单射

在ざい數學すうがく裡うら，單たん射い函數かんすう（或ある稱しょう嵌はま射い函數かんすう、一對一いちたいいち函數かんすう，英文えいぶん稱しょうinjection、injective function 或ある one-to-one function）為一ためいち函數かんすう，其將不同ふどう的てき輸入ゆにゅう值對應おう到いた不同ふどう的てき函數かんすう值上。更さら精確せいかく地ち說せつ，函數かんすうf被ひ稱しょう為ため是ぜ單たん射的しゃてき，當とう對たい每ごと一いち陪域內的y，存在そんざい最多さいた一いち個こ定義ていぎ域いき內的x使つかい得とくf(x) = y。

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  單たん射い但ただし非ひ满射的てき函數かんすう（不ふ是ぜ双そう射い函数かんすう）
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  單たん射い且满射的しゃてき函數かんすう（是ぜ双そう射しゃ函数かんすう）
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  非ひ單たん射しゃ但ただし满射的てき函數かんすう（不ふ是ぜ双そう射しゃ函数かんすう）
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  非ひ單たん射い也非滿まん射的しゃてき函數かんすう（也不是ぜ雙そう射しゃ函數かんすう）

由よし從したがえX 映うつ射い至いたりY 的てき單たん射い函數かんすう所しょ組成そせい的てき集合しゅうごう標記ひょうき為ためY^X，該符號ごう的てき由來ゆらい為ため下降かこう階かい乘じょう冪べき。當とうX 及Y 分別ふんべつ為ため具有ぐゆうm 個こ及n 個こ元素げんそ的てき有限ゆうげん集合しゅうごう時じ，從したがえX 映うつ射い至いたりY 的てき單たん射い函數かんすう數量すうりょう可か以以下降かこう階かい乘じょう冪べき表示ひょうじ為ためn^m。

定義ていぎ

令れいf 為一ためいち函數かんすう，且其定義ていぎ域いき為一ためいち集合しゅうごうX，若わか且唯若わか對たい所有しょゆう於X 內的元素げんそa 及b，當とうf(a) = f(b)時とき，a = b，則のり該函數すう為ため單たん射い函數かんすう；等價とうか地ち說せつ，當とうa ≠ b時とき，f(a) ≠ f(b)。

以邏輯符號ごう表示ひょうじ如下：

$\forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$

依よ換かわ質しつ換かわ位くらい律りつ，該敘述じゅつ邏輯等價とうか於

$\forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)$

例れい子こ與あずか反例はんれい

• 對たい任にん一いち集合しゅうごうX，X上うえ的てき恆等こうとう函數かんすう為ため單たん射的しゃてき。
• 函數かんすうf : R → R，其定義ていぎ為ためf(x) = 2x + 1，是ぜ單たん射的しゃてき。
• 函數かんすうg : R → R，其定義ていぎ為ためg(x) = x²，不ふ是ぜ單たん射的しゃてき，因よし為ためg(1) = 1 = g(−1)。但ただし若わか將しょうg的てき定義ていぎ域いき限げん在ざい非負ひふ實數じっすう[0,+∞)內，則のりg是ぜ單たん射的しゃてき。
• 指數しすう函數かんすう$\exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$是ぜ單たん射的しゃてき。
• 自然しぜん對數たいすう函數かんすう$\ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}$是ぜ單たん射的しゃてき。
• 函數かんすう$g:\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{3}-x$，不ふ是ぜ單たん射的しゃてき，因よし為ため g(0) = g(1)。

形象けいしょう化か地ち說せつ，當とう定義ていぎ域いき和わ到達とうたつ域いき都と是ぜ實數じっすう集しゅう R時とき，單たん射い函數かんすうf : R → R為ため一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。

單たん射い函數かんすう為ため可逆かぎゃく函數かんすう

具有ぐゆう左ひだり反はん函數かんすう的てき函數かんすう，必為單たん射しゃ。此處ここ的てき條件じょうけん（具有ぐゆう左ひだり反はん函數かんすう），比ひ具有ぐゆう反はん函數かんすう弱じゃく：給きゅう定じょう一いち函數かんすうf : X → Y，若わか存在そんざい一いち函數かんすうg : Y → X，使つかい得とく對たいX內的每ごと個こ元素げんそx，

g(f(x)) = x，

則のり稱しょうg為ためf的てき左ひだり反はん函數かんすう，而上式しき也就推出f為ため單たん射い函數かんすう。

相反あいはん地ち，每まい個こ具ぐ非ひ空そら定義ていぎ域いき的てき單たん射い函數かんすうf 都會とかい有ゆう個こ左ひだり反はん函數かんすうg。須注意ちゅうい的てき是ぜ，g 不ふ一定いってい會かい是ぜf 的てき反はん函數かんすう，因いん為ため相反あいはん順序じゅんじょ的てき函數かんすう複ふく合あいf ∘ g 不ふ一定いってい也會是ぜY 上うえ的てき恆等こうとう函數かんすう。

事實じじつ上じょう，要よう將一しょういち單たん射い函數かんすうf : X → Y變成へんせい雙そう射い函數かんすう，只ただ需要じゅよう將はた其陪域いきY替かえ換かわ成なる其值域いきJ = f(X)就行了りょう。亦また即そく，令れいg : X → J，使つかい其對所有しょゆうX內的x，g(x) = f(x)；如此g便びん為ため滿まん射的しゃてき了りょう。確實かくじつ，f可か以分解ぶんかい成なりincl_J,Yog，其中incl_J,Y是ぜ由ゆかりJ到いたY的てき內含映射しゃ。

其他性質せいしつ

• 若わかf和わg皆みな為ため單たん射的しゃてき，則のりf o g亦また為ため單たん射的しゃてき。

單たん射い複ふく合あい

• 若わかg o f為ため單たん射的しゃてき，則のりf為ため單たん射的しゃてき（但ただしg不ふ必然ひつぜん要よう是ぜ）。
• f : X → Y是ぜ單たん射的しゃてき若わか且唯若わか當とう給きゅう定てい兩りょう函數かんすうg, h : W → X會かい使し得とくf o g = f o h時とき，則のりg = h。
• 若わかf : X → Y為ため單たん射的しゃてき且A為ためX的てき子こ集しゅう，則のりf ⁻¹(f(A)) = A。
• 若わかf : X → Y是ぜ單たん射的しゃてき且A和わB皆みな為ためX的てき子こ集しゅう，則のりf(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
• 任にん一いち函數かんすう h : W → Y 皆みな可か分解ぶんかい為ため h = f o g 其中 f 是ぜ單たん射い而 g 是ぜ滿まん射しゃ。此分解ぶんかい至いたり多た差さ一いち個こ自然しぜん同どう構， f 可か以設想そう為ため從したがえ h(W) 到いた Y 的てき內含映射しゃ。
• 若わか f : X → Y 是ぜ單たん射い，則のり在ざい基數きすう的てき意義いぎ下か Y 的てき元素げんそ數量すうりょう不ふ少しょう於 X。
• 若わか X 與あずか Y 皆みな為ため有限ゆうげん集しゅう，則のり f : X → Y 是ぜ單たん射い若わか且唯若わか它是滿まん射しゃ。
• 內含映射しゃ總そう是ぜ單たん射しゃ。

範疇はんちゅう論ろん的てき觀點かんてん

以範疇はんちゅう論ろん的まと語ご言げん來らい說せつ，單たん射い函數かんすう恰好かっこう是ぜ集合しゅうごう範疇はんちゅう內的單たん態たい射しゃ。

另見

• 雙そう射い
• 單たん射い模も
• 單たん態たい射しゃ
• 满射

參考さんこう文獻ぶんけん

• Bartle, Robert G., The Elements of Real Analysis 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1976, ISBN 978-0-471-05464-1 , p. 17 ff.
• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, New York: Springer, 1974, ISBN 978-0-387-90092-6 , p. 38 ff.

外部がいぶ連結れんけつ

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）