Από τ たう η いーた τ たう η いーた ν にゅー
Σ しぐま τ たう α あるふぁ μαθηματικά , μία συνάρτηση
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\rightarrow B}
συνόλων
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
ένα προς ένα (1-1) ή ερριπτική [1] αμφιμονότιμη , α あるふぁ ν にゅー α あるふぁ ν にゅー
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)=f(y)}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
γ がんま ι いおた α あるふぁ
x
,
y
{\displaystyle x,y}
σ しぐま τ たう ο おみくろん
A
{\displaystyle A}
ο おみくろん Α あるふぁ ν にゅー
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
f
(
x
)
≠
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\neq f(y)}
γ がんま ι いおた α あるふぁ
x
,
y
{\displaystyle x,y}
σ しぐま τ たう ο おみくろん
A
{\displaystyle A}
[2] :4
Μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα) σ しぐま ε いぷしろん
Δ でるた
{\displaystyle \Delta }
σ しぐま ε いぷしろん
Συμβολικά, μία συνάρτηση
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\rightarrow B}
ένας-προς-ένα α あるふぁ ν にゅー
∀
x
,
y
∈
A
.
f
(
x
)
=
f
(
y
)
⇒
x
=
y
,
{\displaystyle \forall x,y\in A.\ f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,}
τ たう ο おみくろん μ みゅー ε いぷしろん
∀
x
,
y
∈
A
.
x
≠
y
⇒
f
(
x
)
≠
f
(
y
)
.
{\displaystyle \forall x,y\in A.\ x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).}
Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα συναρτήσεων π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん κ かっぱ α あるふぁ ι いおた π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん δ でるた ε いぷしろん ν にゅー μ みゅー ε いぷしろん τ たう η いーた ν にゅー σ しぐま ε いぷしろん ν にゅー α あるふぁ μ みゅー η いーた ν にゅー
Η いーた
f
:
N
→
N
{\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
μ みゅー ε いぷしろん
f
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle f(x)=x+1}
Η いーた
f
:
[
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }
μ みゅー ε いぷしろん
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
η いーた
g
:
R
→
R
{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
μ みゅー ε いぷしろん
g
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle g(x)=x^{2}}
δ でるた ε いぷしろん ν にゅー
g
(
3
)
=
g
(
−
3
)
=
9
{\displaystyle g(3)=g(-3)=9}
Η いーた
f
:
[
−
1
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f:[-1,\infty )\to \mathbb {R} }
μ みゅー ε いぷしろん
f
(
x
)
=
|
x
+
1
|
{\displaystyle f(x)=|x+1|}
η いーた
g
:
R
→
R
{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
μ みゅー ε いぷしろん
g
(
x
)
=
|
x
+
1
|
{\displaystyle g(x)=|x+1|}
δ でるた ε いぷしろん ν にゅー
|
2
+
1
|
=
|
(
−
4
)
+
1
|
=
3
{\displaystyle |2+1|=|(-4)+1|=3}
H συνάρτηση προσήμου
s
g
n
:
R
→
R
{\displaystyle \mathrm {sgn} :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
δ でるた ε いぷしろん ν にゅー η いーた
s
:
{
−
1
,
0
,
1
}
→
{
−
1
,
0
,
1
}
{\displaystyle s:\{-1,0,1\}\to \{-1,0,1\}}
μ みゅー ε いぷしろん
s
(
x
)
=
x
{\displaystyle s(x)=x}
Η いーた ταυτοτική συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα.Η いーた
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
μ みゅー ε いぷしろん
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
γ がんま ι いおた α あるふぁ
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
Κάθε γνησίως μονότονη πραγματική συνάρτηση
f
:
Δ でるた →
R
{\displaystyle f:\Delta \to \mathbb {R} }
γ がんま ι いおた α あるふぁ
Δ でるた ⊆
R
{\displaystyle \Delta \subseteq \mathbb {R} }
Η いーた σύνθεση δύο ένα-προς-ένα συναρτήσεων
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた
g
:
B
→
C
{\displaystyle g:B\to C}
[3]
Απόδειξη
Ας θεωρήσουμε
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
f
(
y
)
)
{\displaystyle g(f(x))=g(f(y))}
Τότε, από τ たう η いーた ν にゅー
g
{\displaystyle g}
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
f
(
y
)
)
⇒
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle g(f(x))=g(f(y))\Rightarrow f(x)=f(y)}
Αντίστοιχα, από τ たう η いーた ν にゅー
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
⇒
x
=
y
{\displaystyle f(x)=f(y)\Rightarrow x=y}
Ενώνοντας τις συνεπαγωγές, λαμβάνουμε ότι
∀
x
,
y
.
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
f
(
y
)
)
⇒
x
=
y
{\displaystyle \forall x,y.\ g(f(x))=g(f(y))\Rightarrow x=y}
