克利かつとし福德ふくとく代数だいすう

數學すうがく上うえ，克利かつとし福德ふくとく代数だいすう（Clifford algebra）是ぜ由よし具有ぐゆう二に次じ型がた的てき向むかい量りょう空間くうかん生成せいせい的てき單位たんい結合けつごう代數だいすう。作為さくい域いき上じょう的てき代數だいすう，其推廣ひろ實數じっすう系けい、複數ふくすう系けい、四よん元げん數すう系けい等ひとし超ちょう複數ふくすう系けい，以及外そと代数だいすう。此代このしろ數すう結構けっこう得とく名めい自じ英國えいこく數學すうがく家か威い廉かど·金きん顿·克利かつとし福德ふくとく。

研究けんきゅう克かつ里さと福代ふくしろ数すう的てき理論りろん有ゆう時じ也稱為ため克かつ里さと福代ふくしろ數すう，其與二に次じ型がた論ろん和わ正せい交群理論りろん緊密きんみつ聯れん繫。其在几何、理論りろん物理ぶつり、數かず碼圖像ぞう處理しょり中有ちゅうう很多应用。其主要よう贡献者しゃ有ゆう：威い廉かど·哈密顿（四よん元げん数すう），赫尔曼·格かく拉ひしげ斯曼（外そと代数だいすう），威い廉かど·金きん顿·克利かつとし福德ふくとく，David Hestenes等ひとし。

最さい常見つねみ的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう是ぜ正せい交克里さと福代ふくしろ數すう，又また稱たたえ（偽にせ）黎はじむ曼克里さと福代ふくしろ數すう。另一類るい是ぜ扭對稱たいしょう克かつ里さと福代ふくしろ數すう。

定義ていぎ及基本きほん性質せいしつ

設しつらえ有ゆう域いき$K$上うえ的てき向むかい量りょう空間くうかん$V$，且其上じょう有ゆう二に次じ型がた$Q:V\to K$。克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} (V,Q)$是ぜ由ゆかり$V$生成せいせい的てき「最さい自由じゆう」的てき單位たんい結合けつごう代數だいすう，但ただし須滿足まんぞく

$v^{2}=Q(v)1\quad \forall v\in V,$

其中左邊さへん的てき平方へいほう是ぜ該代數すう中ちゅう的てき乘法じょうほう，而右邊べ的てき$1$為ため其乘法じょうほう單位たんい元もと。所謂いわゆる「最さい自由じゆう」，可か以用泛性質せいしつ嚴格げんかく定義ていぎ，詳しょう見み下した節ぶし。

若わか$V$為ため有限ゆうげん維實向むこう量りょう空間くうかん，且$Q$非ひ退化たいか，则$\mathrm {Cl} (V,Q)$可か記き為ため$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$，表示ひょうじ$V$有ゆう一いち組くみ正せい交基，其中$p$個こ基もと元もと$e_{i}$滿足まんぞく$e_{i}^{2}=+1$，另有$q$個こ基もと元もと滿足まんぞく$e_{i}^{2}=-1$，而$\mathbb {R}$指ゆび明あかり該克里さと福代ふくしろ數すう定義ていぎ在ざい實じつ域いき上じょう，即そく該代數すう的てき元素げんそ系けい數すう皆みな為ため實數じっすう。此組正せい交基可か藉正せい交對角かく化か找出。

由ゆかり$V$生成せいせい的てき自由じゆう代數だいすう是ぜ張ちょう量りょう代數だいすう$\bigoplus _{n\geq 0}\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n}$。換言かんげん之の，其為$V$自身じしん的てき$n$重おも張ちょう量りょう積せき，對たい所有しょゆう$n$的てき直和なおかず。故こ相應そうおう的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう會かい是ぜ該張量りょう代數だいすう對たい元素げんそ$v\otimes v-Q(v)1$（$v$取と遍あまね$V$的てき元素げんそ）生成せいせい的てき雙そう邊あたり理想りそう的てき商しょう。張ちょう量りょう積せき導出どうしゅつ在ざい商しょう代數だいすう的てき乘じょう積せき以串くし接せっ表示ひょうじ（例れい如$uv$）。其結合けつごう律りつ由ゆかり張ちょう量りょう積せき的てき結合けつごう律りつ推出。

克かつ里さと福代ふくしろ數すう有ゆう指ゆび明あかり的てき子こ空間くうかん$V$，即そく嵌入かんにゅう的てき像ぞう。若わか只ただ得え與あずか克かつ里さと福代ふくしろ數すう同どう構的てき$K$代數だいすう，則のり一般無法唯一確定該子空間。

若わか底そこ域いき$K$的てき特徵とくちょう不為ふため$2$，則のり可か將はた基本きほん恆等こうとう式しき$v^{2}=Q(v)1\ \forall v\in V$重じゅう寫うつし成なり

$uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\quad \forall u,v\in V,$

其中

$\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)$

定義ていぎ的てき對稱たいしょう雙そう線せん性せい形式けいしき與あずか二に次じ型がた$Q$之これ間あいだ有ゆう極きょく化か恆等こうとう式しき。

特徵とくちょう為ため$2$的てき二次型與克里福代數為特例。具體ぐたい而言，若わか$\mathrm {char} (K)=2$，則のり對たい於二に次じ型がた$Q$，式しき$Q(v)=\langle v,v\rangle$未必みひつ唯ただ一確定某個對稱雙線性型$\langle \bullet ,\bullet \rangle$，$Q$也未必有正せい交基。本條ほんじょう目め不ふ少しょう命題めいだい的てき條件じょうけん皆みな要求ようきゅう特徵とくちょう不為ふため$2$，而若允許いんきょ特徵とくちょう為ため$2$，則のり命題めいだい不ふ再さい成立せいりつ。

作為さくい外がい代數だいすう的てき量子りょうし化か

克かつ里さと福代ふくしろ數すう與あずか外そと代數だいすう密みつ切きり相關そうかん。外そと代數だいすう是ぜ克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき特例とくれい：若わか在ざい克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき定義ていぎ中ちゅう，取と$Q=0$，則のり克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} (V,Q)$就是外がい代數だいすう$\wedge (V)$。即そく使つかい$Q$非ひ零れい，只ただ要よう基もと域いき$K$的てき特徵とくちょう非ひ$2$，$\wedge (V)$和わ$\mathrm {Cl} (V,Q)$之これ間あいだ仍有典範てんぱん的てき線せん性せい同どう構。換言かんげん之の，兩者りょうしゃ作為さくい向こう量りょう空間くうかん自然しぜん地ち同どう構，但ただし其上的てき乘法じょうほう有ゆう分別ふんべつ。特徵とくちょう為ため$2$時とき，兩者りょうしゃ仍線性せい同どう構，然しか而該同どう構並非ひ自然しぜん。克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき乘法じょうほう和わ指定してい的てき子こ空間くうかん是ぜ比ひ外そと代數だいすう更さら豐富ほうふ的てき結構けっこう，因いん為ため用よう到いた$Q$提供ていきょう的てき額がく外資がいし訊。

克かつ里さと福代ふくしろ數すう為ため濾套代數だいすう，而相伴しょうばん的てき分ぶん次代じだい數すう為ため外がい代數だいすう。

具體ぐたい而言，克かつ里さと福代ふくしろ數すう可視かし為ため外がい代數だいすう的てき「量子りょうし化か」（見み量子りょうし群ぐん），正せい如外そと爾なんじ代數だいすう為ため對稱たいしょう代數だいすう的てき量子りょうし化か。

外そと爾なんじ代數だいすう和かず克かつ里さと福代ふくしろ數すう還かえ具有ぐゆう*-代數だいすう的てき結構けっこう，並なみ能のう整合せいごう成なり某ぼう個こ超ちょう代數だいすう的てき偶次和わ奇き次項じこう，見み典範てんぱん對たい易えき與あずか反對はんたい易えき關係かんけい代數だいすう。

泛性質せいしつ與あずか構造こうぞう

設しつらえ$V$為ため域いき$K$上うえ的てき向むかい量りょう空間くうかん，$Q:V\to K$為ため$V$上うえ的てき二に次じ型がた。多數たすう情況じょうきょう下か，域いき$K$是これ實じつ域いき$\mathbb {R}$或ある複ふく域いき$\mathbb {C}$，或ある有限ゆうげん域いき$\mathbb {F} _{q}$。

克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} (V,Q)$定義ていぎ為ため有ゆう序じょ對たい$(A_{0},i)$，其中$A_{0}$為ため$K$上うえ的てき單位たんい結合けつごう代數だいすう，而線せん性せい映うつ射い$i:V\to \mathrm {Cl} (V,Q)$滿足まんぞく對たい任意にんい$v\in V$，皆みな有ゆう$i(v)^{2}=Q(v)1$，且$(A_{0},i)$滿足まんぞく下か列れつ泛性質せいしつ：給きゅう定じょう$K$上うえ任つとむ何なに單位たんい結合けつごう代數だいすう$A$和わ線せん性せい映うつ射い$j:V\to A$令れい

$j(v)^{2}=Q(v)1_{A}\quad \forall v\in V$

（其中$1_{A}$表示ひょうじ$A$的てき乘法じょうほう單位たんい元もと），必有唯一ゆいいつ的てき代數だいすう同どう態たい$f:\mathrm {Cl} (V,Q)\to A$使つかい得う以下いか圖表ずひょう可か交換こうかん（即そく$f\circ i=j$：

二に次じ型がた$Q$可か換かわ成なり滿足まんぞく$\langle v,v\rangle =Q(v)$的てき（無む需對稱たいしょう的てき）雙そう線せん性せい形式けいしき$\langle \bullet ,\bullet \rangle$，此時$j$需滿足まんぞく的てき條件じょうけん等價とうか於

$j(v)j(v)=\langle v,v\rangle 1_{A}\quad \forall v\in V.$

當とう基もと域いき的てき特徵とくちょう非ひ$2$時とき，以上いじょう條件じょうけん也等價とうか於：

$j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle )1_{A}\quad \forall v,w\in V,$

其中雙そう線せん性せい型がた不ふ妨さまたげ限定げんてい為ため對稱たいしょう雙そう線せん性せい型がた。

以上いじょう描述的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう必定ひつじょう存在そんざい，能のう藉以下か一般いっぱん方法ほうほう構造こうぞう：先さき選せん取と由ゆかり$V$生成せいせい的てき最さい自由じゆう的てき代數だいすう，即そく張ちょう量りょう代數だいすう$T(V)$，然しか後こう藉取商しょう，保證ほしょう基本きほん恆等こうとう式しき成立せいりつ。對たい於克里さと福代ふくしろ數すう，所しょ需$T(V)$的てき雙そう邊べ理想りそう$I_{Q}$是ぜ由よし所有しょゆう形がた如

$v\otimes v-Q(v)1$

的てき元素げんそ生成せいせい，其中$v$取と遍あまね$V$的てき元素げんそ，隨ずい後便こうびん可か定義ていぎ$\mathrm {Cl} (V,Q)$為ため商しょう代數だいすう$T(V)/I_{Q}$。

商しょう承繼しょうけい的てき環たまき乘の積せき有ゆう時じ稱たたえ為ため克かつ里さと福積ふくづみ，以免與あずか外そと代數だいすう的てき外積がいせき$\wedge$或ある純量じゅんりょう積せき$\,\cdot \,$混淆こんこう。

有ゆう上述じょうじゅつ$\mathrm {Cl} (V,Q)$的てき構造こうぞう後ご，可か以直接ちょくせつ驗けん證しょう$\mathrm {Cl} (V,Q)$包含ほうがん$V$，且滿足まんぞく所しょ需的泛性質しつ。而由泛性質しつ，可知かち$\mathrm {Cl}$在ざい唯ただ一同構的意義下唯一，故こ在ざい此意義いぎ下か，可か當とう克かつ里さと福代ふくしろ數すう必定ひつじょう由よし上述じょうじゅつ構造こうぞう給きゅう出で。從したがえ構造こうぞう可知かち，$i$是これ單たん射い，故こ通常つうじょう隱かくれ藏ぞう$i$而視$V$為ため$\mathrm {Cl} (V,Q)$的てき線せん性せい子こ空間くうかん。

因いん為ため克かつ里さと福代ふくしろ數すう可か由よし泛性質せいしつ定義ていぎ，所以ゆえん$\mathrm {Cl} (V,Q)$的てき構造こうぞう具ぐ函はこ子こ性せい，即そく$\mathrm {Cl}$為ため函はこ子こ，其定義ていぎ域いき為ため具有ぐゆう二に次じ型がた的てき$K$-向むこう量りょう空間くうかん組成そせい的てき範疇はんちゅう（其態たい射しゃ為ため保ほ二次型的線性映射），陪域為ため結合けつごう$K$-代數だいすう範疇はんちゅう。泛性質せいしつ保證ほしょう，向むこう量りょう空間くうかん之の間あいだ保ほ二次型的線性映射，唯ただ一擴展成相應的克里福代數的代數同態。

基もと與あずか維數

由よし於$V$已やめ配備はいび二に次じ型がた$Q$，在ざい特徵とくちょう非ひ$2$時とき，$V$有ゆう一いち組くみ正せい交基，即そく其元素げんそ$e_{i}$滿足まんぞく

$\langle e_{i},e_{j}\rangle =0\quad (i\neq j)$，及$\langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i})$。

基本きほん克かつ里さと福ぶく恆等こうとう式しき推出，對たい於正交基，有ゆう

$e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\quad (i\neq j)$，及$e_{i}^{2}=Q(e_{i})$。

此關係かんけい使し正せい交基元もと間あいだ的てき運算うんざん很容易えき。給きゅう定じょう$V$中ちゅう兩兩りょうりょう互異的てき正せい交基元もと的てき乘じょう積せき$e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}$ ，可か以將各かく因子いんし按順序じょ排はい好このみ，而僅需依照あきら置換ちかん的てき奇偶きぐう性せい在ざい前面ぜんめん加か上じょう正負せいふ號ごう。

若わか$V$在ざい$K$上うえ的てき維數為ため$n$，且$\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$為ため$(V,Q)$的てき正せい交基，則のり$\mathrm {Cl} (V,Q)$為ため$K$上うえ的てき向むこう量りょう空間くうかん，其一いち組くみ基もと為ため

$\{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n,\ 0\leq k\leq n\}$.

在ざい上うえ式しき中ちゅう，空そら乘じょう積せき（$k=0$）定義ていぎ為ため乘法じょうほう單位たんい元もと。由よし於每個こ$e_{i}$可か以出現しゅつげん或ある不出ふしゅつ現在げんざい乘じょう積せき中ちゅう，$\mathrm {Cl} (V,Q)$的てき維數（即そく基もと的てき大小だいしょう）為ため

$\dim \operatorname {Cl} (V,Q)=2^{n}.$

例れい子こ：實じつ域いき上じょう與あずか複ふく域いき上じょう的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう

克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき重要じゅうよう例れい子こ源げん自じ實み或ある複ふく向むかい量りょう空間くうかん及其上じょう非ひ退化たいか的てき二に次じ型がた給きゅう出で。

本節ほんぶし的てき例れい子こ$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$和わ$\mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )$皆みな同どう構於某ぼう個こ$A$或ある$A\oplus A$，其中$A$為ため$\mathbb {R}$、$\mathbb {C}$或ある$\mathbb {H}$上うえ的てき全ぜん個こ矩のり陣じん環たまき。此類代數だいすう的てき完かん整せい分類ぶんるい，見み克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき分類ぶんるい。

實じつ域いき上じょう

主しゅ条目じょうもく：幾何きか代數だいすう

克かつ里さと福代ふくしろ數すう有ゆう時じ稱たたえ為ため幾何きか代數だいすう，尤ゆう其定義ていぎ在ざい實じつ域いき上じょう時じ。

有限ゆうげん維實向むこう量りょう空間くうかん上じょう的てき非ひ退化たいか二次型必等價於某個標準對角型：

$Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},$

其中$n=p+q$為ため向むこう量りょう空間くうかん的てき維數。非負ひふ整數せいすう對たい$(p,q)$稱しょう為ため二に次じ型がた的てき符號ふごう。配備はいび此二次型的實向量空間一般記為$\mathbb {R} ^{p,q}$，而$\mathbb {R} ^{p,q}$生成せいせい的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう則のり記き為ため$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$。$\mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {R} )$可能かのう表示ひょうじ$\mathrm {Cl} _{n,0}(\mathbb {R} )$或ある$\mathrm {Cl} _{0,n}(\mathbb {R} )$，視し乎作者しゃ偏へん好こう二次型正定抑或負定。

$\mathbb {R} ^{p,q}$的てき標準ひょうじゅん基もと$\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$由ゆかり$n=p+q$支ささえ兩兩りょうりょう正せい交的向むこう量りょう組成そせい，其中$p$支ささえ的てき平方へいほう為ため$+1$，其餘$q$支ささえ的てき平方へいほう則そく為ため$-1$。於是，代數だいすう$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$中なか，也有やゆう該$p$支ささえ向こう量的りょうてき平方へいほう為ため$+1$，該$q$支ささえ向こう量的りょうてき平方へいほう為ため$-1$。

低てい維的例れい子こ有ゆう：

$\mathrm {Cl} _{0,0}(\mathbb {R} )$與あずか$\mathbb {R}$自然しぜん同どう構，因いん為ため並無ならびな非ひ零れい向こう量りょう。

$\mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )$為ため由ゆかり$e_{1}$（其平方かた為ため$-1$）生成せいせい的てき二に維代數すう，從したがえ而與複數ふくすう域いき$\mathbb {C}$代數だいすう同どう構。

$\mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )$為ため由ゆかり$\{1,e_{1},e_{2},e_{1}e_{2}\}$張ちょう成しげる的てき四よん維代數すう。後こう三個基元的平方皆為$-1$，且兩兩りょう相反あいはん交換こうかん，故こ代數だいすう與あずか四よん元げん數すう系けい$\mathbb {H}$同どう構。

$\mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )$為ため八はち維代數すう，與あずか直和なおかず$\mathbb {H} \oplus \mathbb {H}$（分裂ぶんれつ複ふく四よん元げん數すう系けい）同どう構。

複ふく域いき上じょう

也可以研究けんきゅう複ふく域いき上じょう的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう。$n$維複向むこう量りょう空間くうかん上じょう，每まい個こ非ひ退化たいか二次型都等價於標準對角型

$Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.$

由よし此，對たい每まい個こ維數$n$，在ざい同どう構意義いぎ下か，恰有一個克里福代數定義在配備非退化二次型的$n$維複向むこう量りょう空間くうかん上じょう，記き為ため$\mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )$。

最小さいしょう的てき幾いく個こ例れい子こ為ため：

$\mathrm {Cl} _{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C}$，複數ふくすう系けい，

$\mathrm {Cl} _{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \oplus \mathbb {C}$，雙そう複數ふくすう系けい，

$\mathrm {Cl} _{2}(\mathbb {C} )\cong M_{2}(\mathbb {C} )$，複ふく四よん元げん數すう系けい，其中$M_{n}(\mathbb {C} )$表示ひょうじ複ふく域いき上じょう的てき$n\times n$矩のり陣じん組成そせい的てき代數だいすう。

例れい子こ：構造こうぞう四元數與二元四元數

四よん元げん數すう

本節ほんぶし將しょう會かい構造こうぞう哈密頓とみ的てき四よん元げん數すう系けい，作為さくい克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )$的てき偶子代數だいすう。

設しつらえ$V$為ため實じつ三さん維向量りょう空間くうかん$\mathbb {R} ^{3}$，二に次じ型がた$Q$為ため歐おう氏し度量どりょう的てき相反あいはん數すう，則のり對たい於$v,w\in \mathbb {R} ^{3}$，相應そうおう的てき純量じゅんりょう積せき（雙そう線せん性せい型がた）由ゆかり

$v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}$

給きゅう出で。

現げん引入向むこう量りょう$v,w$的てき克かつ里さと福積ふくづみ$vw$，使つかい其滿足まんぞく

$vw+wv=-2(v\cdot w).$

（此處ここら有ゆう負號ふごう，以使該代數すう與あずか四元數的聯繫更清晰。）

設しつらえ$e_{1},e_{2},e_{3}$為ため$\mathbb {R} ^{3}$的てき一組正交單位基，則のり由よし上うえ式しき可知かち，其兩兩りょうりょう的てき克かつ里さと福積ふくづみ滿足まんぞく

$e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},$

且

$e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1.$

克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )$的てき任意にんい元素げんそ可か以表示ひょうじ成なり

$A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{3}e_{1}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.$

若わか只ただ考慮こうりょ偶次項じこう，則のり得え到いた偶子代數だいすう$\mathrm {Cl} _{0,3}^{[0]}(\mathbb {R} )$，其任意にんい元素げんそ可か表示ひょうじ成なり

$q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{3}e_{1}+q_{3}e_{1}e_{2}.$

若わか定義ていぎ四よん元げん數すう的てき基もと元もと$i,j,k$為ため

$i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},$

則のり可知かち$\mathrm {Cl} _{0,3}^{[0]}(\mathbb {R} )$與あずか哈密頓とみ的てき實み四よん元げん數すう代數だいすう同どう構，理由りゆう是ぜ：

$i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,$

$ij=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k,$

且

$ijk=e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}e_{1}e_{2}=-1,$

與あずか四よん元げん數すう的てき運算うんざん法則ほうそく一致いっち。

二元にげん四よん元げん數すう

本節ほんぶし構造こうぞう二元にげん四よん元げん數すう系けい，作為さくい配備はいび退化たいか二次型的實四維向量空間的偶克里福代數。

設しつらえ向こう量りょう空間くうかん$V$為ため實じつ四よん維空間あいだ$\mathbb {R} ^{4}$，並なみ設しつらえ二に次じ型がた$Q$為ため源げん自じ$\mathbb {R} ^{3}$上うえ歐おう氏し度量どりょう的てき退化たいか型がた，即そく相應そうおう的てき雙そう線せん性せい型がた$d$滿足まんぞく：對たい任意にんい$v,w\in \mathbb {R} ^{4}$，

$d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.$

換言かんげん之の，此退化か純量じゅんりょう積せき只ただ考慮こうりょ將しょう$\mathbb {R} ^{4}$投影とうえい到いた$\mathbb {R} ^{3}$後こう的てき像ぞう。

向むかい量りょう$v,w$的てき克かつ里さと福積ふくづみ$vw$由よし下か式しき定義ていぎ：

$vw+wv=-2\,d(v,w).$

同上どうじょう節ぶし，負號ふごう是ぜ為ため了りょう明確めいかく該代數すう與あずか四よん元げん數すう系けい的てき對應たいおう關係かんけい。

記き$\mathbb {R} ^{4}$的てき標準ひょうじゅん基もと元もと為ため$e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$，則のり其克里さと福積ふくづみ滿足まんぞく關係かんけい

$e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m}\,\,\,(m\neq n),$

及

$e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.$

克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} (\mathbb {R} ^{4},d)$也記為ため$\mathrm {Cl} _{0,3,1}(\mathbb {R} )$（下しも標しるべ分別ふんべつ表示ひょうじ平方へいほう為ため$+1,-1,0$的てき基もと元もと個數こすう），其一般いっぱん元素げんそ有ゆう16項こう，而僅取偶次項じこう時じ，得え到いた偶子代數だいすう$\mathrm {Cl} ^{[0]}(\mathbb {R} ^{4},d)$，其一般いっぱん元素げんそ形がた如

$H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.$

於是，可か分別ふんべつ定義ていぎ四よん元げん數すう基き元もと$i,j,k$和わ二元にげん數すう基もと元もと$\varepsilon$為ため

$i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4},$

從したがえ而給出で$\mathrm {Cl} (\mathbb {R} ^{4},d)$與あずか二元にげん四よん元げん數すう代數だいすう的てき同どう構。

要よう驗けん證しょう二に元げん四よん元げん數すう的てき乘法じょうほう法則ほうそく，可か以計算けいさん

$\varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,$

和わ

$\varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .$

後者こうしゃ的てき計算けいさん中ちゅう，$e_{1}$和わ$e_{4}$的てき換かわ位くらい將はた符號ふごう改變かいへん了りょう偶數ぐうすう次じ（即そく無む改變かいへん）。同樣どうよう的てき方法ほうほう能のう證明しょうめい，二元にげん數すう基き元もと$\varepsilon$可か與あずか全部ぜんぶ四よん元げん數すう基き元もと$i,j,k$交換こうかん。

低てい維例子こ

設しつらえ$K$為ため特徵とくちょう非ひ$2$的てき域いき。

一いち維

對たい於$\dim V=1$的てき情況じょうきょう，若わか$Q$有ゆう對たい角かく化か$\mathrm {diag} (a)$，即そく存在そんざい非ひ零れい向こう量りょう$v\in V$令れい$Q(v)=a$，則のり$\mathrm {Cl} (V,Q)$代數だいすう同どう構於$K[x]/(x^{2}-a)$，即そく由よし滿足まんぞく$x^{2}=a$的てき單たん一いち個こ元素げんそ$x$生成せいせい的てき$K$-代數だいすう。

更さら具體ぐたい而言，有ゆう三種さんしゅ情況じょうきょう：

1. 若わか$a=0$（即そく$Q$為ため零れい二に次じ型がた），則のり$\mathrm {Cl} (V,Q)$代數だいすう同どう構於$K$上うえ的てき二元にげん數すう代數だいすう。
2. 若わか$a$非ひ零れい，且為$K$中なか的てき平方へいほう數すう，則のり$\mathrm {Cl} (V,Q)\cong K\oplus K$。
3. 其餘情況じょうきょう下か，$\mathrm {Cl} (V,Q)$同どう構於$K$的てき二に次じ域いき擴張かくちょう$K({\sqrt {a}})$。

二に維

對たい於$\dim V=2$的てき情況じょうきょう，若わか$Q$有ゆう對たい角かく化か$\mathrm {diag} (a,b)$，其中$a,b$皆みな非ひ零れい（$Q$非ひ退化たいか時じ必然ひつぜん存在そんざい），則のり$\mathrm {Cl} (V,Q)$同どう構於由ゆかり$x,y$生成せいせい的てき$K$-代數だいすう，其中$x,y$滿足まんぞく$x^{2}=a,\ y^{2}=b,\ xy=-yx$。

於是$\mathrm {Cl} (V,Q)$同どう構於（廣義こうぎ）四よん元げん數すう代數だいすう$(a,b)_{K}$。在ざい$a=b=-1$且$K=\mathbb {R}$時とき，該代數すう化か歸き為ため哈密頓とみ的てき四よん元げん數すう代數だいすう，即そく$\mathbb {H} =(-1,-1)_{\mathbb {R} }$。

作為さくい特殊とくしゅ情況じょうきょう，若わか有ゆう某ぼう個こ$x\in V$使つかい得とく$Q(x)=1$，則のり$\mathrm {Cl} (V,Q)\cong M_{2}(K)$是ぜ二に階かい方陣ほうじん的てき代數だいすう。

性質せいしつ

與あずか外そと代數だいすう的てき關係かんけい

給きゅう定てい向むこう量りょう空間くうかん$V$，可か以構造こうぞう外そと代數だいすう$\wedge (V)$，其定義ていぎ不ふ取と決けつ於$V$上うえ任にん何なん二に次じ型がた。事實じじつ上じょう，若わか$K$的てき特徵とくちょう非ひ$2$，則のり$\wedge (V)$與あずか$\mathrm {Cl} (V,Q)$作為さくい向こう量りょう空間くうかん自然しぜん同どう構（而在特徵とくちょう$2$時とき，仍有同どう構，但ただし不ふ一定いってい自然しぜん）。該自然しぜん同どう構當且僅當とう$Q=0$時どき為ため代數だいすう同どう構。所以ゆえん，可か以將克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} (V,Q)$視み為ため$V$的まと外がい代數だいすう額がく外がい配備はいび取と決けつ於$Q$的てき乘法じょうほう。（準じゅん確かく而言是ぜ外がい代數だいすう的てき「量子りょうし化か」，見み#作為さくい外がい代數だいすう的てき量子りょうし化か。）原はら有ゆう的てき外積がいせき仍有不ふ取と決けつ於$Q$的てき定義ていぎ。

描述以上いじょう同どう構的簡單かんたん方法ほうほう是ぜ：先取せんしゅ$V$的てき正せい交基$\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$，並なみ擴展成なり$\mathrm {Cl} (V,Q)$的てき基もと（如#基もと與あずか維數所ところ述じゅつ）。定義ていぎ映うつ射い$f:\mathrm {Cl} (V,Q)\to \wedge (V)$使つかい

$e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},$

並なみ線せん性せい擴展。注意ちゅうい此處ここ用よう到いた$\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}$正せい交。可か以證明しょうめい，映うつ射い$f$的てき定義ていぎ無む關せき正ただし交基的てき選擇せんたく，故こ為ため自然しぜん同どう構。

若わか$K$的てき特徵とくちょう為ため$0$，則のり也可以藉反對稱はんたいしょう化か（antisymmetrizing）定義ていぎ以上いじょう同どう構：定義ていぎ一いち列れつ映うつ射い$f_{k}:\underbrace {V\times \cdots \times V} _{k}\to \mathrm {Cl} (V,Q)$使つかい

$f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)},$

其求和わ符號ふごう中ちゅう，$\sigma$取と遍あまね$k$階かい對稱たいしょう群ぐん$S_{k}$的てき元素げんそ。由よし於$f_{k}$反對稱はんたいしょう，其導出どうしゅつ獨どく一いち個こ映うつ射い$f_{k}':\wedge ^{k}(V)\to \mathrm {Cl} (V,Q)$。該些映射的しゃてき直和なおかず為ため$\wedge (V)$至いたり$\mathrm {Cl} (V,Q)$的まと線せん性せい映うつ射しゃ。可か以證明しょうめい該映射しゃ為ため同どう構，且是自然しぜん同どう構。

也可以從更さら高等こうとう的てき觀點かんてん，在ざい$\mathrm {Cl} (V,Q)$上うえ構造こうぞう濾過ろか，以看待まち兩者りょうしゃ的てき關係かんけい。注意ちゅうい張ちょう量りょう代數だいすう$T(V)$有ゆう自然しぜん濾過ろか$F^{0}\subset F^{1}\subset F^{2}\subset \cdots$，其中$F^{k}$含所有しょゆう階かい不ふ高こう於$k$的てき張はり量りょう。將はた此濾過ろか投射とうしゃ到いた克かつ里さと福代ふくしろ數すう上じょう，就得到いた$\mathrm {Cl} (V,Q)$上うえ的てき濾過ろか。與あずか此濾過ろか相伴しょうばん的てき分ぶん次代じだい數すう

$\operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}$

與あずか外そと代數だいすう$\wedge (V)$自然しぜん同どう構。由よし於濾過ろか代數だいすう的てき相伴しょうばん分ぶん次代じだい數すう總そう與原よはら濾過ろか代數だいすう作為さくい濾過ろか向こう量りょう空間くうかん同どう構（藉選取と$F^{k}$在ざい$F^{k+1}$中なか的てき補ほ集しゅう），可知かち克かつ里さと福代ふくしろ數すう與あずか外そと代數だいすう在任ざいにん何なん特徵とくちょう（包括ほうかつ$2$）下しも皆みな同どう構（儘管不ふ一定いってい自然しぜん）。

分ぶん次つぎ

本節ほんぶし假設かせつ特徵とくちょう非ひ$2$。

克かつ里さと福代ふくしろ數すう為ため$\mathbb {Z} /2$-分ぶん次代じだい數すう（又また稱たたえ為ため超ちょう代數だいすう），以下いか說明せつめい原因げんいん。在ざい$V$上うえ，線せん性せい映うつ射い$v\mapsto -v$（關せき於原點てん對稱たいしょう）保持ほじ二に次じ型がた$Q$，故由ゆえよし克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき泛性質しつ，該線性せい映うつ射い延のべ拓成たくせい代數だいすう自じ同どう構

$\alpha :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).$

由よし於$\alpha$為ため對たい合ごう（即そく其平方かた為ため恆つね同どう映うつ射い），可か以將$\mathrm {Cl} (V,Q)$分解ぶんかい成なり$\alpha$的てき正和しょうわ負ふ特徵とくちょう空間くうかん：

$\operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q),$

其中

$\operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.$

由よし於$\alpha$是ぜ自じ同どう構，有ゆう：

$\operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q),$

其中方かた括くく號ごう上じょう標的ひょうてき運算うんざん模も$2$，故こ上うえ式しき賦ふ予よ$\mathrm {Cl} (V,Q)$作為さくい$\mathbb {Z} /2$-分ぶん次代じだい數すう的てき結構けっこう。子こ空間くうかん$\mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)$為ため$\mathrm {Cl} (V,Q)$的てき子こ代數だいすう，稱たたえ為ため偶子代數だいすう。而子空間くうかん$\mathrm {Cl} ^{[1]}(V,Q)$則のり稱たたえ為ため奇き部ぶ（其不為ふため子こ代數だいすう）。此$\mathbb {Z} /2$-分ぶん次つぎ在ざい克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき分析ぶんせき和わ應用おうよう上じょう很重要じゅうよう。自じ同どう構$\alpha$稱たたえ為ため主あるじ對たい合ごう（main involution）或ある次數じすう對たい合ごう（grade involution）。此$\mathbb {Z} /2$-分ぶん次じ中ちゅう的てき純じゅん元素げんそ，即そく偶部或ある奇き部ぶ的てき元素げんそ，分ふん別稱べっしょう為ため偶元和わ奇き元もと。

當とう特徵とくちょう非ひ$2$時とき，由ゆかり於$\mathrm {Cl} (V,Q)$與あずか外そと代數だいすう$\wedge (V)$有ゆう典範てんぱん同どう構，$\mathrm {Cl} (V,Q)$作為さくい向こう量りょう空間くうかん，承繼しょうけい$\wedge (V)$的てき$\mathbb {N}$-分ぶん次つぎ和わ$\mathbb {Z}$-分ぶん次じ。然しか而，該分次じ僅為向むこう量りょう空間くうかん分ぶん次じ，而非代だい數すう分ふん次じ。換言かんげん之の，克かつ里さと福ぶく乘じょう積せき並なみ不ふ遵守じゅんしゅ該$\mathbb {N}$-分ぶん次じ或ある$\mathbb {Z}$-分ぶん次つぎ，僅遵守じゅんしゅ上段じょうだん的てき$\mathbb {Z} /2$-分ぶん次じ：例れい如，若わか$Q(v)\neq 0$，則のり$v\in \mathrm {Cl} ^{1}(V,Q)$，但ただし$v^{2}\in \mathrm {Cl} ^{0}(V,Q)$，而不在ふざい$\mathrm {Cl} ^{2}(V,Q)$中なか。不ふ過か此等分とうぶん次じ之の間あいだ有ゆう自然しぜん的てき聯れん繫：$\mathbb {Z} /2\cong \mathbb {N} /2\mathbb {N} \cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$。更さら甚者，克かつ里さと福代ふくしろ數すう有ゆう$\mathbb {Z}$-濾過ろか：

$\operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).$

克かつ里さと福ぶく數すう的てき次數じすう通常つうじょう指ゆび$\mathbb {N}$-分ぶん次つぎ的てき次數じすう。

克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき偶子代數だいすう$\mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)$本身ほんみ亦また同どう構於某ぼう個こ克かつ里さと福代ふくしろ數すう。若わか$V$為ため具有ぐゆう非ひ零れい範はん數すう$Q(a)$的まと向むこう量りょう$a$與あずか子こ空間くうかん$U$的てき正せい交直和わ，則のり$\mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)$同どう構於$\mathrm {Cl} (U,-Q(a)Q)$，其中$-Q(a)Q$為ため二に次じ型がた$Q$乘じょう上じょう$-Q(a)$，並なみ限げん制せい到いた$U$。作為さくい例れい子こ，以上いじょう結論けつろん在ざい實じつ域いき上じょう推出：

$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbb {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbb {R} ),&q>0,\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbb {R} ),&p>0.\end{cases}}$

在ざい$Q$負ふ定じょう的てき情況じょうきょう下か，上うえ式しき給きゅう出で包含ほうがん關係かんけい$\mathrm {Cl} _{0,n-1}(\mathbb {R} )\subset \mathrm {Cl} _{0,n}(\mathbb {R} )$，延伸えんしん序列じょれつ

$\mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \cdots$

類似るいじ可か證しょう，在ざい複ふく域いき上じょう, $\mathrm {Cl} _{n}(\mathbb {C} )$的てき偶子代數だいすう同どう構於$\mathrm {Cl} _{n-1}(\mathbb {C} )$。

反はん自じ同どう構

除じょ自じ同どう構$\alpha$外そと，克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき分析ぶんせき中ちゅう，還かえ有ゆう兩個りゃんこ重要じゅうよう的てき反はん自じ同どう構。記き得とく張ちょう量りょう代數だいすう$T(V)$有ゆう將しょう全部ぜんぶ乘法じょうほう次序じじょ反轉はんてん的てき反はん自じ同どう構：

$v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.$

由よし於理想りそう$I_{Q}$在ざい該反轉はんてん下か不變ふへん，該反轉はんてん也定義ていぎ$\mathrm {Cl} (V,Q)\cong T(V)/I_{Q}$上うえ的てき反はん自じ同どう構，稱たたえ為ため轉置てんち或ある反轉はんてん，記き為ため$x\mapsto x^{\mathrm {t} }$。轉置てんち為ため反はん自じ同どう構，即そく有ゆう$(xy)^{\mathrm {t} }=y^{\mathrm {t} }x^{\mathrm {t} }$。上述じょうじゅつ定義ていぎ中ちゅう，並なみ未み用もちい到いた$\mathrm {Z} /2$-分ぶん次つぎ，故こ可か複ふく合あい自じ同どう構$\alpha$與あずか轉置てんち，而得另一個反自同構。新しん的てき反はん自じ同どう構稱為ため克かつ里さと福ぶく共軛きょうやく，記き為ため$x\mapsto {\overline {x}}$。以符號ごう表示ひょうじ：

${\overline {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.$

兩個りゃんこ反はん自じ同どう構中，轉置てんち更さら本質ほんしつ。

此三さん種しゅ運算うんざん皆みな是ぜ對たい合ごう。此外，其對$\mathbb {Z}$-分ぶん次じ純じゅん元もと的てき作用さよう皆みな是これ乘じょう上じょう$\pm 1$，且符號ごう僅取決けつ於次數すう${\bmod {4}}$。換言かんげん之の，若わか$x$是これ$k$次つぎ純じゅん元もと，則のり

$\alpha (x)=\pm x,\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x,\qquad {\overline {x}}=\pm x,$

其中符號ふごう載の於下おした表ひょう：

$k{\bmod {4}}$	$0$	$1$	$2$	$3$	…
$\alpha (x)\,$	$+$	$-$	$+$	$-$	$(-1)^{k}$
$x^{\mathrm {t} }\,$	$+$	$+$	$-$	$-$	$(-1)^{k(k-1)/2}$
${\overline {x}}$	$+$	$-$	$-$	$+$	$(-1)^{k(k+1)/2}$

克かつ里さと福ぶく純量じゅんりょう積せき

當とう特徴とくちょう非ひ$2$時とき，$V$上うえ的てき二に次じ型がた$Q$可か以延拓成たくせい$\mathrm {Cl} (V,Q)$上うえ的てき二に次じ型がた（同樣どうよう記き為ため$Q$）。該延拓つぶせ可用かよう以下いか不ふ取と決けつ於基的てき方式ほうしき定義ていぎ：

$Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0},$

其中$\langle a\rangle _{0}$表示ひょうじ$a$的てき純量じゅんりょう部分ぶぶん（$\mathbb {Z}$-分ぶん次つぎ的てき零れい次項じこう）。可か以證明しょうめい，對たい於$V$的てき元素げんそ$v_{i}$，有ゆう

$Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k}),$

但ただし上うえ式しき對たい$\mathrm {Cl} (V,Q)$的てき其他元素げんそ不ふ一定いってい成立せいりつ。

在ざい$\mathrm {Cl} (V,Q)$上うえ，與あずか$Q$相伴しょうばん的てき對稱たいしょう雙そう線せん性せい型がた由よし下か式しき定義ていぎ：

$\langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.$

可か以驗算けんざん，若わか限きり制せい在ざい$V$上うえ，則のり該雙線せん性せい型がた化か為ため$V$上原うえはら有ゆう的てき雙そう線せん性せい型がた。在ざい$\mathrm {Cl} (V,Q)$上うえ，該雙線せん性せい型がた非ひ退化たいか當とう且僅當とう其限制せい在ざい$V$上うえ非ひ退化たいか。

關せき於此純量じゅんりょう積せき，左ひだり（右みぎ）乘じょう$a^{\mathrm {t} }$與あずか右みぎ（左ひだり）乘じょう$a$互為伴ばん隨ずい。換言かんげん之の，

$\langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,$

且

$\langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .$

克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき結構けっこう

本節ほんぶし假設かせつ域いき的てき特徵とくちょう非ひ$2$，向むこう量りょう空間くうかん$V$為ため有限ゆうげん維，且二に次じ型がた$Q$非ひ退化たいか。若わか矩のり陣じん代數だいすう的てき系けい數すう取と自じ某ぼう個こ中心ちゅうしん為ため$K$的てき有限ゆうげん維除じょ代數だいすう，則のり該矩陣じん代數だいすう稱たたえ為ため$K$上うえ的てき中心ちゅうしん單たん代數だいすう。例れい如，實じつ域いき上じょう的てき中心ちゅうしん單たん代數だいすう可能かのう是ぜ實じつ域いき上じょう的てき矩のり陣じん代數だいすう，也可能かのう是ぜ四元數代數上的矩陣代數。有ゆう下か列れつ結論けつろん：

• 若わか$V$的てき維數為ため偶數ぐうすう，則のり$\mathrm {Cl} (V,Q)$是これ$K$上うえ的てき中心ちゅうしん單たん代數だいすう。
• 若わか$V$的てき維數為ため偶數ぐうすう，則のり偶子代數だいすう$\mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)$或ある是ぜ$K$的てき二に次じ擴張かくちょう上じょう的てき中心ちゅうしん單たん代數だいすう，或ある是ぜ$K$上うえ兩個りゃんこ同どう構的中心ちゅうしん單たん代數だいすう的てき直和なおかず。
• 若わか$V$的てき維數為ため奇數きすう，則のり$\mathrm {Cl} (V,Q)$或ある是ぜ$K$的てき二に次じ擴張かくちょう上じょう的てき中心ちゅうしん單たん代數だいすう，或ある是ぜ$K$上うえ兩個りゃんこ同どう構的中心ちゅうしん單たん代數だいすう的てき直和なおかず。
• 若わか$V$的てき維數為ため奇數きすう，則のり偶子代數だいすう$\mathrm {Cl} ^{[0]}(V,Q)$是これ$K$上うえ的てき中心ちゅうしん單たん代數だいすう。

克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき結構けっこう可か從したがえ以下いか結果けっか推導出どうしゅつ：假設かせつ$U$有ゆう偶數ぐうすう維，且有非ひ退化たいか的てき雙そう線せん性せい型がた，其行列ぎょうれつ式しき為ため$d$，又また設しつらえ$V$為ため另一いち個こ向むこう量りょう空間くうかん，亦また配備はいび二に次じ型がた，則のり$U+V$的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう同どう構於$U$的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう與あずか$(-1)^{\dim(U)/2}dV$的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき張はり量りょう積せき。（後者こうしゃ仍是向むこう量りょう空間くうかん$V$，但ただし其上的てき二次型要乘上因子$(-1)^{\dim(U)/2}d$。）在ざい實じつ域いき上じょう，上述じょうじゅつ結果けっか推出：

$\operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbb {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbb {R} )$

$\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbb {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$

$\operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbb {R} )=\mathbb {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbb {R} ).$

該些公式こうしき可用かよう作さく找出所有しょゆう實じつ克かつ里さと福代ふくしろ數すう和わ複ふく克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき結構けっこう，詳しょう見み克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき分類ぶんるい。

值得注意ちゅうい，克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき森田もりた等價とうか類るい（即そく其整個こ表示ひょうじ論ろん：該代數すう上じょう的てき模かたぎ範疇はんちゅう的てき加か性せい等價とうか類るい）只ただ取と決けつ於其符號ふごう$(p-q)\ \mathrm {mod} \ 8$。此為一いち種しゅ代數だいすう形式けいしき的てき博ひろし特とく周期しゅうき性せい。

利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん

利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん（又また稱たたえ為ため克かつ里さと福ぶく群ぐん或ある克かつ里さと福ぶく－利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん）由ゆかり魯道夫おっと·利り普あまね希まれ茨いばら發現はつげん。

本節ほんぶし中ちゅう，設しつらえ$V$為ため有限ゆうげん維向量りょう空間くうかん，而二に次じ型がた$Q$非ひ退化たいか。

克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき可逆かぎゃく元もと群ぐん以「扭轉共軛きょうやく」的てき方式ほうしき作用さよう在ざい克かつ里さと福代ふくしろ數すう上じょう：所謂いわゆる$x$扭轉共軛きょうやく作用さよう在ざい$y$上うえ，結果けっか便びん是ぜ$\alpha (x)yx^{-1}$，其中$\alpha$是これ上うえ文ぶん定義ていぎ的てき主しゅ對たい合ごう。

利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん$\Gamma$定義ていぎ為ため所有しょゆう滿足まんぞく

$\alpha (x)vx^{-1}\in V\quad \forall v\in V$

的てき可逆かぎゃく元もと$x$的てき集合しゅうごう。換言かんげん之の，要求ようきゅう$x$的てき扭轉共軛きょうやく穩定化か所有しょゆう向こう量りょう組成そせい的てき集合しゅうごう。

上うえ式しき說明せつめい，該群作用さよう可か以限制せい成なる向むこう量りょう空間くうかん$V$上うえ的てき群ぐん作用さよう，且其保持ほじ二に次じ型がた$Q$，故こ給きゅう出で利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん到いた正せい交群的てき同どう態たい。利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん包含ほうがん所有しょゆう令れい$Q(r)$在ざい$K$中ちゅう可逆かぎゃく的てき元素げんそ$r\in V$，而此等とう元素げんそ作用さよう在ざい$V$上うえ的てき效果こうか為ため反射はんしゃ

$v\mapsto v-{\frac {\langle r,v\rangle +\langle v,r\rangle }{Q(r)}}r.$

（特徵とくちょう為ため$2$時とき，此種映うつ射い稱たたえ為ため錯切而非反射はんしゃ。）

若わか$V$為ため有限ゆうげん維實向むこう量りょう空間くうかん，並なみ配備はいび非ひ退化たいか二に次じ型がた，則のり利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん滿まん射い到いた$V$關せき於該二に次じ型がた的てき正せい交群（根據こんきょ嘉よしみ當とう－迪すすむ厄やく多た內定理ていり），且核かく恰好かっこう包含ほうがん$K$的てき所有しょゆう非ひ零れい元げん，故こ有ゆう下か列れつ短たん正せい合ごう列れつ

$1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma \rightarrow {\mbox{O}}_{V}(K)\rightarrow 1,\,$

$1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow {\mbox{SO}}_{V}(K)\rightarrow 1.\,$

其中$\Gamma ^{0}$是これ$\Gamma$的てき偶子群ぐん。

其他域いき上じょう，或ある當とう二に次じ型がた退化たいか時じ，該映射い未み必滿，而旋量りょう範はん數すう描述其不滿ふまん程度ていど。

旋量範はん數すう

更さら多た信しん息いき：旋量範はん數すう

對たい任意にんい特徵とくちょう，利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん上じょう的てき旋量範はん數すう$Q$由よし下か式しき定義ていぎ：

$Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.$

其為由利ゆり普ひろし希まれ茨いばら群ぐん射い去ざ非ひ零れい元素げんそ的てき乘法じょうほう群ぐん$K^{\times }$的てき同どう態たい。當とう$V$視み為ため克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき子こ空間くうかん時じ，$Q$在ざい$V$上等じょうとう於與$V$原はら有ゆう的てき二に次じ型がた。若干じゃっかん作者さくしゃ採用さいよう不同ふどう的てき定義ていぎ，以致在ざい$\Gamma ^{1}$上うえ，其定義ていぎ與あずか上述じょうじゅつ定義ていぎ相しょう差さ$-1$、$2$、$-2$倍ばい。只ただ要よう特徵とくちょう不為ふため$2$，此差異い並なみ不ふ重要じゅうよう。

$K$中なか的てき非ひ零れい元素げんそ的てき旋量範はん數すう是ぜ在ざい非ひ零れい平方へいほう子こ群ぐん$(K^{\times })^{2}$中なか，所以ゆえん，若わか$V$有限ゆうげん維且其上的てき二に次じ型がた非ひ退化たいか，則のり有ゆう同どう態たい從したがえ$V$的てき正せい交群映うつ去ざ$K^{\times }/(K^{\times })^{2}$，亦また稱たたえ為ため旋量範はん數すう。對たい任意にんい向むこう量りょう$r$，關せき於$r^{\perp }$（$\perp$是ぜ關せき於二に次じ型がた而言）反射はんしゃ的てき旋量範はん數すう在ざい$K^{\times }/(K^{\times })^{2}$中なか的てき像ぞう為ため$Q(r)$。此性質せいしつ唯ただ一確定正交群上的旋量範數。故こ有正ありまさ合ごう列れつ：

${\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)&\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Spin}}_{V}(K)&\to {\mbox{SO}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}$

注意ちゅうい在ざい特徵とくちょう為ため$2$時どき，群ぐん$\{\pm 1\}$只ただ有ゆう一いち個こ元素げんそ。

若わか從したがえ代數だいすう群ぐん的てき伽羅きゃら瓦かわら上じょう同調どうちょう考慮こうりょ，旋量範はん數すう是ぜ上じょう同調どうちょう的てき連接れんせつ同どう態たい。其含義ぎ是ぜ，以$\mu _{2}$表示ひょうじ1的てき平方根へいほうこん組成そせい的てき代數だいすう群ぐん（若わか域いき的てき特徵とくちょう不為ふため$2$，則のり該群大だい致就是ぜ二に元げん群ぐん，且其伽羅きゃら瓦かわら作用さよう平凡へいぼん），則のり短みじか正せい合ごう列れつ

$1\to \mu _{2}\rightarrow {\mbox{Pin}}_{V}\rightarrow {\mbox{O}}_{V}\rightarrow 1$

給きゅう出で上じょう同調どうちょう層そう面めん的てき長正ながまさ合ごう列れつ，其起始はじめ一段いちだん為ため

$1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}({\mbox{Pin}}_{V};K)\to H^{0}({\mbox{O}}_{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K)\to \cdots$

代數だいすう群ぐん的てき$K$系けい數すう零れい階かい伽羅きゃら瓦かわら上じょう同調どうちょう即そく其$K$值點旳群：$H^{0}(G;K)=G(K)$，而 $H^{1}(\mu _{2};K)\cong K^{\times }/(K^{\times })^{2}$，故こ也能從したがえ長正ながまさ合ごう列れつ推導出どうしゅつ上段じょうだん的てき正せい合ごう列れつ

$1\to \{\pm 1\}\to {\mbox{Pin}}_{V}(K)\to {\mbox{O}}_{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},$

其中旋量範はん數すう為ため連接れんせつ同どう態たい$H^{0}({\mbox{O}}_{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K)$。

旋量群ぐん與あずかPin群ぐん

更さら多た信しん息いき：旋量群ぐん、Pin群ぐん和わ旋量

本節ほんぶし假設かせつ$V$有限ゆうげん維，且其雙そう線せん性せい型がた非ひ退化たいか。

Pin群ぐん$\mathrm {Pin} _{V}(K)$為ため利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん$\Gamma$中なか，旋量範はん數すう為ため$1$的てき元素げんそ組成そせい的てき子こ群ぐん。類似るいじ地ち，旋量群ぐん$\mathrm {Spin} _{V}(K)$為ため$\mathrm {Pin} _{V}(K)$中なか，迪すすむ克かつ森もり不ふ變量へんりょう為ため$0$的てき元素げんそ組成そせい的てき子こ群ぐん。當とう特徵とくちょう非ひ$2$時とき，該些元素げんそ即そく行列ぎょうれつ式しき為ため$1$的てき元素げんそ。旋量群ぐん在ざいPin群ぐん的てき指數しすう通常つうじょう為ため$2$。

前ぜん一節いっせつ說明せつめい，利り普あまね希まれ茨いばら群ぐん有ゆう到いた正せい交群的てき滿まん同どう態たい。定義ていぎ特殊とくしゅ正せい交群為ため$\Gamma ^{0}$的まと像ぞう。若わか$K$的てき特徵とくちょう非ひ$2$，則のり特殊とくしゅ正せい交群就是正ぜせい交群中ちゅう，行列ぎょうれつ式しき為ため$1$的てき元素げんそ的てき子こ群ぐん。若わか$K$的てき特徵とくちょう為ため$2$，則のり正せい交群所有しょゆう元素げんそ的てき行列ぎょうれつ式しき皆みな為ため$1$，而特殊とくしゅ正せい交群為ため迪すすむ克かつ森もり不ふ變量へんりょう為ため$0$的てき元素げんそ的てき子こ群ぐん。

也有やゆう從したがえPin群ぐん到いた正せい交群的てき同どう態たい。其像由よし旋量範はん數すう為ため$1\in K^{\times }/(K^{\times })^{2}$的てき元素げんそ組成そせい，而核則そく由ゆかり$+1$和わ$-1$組成そせい（故こ其階為ため$2$，除じょ非ひ特徵とくちょう為ため$2$）。類似るいじ有ゆう由ゆかり$V$的てき旋量群ぐん到いた其特殊とくしゅ正せい交群的てき同どう態たい。

當とう$V$為ため實正じっしょう定じょう或ある負ふ定てい空間くうかん時じ，旋量群ぐん有ゆう滿まん同どう態たい射い到いた特殊とくしゅ正せい交群上じょう，且在$V$至いたり少すくな$3$維時，旋量群ぐん單たん連れん通どおり。更さら甚者，此滿同どう態たい的てき核かく為ため$\{\pm 1\}$。故こ此時，旋量群ぐん$\mathrm {Spin} (n)$為ため$\mathrm {SO} (n)$的てき二に重じゅう覆くつがえ疊たたみ。然しか而，旋量群ぐん在ざい一般情況下未必單連通：若わか$V$為ため$\mathbb {R} ^{p,q}$，其中$p,q$皆みな至いたり少すくな為ため$2$，則のり旋量群ぐん並なみ不ふ單たん連れん通どおり。此情況きょう下か，代數だいすう群ぐん$\mathrm {Spin} _{p,q}$作為さくい代數だいすう群ぐん仍然單たん連れん通どおり，但ただし其實值點群ぐん$\mathrm {Spin} _{p,q}(\mathbb {R} )$則のり不ふ再さい單たん連れん通どおり。

旋量

在ざい$p+q=2n$為ため偶時，克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )$可か表示ひょうじ成なり$2^{n}$維的（複ふく）矩のり陣じん代數だいすう。限きり制せい到いた群ぐん$\mathrm {Pin} _{p,q}(\mathbb {R} )$，則のり得え到いた同どう一いち維數的てきPin群ぐん的てき複ふく表示ひょうじ，稱たたえ為ため旋量表示ひょうじ。若わか再さい限きり制せい到いた旋量群ぐん$\mathrm {Spin} _{p,q}(\mathbb {R} )$上うえ，則のり該表示ひょうじ分解ぶんかい成なり兩個りゃんこ半はん旋量表示ひょうじ（half spin representations，又また稱たたえ外そと爾なんじ表示ひょうじ，Weyl representations）的てき直和なおかず，每まい個こ半はん旋量表示ひょうじ有ゆう$2^{n-1}$維。

若わか$p+q=2n+1$為ため奇き，則のり克かつ里數りすう代數だいすう$\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )$為ため兩個りゃんこ矩のり陣じん代數だいすう的てき直和なおかず，每まい個こ有ゆう$2^{n}$維，且皆為ためPin群ぐん$\mathrm {Pin} _{p,q}(\mathbb {R} )$的てき表示ひょうじ。限きり制せい到いた旋量群ぐん$\mathrm {Spin} _{p,q}(\mathbb {R} )$時とき，兩個りゃんこ矩のり陣じん代數だいすう變へん得え同どう構，故こ旋量群ぐん有ゆう$2^{n}$維的複ふく旋量表示ひょうじ。

更さら一般いっぱん而言，任にん何なん域いき上じょう的てき旋量群ぐん和わPin群ぐん都と有ゆう相似そうじ的てき表示ひょうじ，其結構取決けつ於對應たいおう的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき結構けっこう：每まい當とう克かつ里さと福代ふくしろ數すう有ゆう因子いんし為ため某ぼう個こ除じょ代數だいすう上じょう的てき矩のり陣じん代數だいすう，其Pin群ぐん和わ旋量群ぐん就有該除代數だいすう上じょう的てき對應たいおう表示ひょうじ。在ざい實じつ域いき的てき例れい子こ，參まいり見み旋量條目じょうもく。

實じつ旋量

更さら多た信しん息いき：旋量

為ため描述實じつ旋量表示ひょうじ，需先明白めいはく旋量群ぐん如何いか位い處しょ克かつ里さと福代ふくしろ數すう中ちゅう。Pin群ぐん$\mathrm {Pin} _{p,q}$為ため$\mathrm {Cl} _{p,q}$中なか，可か寫うつし成なり單位たんい向むこう量りょう之の積せき的てき可逆かぎゃく元素げんそ的てき集合しゅうごう：

$\mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i,\ \|v_{i}\|=\pm 1\right\}.$

若わか考慮こうりょ克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき矩のり陣じん表示ひょうじ，則のりpin群ぐん的てき元素げんそ為ため任意にんい多た個こ反射はんしゃ（見み上うえ文ぶん）之の積せき，是ぜ整せい個こ正せい交群$\mathrm {O} (p,q)$的てき覆くつがえ疊たたみ。而旋量群ぐん的てき元素げんそ則そく是ぜ$\mathrm {Pin} _{p,q}$中なか，偶數ぐうすう支ささえ單位たんい向むこう量りょう之の積せき。所以ゆえん，根據こんきょ嘉よしみ當とう－迪すすむ厄やく多た內定理ていり，旋量群ぐん是ぜ旋轉せんてん群ぐん$\mathrm {SO} (p,q)$的てき覆くつがえ疊たたみ。

設しつらえ$\alpha :\mathrm {Cl} \to \mathrm {Cl}$為ため自じ同どう構，其將純じゅん向むこう量りょう$v$映うつ至いたり$-v$，則のり$\mathrm {Spin} _{p,q}$為ため$\mathrm {Pin} _{p,q}$中なか，$\alpha$的てき不動點ふどうてん組成そせい的てき子こ群ぐん。又また設しつらえ

$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.$

（其元素げんそ正せい是ぜ$\mathrm {Cl} _{p,q}$的てき偶次元素げんそ。）則のり旋量群ぐん包含ほうがん於$\mathrm {Cl} _{p,q}^{[0]}$。

$\mathrm {Cl} _{p,q}$的てき不可ふか約やく表示ひょうじ可か以限きり制せい成なりpin群ぐん的てき表示ひょうじ。反はん之これ，由ゆかり於pin群ぐん由よし單位たんい向むこう量りょう生成せいせい，其所有しょゆう不可ふか約やく表示ひょうじ皆みな可か如此導出どうしゅつ，故こ兩者りょうしゃ有一ゆういち樣さま的てき不可ふか約やく表示ひょうじ。同どう理り，旋量群ぐん與あずか$\mathrm {Cl} _{p,q}^{[0]}$有ゆう同樣どうよう的てき不可ふか約やく表示ひょうじ。

要よう將しょうpin群ぐん的てき表示ひょうじ分類ぶんるい，需要じゅよう用よう到いた克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき分類ぶんるい。至いたり於旋量りょう群ぐん的てき表示ひょうじ（與あずか偶子代數だいすう的てき表示ひょうじ一いち樣よう），可か以使用しよう下か列れつ同どう構（見み上うえ文ぶん）：

$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\cong \operatorname {Cl} _{p,q-1},\quad q>0,$

$\operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\cong \operatorname {Cl} _{q,p-1},\quad p>0,$

從したがえ而得知ち，符號ふごう$(p,q)$的てき旋量群ぐん表示ひょうじ就是符號ふごう$(p,q-1)$或ある$(q,p-1)$的てきpin群ぐん表示ひょうじ。

應用おうよう

微分びぶん幾何きか

外そと代數だいすう在ざい微分びぶん幾何きか可用かよう作さく定義ていぎ光ひかり滑すべり流りゅう形がた上うえ的てき微分びぶん形式けいしき叢くさむら。在ざい（偽にせ）黎はじむ曼流形がた的てき情況じょうきょう，每まい個こ切きり空間くうかん上うえ配備はいび自然しぜん的てき二に次じ型がた（由ゆかり度ど規ぶんまわし張はり量りょう導出どうしゅつ）。所以ゆえん，如同外そと叢くさむら，可か以定義ていぎ克かつ里さと福ぶく叢くさむら。在ざい黎はじむ曼幾何なに，克かつ里さと福ぶく叢くさむら有ゆう若干じゃっかん重要じゅうよう應用おうよう，例れい如其與あずか旋量流りゅう形がた、相伴しょうばん的てき旋量叢くさむら、$\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }$流ながれ形がた的てき關聯かんれん。

物理ぶつり

克かつ里さと福代ふくしろ數すう在ざい物理ぶつり有ゆう若干じゃっかん重要じゅうよう應用おうよう。物理ぶつり學がく家か通常つうじょう認定にんてい克かつ里さと福代ふくしろ數すう具有ぐゆう一いち組くみ基もと，其由狄拉克かつ矩のり陣じん$\gamma _{0},\ldots ,\gamma _{3}$生成せいせい。此種矩のり陣じん滿足まんぞく關係かんけい式しき

$\gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}\,$

其中$\eta$為ため記號きごう$(1,3)$（或ある$(3,1)$，度量どりょう記號きごう的てき兩りょう種たね等價とうか選えらべ取ど）的てき二に次じ型がた的てき矩のり陣じん。上うえ列れつ關係かんけい式しき恰好かっこう是ぜ定義ていぎ實じつ克かつ里さと福代ふくしろ數すう$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )$的てき關係かんけい式しき，而該代數だいすう的てき複ふく化か$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }$根據こんきょ克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき分類ぶんるい，同どう構於$4\times 4$複ふく矩のり陣じん的てき代數だいすう$\mathrm {Cl} _{4}(\mathbb {C} )\cong \mathrm {M} _{4}(\mathbb {C} )$。然しか而，在ざい此用法ほう下か，仍需保留ほりゅう$\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }$的てき寫うつし法ほう，因いん為ため將はた雙そう線せん性せい型がた變成へんせい標準ひょうじゅん型がた的てき變換へんかん不ふ屬ぞく時空じくう的てき洛らく伦兹变换。

所以ゆえん，物理ぶつり使用しよう的てき時空じくう克かつ里さと福代ふくしろ數すう比ひ$\mathrm {Cl} _{4}(\mathbb {C} )$有ゆう更さら多おお結構けっこう。例れい如，有ゆう額がく外がい指ゆび明あかり一族いちぞく允許いんきょ的てき變換へんかん，即そく洛らく伦兹变换。視し乎用途ようと，例れい如希望きぼう框かまち架か能のう容よう納おさめ多少たしょう理論りろん，不ふ一定いってい一いち開始かいし便びん要よう複ふく化か，但ただし在ざい量子力學りょうしりきがく，為ため使し李り代數だいすう${\mathfrak {so}}(1,3)$的てき旋量表示ひょうじ能のう包含ほうがん於克里さと福代ふくしろ數すう中ちゅう，通常つうじょう都と須考慮こうりょ複ふく克かつ里さと福代ふくしろ數すう。以下いか列れつ出で定義ていぎ該旋量りょう李り代數だいすう的てき關係かんけい式しき以供參考さんこう：

${\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}$

上うえ式しき按照$(3,1)$記號きごう的てき約定やくじょう，因いん此能放ひ入いれ$\mathrm {Cl} _{3,1}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }$。

狄拉克かつ矩のり陣じん最早もはや由ゆかり保ほ罗·狄拉克かつ寫うつし出で，其時他た正せい嘗試寫ししゃ出で電子でんし的てき相對そうたい論ろん性せい一いち階かい波動はどう方かた程ほど，並なみ試ためし圖ず給きゅう出で由ゆかり克かつ里さと福代ふくしろ數すう到いた複ふく矩のり陣じん代數だいすう的てき明確めいかく同どう構。該些矩のり陣じん後來こうらい用作ようさく定義ていぎ狄拉克かつ方程式ほうていしき和かず引入狄拉克かつ算さん子こ。在ざい量子りょうし場じょう論ろん中なか，整せい個こ克かつ里さと福代ふくしろ數すう以Dirac field bilinear的てき形式けいしき出現しゅつげん。

使用しよう克かつ里さと福代ふくしろ數すう來らい描述量子りょうし理論りろん，推動者しゃ有ゆうMario Schönberg、David Hestenes（幾何きか微積分びせきぶん方面ほうめん）、戴维·玻姆和わBasil Hiley及同事ごと（克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき分ぶん層そう）、Elio Conte等とう。

電腦でんのう視覺しかく

電腦でんのう視覺しかく方面ほうめん，克かつ里さと福代ふくしろ數すう適用てきよう於辨認みとめ和わ分類ぶんるい動作どうさ。米べい基もと·洛らく迪すすむ古こ斯（Mikel Rodriguez）及合作がっさく者しゃ提出ていしゅつ用よう克かつ里さと福ぶく嵌入かんにゅう，將はた傳統でんとう的てき最大さいだい平均へいきん關聯かんれん高度こうど濾子（Maximum Average Correlation Height filter, MACH filter）推廣，套用於影片へん（3D時空じくう體積たいせき）以及向むこう量りょう值數據よりどころ，例れい如光ひかり流りゅう。向むこう量りょう值數據よりどころ需以克かつ里さと福ぶく傅でん立葉たてば變換へんかん分析ぶんせき。基もと於該些向量りょう，能のう在ざい克かつ里さと福ぶく傅でん立葉たてば域いき中ちゅう，合成ごうせい出動しゅつどう作さく濾子，然しか後こう用よう克かつ里さと福ぶく關聯かんれん來らい辨べん認みとめ動作どうさ。論文ろんぶん作者さくしゃ用よう克かつ里さと福ぶく嵌入かんにゅう，分ふん辨べん出で傳統でんとう劇げき情じょう長ちょう片かた和わ體育たいいく廣こう播的常見つねみ動作どうさ，以論證ろんしょう其方法ほう有效ゆうこう。

推廣

• 本ほん條目じょうもく只ただ考慮こうりょ域いき上じょう的てき向むこう量りょう空間くうかん的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう，但ただし同樣どうよう可か定義ていぎ任にん何なん單位たんい結合けつごう交換こうかん環たまき上じょう的てき模も的てき克かつ里さと福代ふくしろ數すう。
• 亦また在ざい克かつ里さと福代ふくしろ數すう的てき定義ていぎ中ちゅう，將はた二次型推廣成更高次的映射。

會議かいぎ與あずか期き刊かん

克かつ里さと福代ふくしろ數すう和わ幾何きか代數だいすう，以及相關そうかん的てき跨またが學科がっか研究けんきゅう，是ぜ活躍かつやく的てき研究けんきゅう主題しゅだい，且有廣こう泛的應用おうよう。此學科か的てき學術がくじゅつ會議かいぎ包括ほうかつ克かつ里さと福代ふくしろ數すう及其在ざい數學すうがく物理ぶつり的てき應用おうよう國際こくさい會議かいぎ（ICCA） （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）及幾何きか代數だいすう在ざい電腦でんのう科學かがく及工程ほど學的がくてき應用おうよう（AGACSE） （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）兩個りゃんこ系列けいれつ。期き刊かん包括ほうかつ斯普林はやし格かく出版しゅっぱん的てき《應用おうよう克かつ里さと福代ふくしろ數すう進展しんてん》。