计算几何

计算几何是ぜ一门兴起于二に十じゅう世せい纪七なな十じゅう年代ねんだい末すえ的てき计算机つくえ科学かがく的てき一いち个分支ささえ，主要しゅよう研究けんきゅう解かい决几何なん问题的てき算法さんぽう。

自じ从1946年ねん世界せかい上じょう第だい一台电子计算机问世以来，计算机つくえ应用的てき一个重要里程碑是1962年ねん美国びくに麻あさ省しょう理工りこう学院がくいん发明了りょう世界せかい上じょう第だい一いち台だい图形显示器き。自じ此之后きさき，计算机つくえ可か以透过图形がた显示器き直接ちょくせつ输入、输出图形，并且可か以在显示屏へい上じょう透過とうか游ゆう标的移うつり动，直接ちょくせつ修おさむ改あらため图形。而在这之前まえ，工程こうてい师是透とおる过一厚叠纸上密密麻麻的数字来间接表达工程图形的。

1962年ねん被ひ认为是ぜ美国びくに和わ欧おう洲しゅうCADきゃど开始发展的てき一いち年ねん。首くび先さき的てき应用领域是ぜ汽车、飛ひ機き和わ造船ぞうせん工こう业。这3个行业，由ゆかり于其产品的てき外形がいけい曲面きょくめん特とく别复杂，要求ようきゅう特とく别苛刻こく，而成为CADきゃど首くび先さき应用的てき领域。

与あずか此同时，也就发展出で了りょう一门新兴学科——计算几何，它在美国びくに常常つねづね被ひ称しょう为CAGD（Computer Aided Geometric Design，计算机つくえ辅助几何设计），专门研究けんきゅう“几何图形信しん息いき（曲面きょくめん和わ三さん维实体たい）的てき计算机つくえ表示ひょうじ、分析ぶんせき、修おさむ改あらため和わ综合”。1972年ねん在ざい美国びくに举行CAGD第だい一次国际会议，标志计算几何学科がっか的てき形成けいせい。

计算几何算法さんぽう[编辑]

判断はんだん点てん是ぜ否いや在ざい直ちょく线上
判断はんだん两线段だん是ぜ否ひ相しょう交
判断はんだん线段和かず直ただし线是否ひ相しょう交
判断はんだん点てん是ぜ否いや在ざい矩形くけい内ない
判断はんだん线段、折おり线、多た边形是ぜ否いや在ざい矩形くけい内ない
判断はんだん矩形くけい是ぜ否いや在ざい矩形くけい内ない
判断はんだん圆是否いや在ざい矩形くけい内ない
判断はんだん矩形くけい是ぜ否いや在ざい圆内
判断はんだん点てん是ぜ否いや在ざい多た边形内ない
判断はんだん线段是ぜ否いや在ざい多た边形内ない
判断はんだん点てん是ぜ否いや在ざい圆内
判断はんだん圆是否いや在ざい圆内
计算相しょう交多边形的てき重じゅう叠区域くいき
计算点てん到いた线段的てき最近さいきん点てん
计算点てん到いた圆的最近さいきん点てん及点坐すわ标
凸とつ包つつみ求法ぐほう等とう

算法さんぽう介かい绍[编辑]

矢や量りょう概念がいねん[编辑]

如果把わ一条线段的端点作出次序之分，则可将はた这种线段看み作さく有向ゆうこう线段。如果有向ゆうこう线段 $P_{1}P_{2}$ 的てき起点きてん $P_{1}$ 在ざい坐すわ标原点てん，则把它称为矢量りょう ${\boldsymbol {P}}_{2}$ 。这样，点てん $P(x,y)$ 可か以看作さく起点きてん为原点てん $O(0,0)$ 的てき二に维矢量りょう。相あい应地，三维空间坐标系下的坐标也可以作类似理解为三维矢量。

设二に维矢量りょう ${\boldsymbol {P}}=(x_{1},y_{1}),{\boldsymbol {Q}}=(x_{2},y_{2})$ ，则矢量的りょうてき加か法定ほうてい义为 ${\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ ，矢や量的りょうてき减法定ほうてい义为 ${\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$ 。矢や量的りょうてき加か减法有ゆう以下いか性せい质： ${\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {Q}}+{\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {P}}-{\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {P}})$ 。因よし为点可か视为坐标原点てん至いたり该点的矢まとや量りょう，所以ゆえん点てん的てき加か减法就是矢や量的りょうてき加か减法。

矢や量的りょうてき叉また积[编辑]

矢や量的りょうてき叉また积，也称矢や量的りょうてき叉また乘じょう。矢や量りょう ${\boldsymbol {P}}$ 与あずか ${\boldsymbol {Q}}$ 的てき叉また乘じょう记作 ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}$ 。定てい义 ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$ ，其结果はて是ぜ一いち个标量りょう。几何意い义为由よし原点げんてん、点てん $P$ 、点てん $Q$ 、点てん $P+Q$ 四点共同组成的平行四边形的面积（带正负号）。计算矢や量りょう叉また积是直ちょく线和线段相しょう关算法的ほうてき核心かくしん。矢や量的りょうてき叉また积有以下いか性せい质： ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=-({\boldsymbol {Q}}\times {\boldsymbol {P}}),{\boldsymbol {P}}\times (-{\boldsymbol {Q}})=-({\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}})$ 。

叉また乘じょう的てき一个非常重要的性质是，可か以通过它的てき正せい负号判断はんだん两矢量りょう之の间的顺逆时针关系：

若わか ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}>0$ ，则 ${\boldsymbol {P}}$ 在ざい ${\boldsymbol {Q}}$ 的てき顺时针方向ほうこう(左ひだり旋)；
若わか ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}<0$ ，则 ${\boldsymbol {P}}$ 在ざい ${\boldsymbol {Q}}$ 的てき逆ぎゃく时针方向ほうこう(右みぎ旋）；
若わか ${\boldsymbol {P}}\times {\boldsymbol {Q}}=0$ ，则 ${\boldsymbol {P}}$ 和わ ${\boldsymbol {Q}}$ 共きょう线，可能かのう同どう向こう也可能かのう反はん向むこう。

算法さんぽう举例[编辑]

判断はんだん折おり线段的てき拐向[编辑]

折おり线段的てき拐向判断はんだん方法ほうほう可か以直接ちょくせつ由よし矢や量りょう叉また积的性せい质推出で。对于有ゆう公共こうきょう端点たんてん的てき线段 $AP$ 和わ $PB$ ，通つう过计算さん $\nabla =(B-P)\times (P-A)$ 的てき符号ふごう，就可以确定てい折おり线的拐向：