$x_{1000000}=1.41421\ldots$	$x_{28}=7280.2284\ldots$

可か觀察かんさつ到いた不ふ論ろん初はつ始はじめ值多少たしょう，巴ともえ比倫ひりん法ほう都と可か以快速そく的てき收斂しゅうれん，但ただしX方法ほうほう在ざい初はつ始はじめ值為1.4時じ收斂しゅうれん的てき很慢，在ざい初はつ始はじめ值為1.42時じX方法ほうほう會かい發散はっさん。因よし此巴比倫ひりん法ほう是ぜ數すう值穩定じょう的てき方法ほうほう，而X方法ほうほう是ぜ數すう值不穩定的てき方法ほうほう。

领域研究けんきゅう[编辑]

數かず值分析依其待求もとめ解かい的てき問題もんだい不同ふどう，分ふん為ため不同ふどう的てき領域りょういき。

內插法ほう：假設かせつ一いち點てん鐘かね的てき氣溫きおん為ため20度ど，三さん點てん鐘がね時じ為ため14度ど，可か以用線せん性せい內插法ほう推測すいそく一點半及二點鐘時的氣溫分別是18.5度ど及17度ど。外そと推法：假設かせつ某ぼう國家こっか國こく內生產せいさん總そう值平均へいきん每年まいとし成長せいちょう百ひゃく分ふん之の五ご，去年きょねん國こく內生產せいさん總そう值為一いち百ひゃく萬まん元げん，可か推測すいそく今年ことし的てき國こく內生產せいさん總そう值為一いち百ひゃく零れい五ご萬まん元げん。 A line through 20 points 回歸かいき分析ぶんせき：給きゅう定じょう幾いく個こ二維座標上的點，回歸かいき分析ぶんせき就是設しつらえ法ほう找到一條最接近這些點的直線。每まい杯はい飲料いんりょう要よう多少たしょう錢ぜに呢？最さい佳けい化か：有ゆう一個賣飲料的小販，若わか每ごと杯はい飲料いんりょう100元げん，每まい天てん可か以賣197杯はい飲料いんりょう，若わか飲料いんりょう單價たんか增加ぞうか1元げん，每まい天てん就會少しょう賣うれ1杯はい飲料いんりょう。飲料いんりょう定價ていか為ため148.5元げん時じ，其每天てん的てき收入しゅうにゅう為ため最大さいだい值。不ふ過か由よし於飲料りょう單價たんか需為正せい整數せいすう，因いん此飲料りょう定價ていか可か定てい為ため149元げん，對應たいおう每ごと天てん的てき收入しゅうにゅう為ため22,052元げん。圖ず中ちゅう藍色あいいろ的てき是ぜ風ふう的てき方向ほうこう，黑色こくしょく的てき是ぜ實際じっさい軌跡きせき，紅色こうしょく的てき是ぜ欧おう拉ひしげ方法ほうほう所得しょとく的てき結果けっか微分びぶん方かた程ほど：假設かせつ在ざい一房間中的不同位置放置一百個風扇，然しか後ご在房ありふさ間あいだ中ちゅう放置ほうち一いち根ね羽毛うもう，羽毛うもう會かい依よ房間ふさま中ちゅう氣流きりゅう而移動いどう，而房間あいだ中ちゅう的てき氣流きりゅう可能かのう相當そうとう複雜ふくざつ。不ふ過か每まい一秒量測一次羽毛附近空氣的速度，假設かせつ羽毛うもう下か一秒是等速的直線運動，即そく可か求もとめ得とく下か一いち秒びょう時じ羽毛うもう的てき位置いち，再さい量りょう測はか當時とうじ羽毛うもう附近ふきん空氣くうき的てき速度そくど，……。這種方法ほうほう稱たたえ為ため欧おう拉ひしげ方法ほうほう，常つね使用しよう在ざい常微分じょうびぶん方かた程ほど的てき數すう值分析ぶんせき。

函數かんすう求もとめ值[编辑]

数かず值分析ぶんせき中ちゅう最さい簡單かんたん的てき問題もんだい就是求もとめ出で函數かんすう在ざい某ぼう一特定數值下的值。最さい直覺ちょっかく的てき方法ほうほう是ぜ將しょう數すう值代入だいにゅう函數かんすう中ちゅう計算けいさん，不ふ過か有ゆう時じ此方こちら式しき的てき效率こうりつ不ふ佳けい。像ぞう針はり對たい多項式たこうしき函數かんすう的てき求もとめ值，較有效率こうりつ的てき方式ほうしき是ぜ秦はた九きゅう韶算法ほう，可か以減少げんしょう乘法じょうほう及加法的ほうてき次數じすう。若わか是ぜ使用しよう浮点数すう，很重要じゅうよう的てき是ぜ是ぜ估計及控制せい捨入誤差ごさ。

內插法ほう、外そと推法、曲線きょくせん擬なずらえ合あい及回歸かいき[编辑]

內插法ほう求もとめ解かい以下いか的てき問題もんだい：有ゆう一未知函數在一些特定位置下的值，求もとめ未知みち函數かんすう在ざい已やめ知ち數すう值的點てん之の間あいだ某ぼう一いち點てん的てき值。

外そと推法類似るいじ內插法ほう，但ただし需要じゅよう知道ともみち數すう值的點てん是ぜ在ざい其他已やめ知ち數すう值點的てき範圍はんい以外いがい。一般而言外推法的誤差會大於內插法。

曲線きょくせん擬なずらえ合あい是ぜ在ざい已やめ知ち一いち些數據よりどころ的てき條件下じょうけんか，找到一條曲線完全符合現有的數據，數すう據よりどころ可能かのう是ぜ一些特定位置及其對應的值，也可能かのう是ぜ其他資料しりょう，例れい如角度ど或ある曲きょく率りつ等とう。

回歸かいき分析ぶんせき類似るいじ曲線きょくせん擬なずらえ合あい，也是根據こんきょ一些特定位置及其對應的值，要よう找到對應たいおう曲線きょくせん。但ただし回歸かいき分析ぶんせき考慮こうりょ到いた數かず據よりどころ可能かのう有ゆう誤差ごさ，因いん此所得しょとく的てき曲線きょくせん不ふ需要じゅよう和わ數すう據よりどころ完全かんぜん符合ふごう。一般いっぱん會かい使用しよう最小さいしょう方かた差さ法ほう來らい進行しんこう回歸かいき分析ぶんせき。

求もとめ解方ときかた程ほど及方程ほど組ぐみ[编辑]

另一种常見的問題是求特定方程式的解。首くび先さき會かい依よ方程式ほうていしき是ぜ否ひ線せん性せい來らい區分くぶん，例れい如方程式ほうていしき $2x+5=3$ 是ぜ線せん性せい方程式ほうていしき，而 $2x^{2}+5=3$ 是非ぜひ線せん性せい方程式ほうていしき。

此領域りょういき許多きょた的てき研究けんきゅう都和つわ求もとめ解かい線せん性せい方かた程ほど組ぐみ有ゆう關せき。直接ちょくせつ法ほう是ぜ線せん性せい方かた程ほど組ぐみ的てき係數けいすう以矩のり陣じん來らい表示ひょうじ，再さい利用りよう矩のり陣じん分解ぶんかい的てき方式ほうしき求もとめ解かい，這些方法ほうほう包括ほうかつ高こう斯消去しょうきょ法ほう、LU分解ぶんかい，對たい於對稱たいしょう矩のり陣じん（或ある埃ほこり爾なんじ米まい特とく矩のり陣じん）及正せい定てい矩のり陣じん可か以用喬たかし萊斯基もと分解ぶんかい（英えい语：Cholesky decomposition），非ひ方陣ほうじん的てき矩のり陣じん則のり可か以用QR分解ぶんかい。迭代法ほう包括ほうかつ有ゆう雅みやび可か比ひ法ほう、高こう斯–塞ふさが德とく迭代法ほう、逐次ちくじ超ちょう松まつ驰法（英えい语：successive over-relaxation）（SOR）及共きょう轭梯度ど法ほう，一般會用在大型的線性方程組中。

求根きゅうこん演算えんざん法ほう是ぜ要よう解かい一いち非ひ線せん性せい方かた程ほど，其名稱めいしょう是ぜ因いん為ため函數かんすう的てき根ね就是使し其值為ため零れい的てき點てん。若わか函數かんすう本身ほんみ可か微ほろ且其導しるべ數すう是ぜ已やめ知的ちてき，可か以用牛うし頓ひたぶる法ほう求もとめ解かい，其他的てき方法ほうほう包括ほうかつ二分にぶん法ほう、割わり線せん法ほう等ひとし。線せん性せい化か則のり是ぜ另一種求解非線性方程的方法。

求もとめ解かい特徵とくちょう值或奇異きい值問題もんだい[编辑]

許多きょた重要じゅうよう的てき問題もんだい可か以用奇異きい值分解ぶんかい或ある特徵とくちょう分解ぶんかい來らい表示ひょうじ。例れい如有些图像压缩演算えんざん法ほう^[2]就是以奇異い值分解ぶんかい為ため基礎きそ。統計とうけい學がく中ちゅう對應たいおう的てき工具こうぐ稱たたえ為ため主成分しゅせいぶん分析ぶんせき。

最さい优化[编辑]

最さい优化問題もんだい的てき目的もくてき是ぜ要よう找到使し特定とくてい目標もくひょう函數かんすう有ゆう最大さいだい值（或ある最小さいしょう值）的てき點てん，一般而言這個點需符合一些約束やくそく。

依よ目標もくひょう函數かんすう及約束やくそく條件じょうけん的てき不同ふどう，最さい佳けい化か又また可か以再細分さいぶん：例れい如線せん性せい規ぶんまわし劃處理しょり目標もくひょう函數かんすう及約束やくそく條件じょうけん均ひとし為ため線せん性的せいてき情じょう形がた，常用じょうよう單純たんじゅん形がた法ほう來らい求もとめ解かい。若わか目標もくひょう函數かんすう及約束やくそく條件じょうけん其中有ちゅうう一いち項こう為ため非ひ線せん性せい，就是非ひ線せん性せい規ぶんまわし劃的てき範圍はんい。

有ゆう約束やくそく條件じょうけん的てき問題もんだい可か以利用りよう拉ひしげ格かく朗ろう日び乘数じょうすう轉換てんかん為ため沒ぼつ有ゆう約束やくそく條件じょうけん的てき問題もんだい。

積分せきぶん計算けいさん[编辑]

數かず值積分ぶん的てき目的もくてき是ぜ在ざい求もとめ一いち定てい積分せきぶん的てき值。一般いっぱん常用じょうよう牛うし頓ひたぶる－寇次公式こうしき，包括ほうかつ辛からし普ひろし森もり積分せきぶん法ほう、高こう斯求積せき等ひとし。上述じょうじゅつ方式ほうしき是ぜ利用りよう分ぶん治ち法ほう來らい處理しょり積分せきぶん問題もんだい，也就是ぜ將はた大だい範圍はんい的てき積分せきぶん切きり割わり成なり許多きょた小しょう範圍はんい的てき積分せきぶん，再さい進行しんこう計算けいさん。不ふ過か在高ありだか維度時じ，上述じょうじゅつ作法さほう可能かのう會かい因いん為ため要作ようさく許多きょた的てき計算けいさん而變得とく不ふ實用じつよう（也就是ぜ維數之の咒所ところ描述的てき情じょう形がた），此時可か以採用さいよう蒙こうむ地ち卡羅方法ほうほう或ある半はん蒙こうむ地ち卡羅方法ほうほう。（可か參照さんしょう蒙こうむ地ち卡羅積分せきぶん，或ある是ぜ適用てきよう於高維度的てき稀まれ疏网格かく法ほう。）

微分びぶん方かた程ほど[编辑]

数かず值分析也會かい用よう近似きんじ的てき方式ほうしき計算けいさん微分びぶん方かた程ほど的てき解かい，包括ほうかつ常微分じょうびぶん方かた程ほど及偏へん微分びぶん方かた程ほど。

常微分じょうびぶん方かた程ほど的てき數すう值方法ほう（英えい语：Numerical methods for ordinary differential equations）往往おうおう會かい使用しよう迭代法ほう，已やめ知ち曲線きょくせん的てき一いち點てん，設しつらえ法ほう算出さんしゅつ其斜率りつ，找到下か一いち點てん，再さい推出下か一いち點てん的てき資料しりょう。歐おう拉ひしげ方法ほうほう是ぜ其中最さい簡單かんたん的てき方式ほうしき，較常使用しよう的てき是ぜ龍りゅう格かく－庫こ塔とう法ほう。

偏へん微分びぶん方かた程ほど數すう值方法ほう一般いっぱん都會とかい先さき將はた問題もんだい離散りさん化か，轉換てんかん成なり有限ゆうげん元素げんそ的てき次つぎ空間くうかん。可か以透過とうか有限ゆうげん元素げんそ法ほう、有限ゆうげん差分さぶん法ほう及有限ゆうげん體積たいせき法ほう，這些方法ほうほう可か將はた偏へん微分びぶん方かた程ほど轉換てんかん為ため代數だいすう方かた程ほど，但ただし其理論ろん論證ろんしょう往往おうおう和わ泛函分析ぶんせき的てき定理ていり有ゆう關せき。另一種偏微分方程的数值分析解法則是利用離散りさん傅でん立葉たてば變換へんかん或ある快速かいそく傅でん立葉たてば變換へんかん。

軟體[编辑]

20世紀せいき末まつ，大部おおぶ份数值分析ぶんせき的てき演算えんざん法ほう都と已やめ用よう許多きょた不同ふどう的てき程ほど式しき語ご言げん實現じつげん。Netlib（英えい语：Netlib）软件库包含ほうがん了りょう許多きょた数すう值分析ぶんせき演算えんざん法的ほうてき程ほど式しき，大部おおぶ份是Fortran及C語ご言げん的てき程ほど式しき。商業しょうぎょう產品さんぴん也實なりみ現げん了りょう許多きょた不同ふどう的てき数すう值分析ぶんせき演算えんざん法ほう，包括ほうかつ國際こくさい數學すうがく及統計けい程ほど序じょ庫こ數字すうじ型がた檔及英えい商しょう纳格资讯（英えい语：Numerical Algorithms Group）软件库，GNU科学かがく数すう值库則のり是ぜ自由じゆう軟體的てき数すう值分析ぶんせき演算えんざん法ほう软件库。

数かず值分析ぶんせき的てき商用しょうよう應用おうよう程ほど式しき包括ほうかつMATLAB、S-PLUS（英えい语：S-PLUS）、LabVIEW及IDL等ひとし，自由じゆう軟體或ある開源かいげん軟體的てき数すう值分析ぶんせき應用おうよう程ほど式しき則のり包括ほうかつFreeMat、Scilab、GNU Octave （類似るいじMatlab）、IT++（C++函はこ式しき庫こ連れん library）、R語ご言げん（類似るいじS-PLUS）及一些Python的てき衍生版本はんぽん。各かく應用おうよう程ほど式しき的てき性能せいのう有ゆう很大的てき差異さい：一般而言向量及矩陣的運算都很快，而各應用おうよう程ほど式しき純量じゅんりょう運算うんざん的てき速度そくど差異さい則そく可能かのう會かい超過ちょうか10倍ばい以上いじょう^[3]^[4]。

許多きょた計算けいさん機き代數だいすう系統けいとう的てき軟體（像ぞうMathematica及Maple）由ゆかり於使用しよう無限むげん精度せいど算術さんじゅつ的てき計算けいさん方式ほうしき，可か以得到いた比ひ一般軟體更準確的結果。

電子でんし試算しさん表ひょう的てき軟體也可以處理しょり一部份簡單的數值分析問題。

註解ちゅうかい[编辑]

^ 区く别于离散数学すうがく
^ 相あい对于一般いっぱん化か的てき符号ふごう运算
^ 這是一いち個こ針はり對たい方程式ほうていしき $x=(x^{2}-2)^{2}+x=f(x)$ 的てき定点ていてん迭代法ほう（英えい语：fixed point iteration），其解包括ほうかつ ${\sqrt {2}}$ 。由よし於 $f(x)\geq x$ ，每次まいじ迭代會かい使し數すう值增加ぞうか，因いん此 $x_{1}=1.4<{\sqrt {2}}$ 會かい收斂しゅうれん，而 $x_{1}=1.42>{\sqrt {2}}$ 會かい發散はっさん。