限きり制せい (數學すうがく)

在ざい数学すうがく中なか，映うつ射い的てき限きり制せい $f$ 是ぜ一个新的映射，记作 $f\vert _{A}$ 或ある者もの $f{\upharpoonright _{A}}$ ，它是通どおり过为原ばら来らい的てき映うつ射い $f$ 选择一いち个更小しょう的てき定てい义域 $A$ 来らい得え到いた的てき。反はん过来，也称映うつ射い $f$ 是ぜ映うつ射い $f\vert _{A}$ 的てき扩张。

正式せいしき定てい义

设 $f:E\to F$ 是ぜ一いち个集合しゅうごう $E$ 到いた集合しゅうごう $F$ 的てき映うつ射しゃ。如果 $A$ 是これ $E$ 的てき子こ集しゅう，那な么称满足 $\forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)$ 的てき映うつ射い^[1] ${f|}_{A}:A\to F$ 是ぜ映うつ射い $f$ 在ざい $A$ 上うえ的てき限きり制せい。不正ふせい式しき地ち说， ${f|}_{A}$ 是ぜ和わ $f$ 相あい同どう的てき映うつ射い，但ただし只ただ定てい义在 $A$ 上うえ。

如果将はた映うつ射い $f$ 看み作さく一いち种在笛ふえ卡尔积 $E\times F$ 上うえ的てき关系 $(x,f(x))$ ，然しか后きさき $f$ 在ざい $A$ 上うえ的てき限きり制せい可か以用它的图像来らい表示ひょうじ：

G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),

其中 $(x,f(x))$ 表示ひょうじ图像 $G$ 中なか的てき有ゆう序じょ对。

扩张

映うつ射い $F$ 称しょう为另一いち映うつ射的しゃてき $f$ 的てき扩张，当とう且仅当とう $F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f$ 。也就是ぜ说同时满足下あしもと面めん两个条件じょうけん：

属ぞく于 $f$ 之これ定てい义域的てき $x$ 必然ひつぜん也在 $F$ 的てき定てい义域中ちゅう，即そく $\operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)$ ；
$f$ 和わ $F$ 在ざい它们共同きょうどう的てき定てい义域上じょう的てき行ぎょう为相同どう，即そく $\forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)$ 。

具有ぐゆう特定とくてい性せい质的扩张

数学すうがく上じょう经常需要じゅよう将しょう一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求ようきゅう扩张后きさき的てき结果仍具有ぐゆう该性质，但ただし扩张后きさき。如寻找一个线性映射 $f$ 的てき扩张映射しゃ $F$ ，且 $F$ 仍是线性的てき，这时说 $F$ 是これ $f$ 的てき一いち个线性扩张，或ある者もの说；寻找一いち个连续映うつ射い $f$ 的てき扩张映射しゃ $F$ ，且 $F$ 仍连续，则称为进行ぎょう了りょう连续扩张；诸如此类。

具有ぐゆう特定とくてい性せい质的扩张可能かのう是ぜ唯一ゆいいつ的てき，这时则不必给出で扩张映射しゃ $F$ 的てき详细定てい义，如稠密ちゅうみつ子こ集しゅう到いた豪ごう斯多夫おっと空そら间的てき映うつ射的しゃてき连续扩张。

例れい子こ

非ひ单射函数かんすう $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}$ 在ざい域いき $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ 上うえ的てき限きり制せい是ぜ $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ ，而这是ぜ一いち个单射しゃ。
将はたΓがんま函数かんすう限きり制せい在ざい正せい整数せいすう集しゅう上じょう，并将变量平たいら移うつり $1$ ，就得到いた阶乘函数かんすう： ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$ 。

限きり制せい的てき性せい质

映うつ射い $f:X\rightarrow Y$ 在ざい其整个定义域 $X$ 上うえ的てき限きり制せい即そく是ぜ原げん函数かんすう，即そく $f|_{X}=f$ 。
对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只ただ要よう最さい终的定てい义域一いち样。也就是ぜ说，若わか $A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)$ ，则 $\left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}$ 。
集合しゅうごう $X$ 上うえ的てき恒等こうとう映うつ射い在ざい集合しゅうごう $A$ 上うえ的てき限きり制せい即そく是これ $A$ 到いた $X$ 的てき包つつみ含映射しゃ。^[2]
连续函数かんすう的まと限げん制せい是ぜ连续的てき。^[3] ^[4]

應用おうよう

反はん函數かんすう

若わか某ぼう函數かんすう存在そんざい反はん函數かんすう，其映射しゃ必為單たん射い。若わか映うつ射い $f$ 非ひ單たん射い，可か以限制せい其定義ていぎ域いき以定義ていぎ其一部分ぶぶん的てき反はん函數かんすう。如：

　　 $f(x)=x^{2}$

因よし為ため $x^{2}=(-x)^{2}$ ，故こ非ひ單たん射しゃ。但ただし若わか將しょう定義ていぎ域いき限げん制せい到いた $x\geq {0}$ 時どき該映射しゃ為ため單たん射い，此時有ゆう反はん函數かんすう

　　 $f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$

（若わか限きり制せい定義ていぎ域いき至いたり $x\leq {0}$ ，輸出ゆしゅつ $y$ 的てき負ふ平方根へいほうこん的てき函數かんすう為ため反はん函數かんすう。）另外，若わか允許いんきょ反はん函數かんすう為ため多た值函数すう，則のり無む需限制せい原げん函數かんすう的てき定義ていぎ域いき。

粘ねば接せっ引理

點てん集しゅう拓ひらけ撲なぐ學がく中なか的てき粘ねば接せっ引理聯れん繫了函數かんすう的てき連續れんぞく性せい與あずか限きり制せい函數かんすう的てき連續れんぞく性せい。

設しつらえ拓ひらけ撲なぐ空間くうかん

A

的てき子こ集しゅう

X,\ Y

同時どうじ為ため開ひらけ或ある閉，且滿足まんぞく

A=X\cup {Y}

，設しつらえ

B

為ため拓ひらけ撲なぐ空間くうかん。若わか映うつ射い

f:A\to {B}

到いた

X

及

Y

的まと限げん制せい都と連續れんぞく，則のり

f

也是連續れんぞく的てき。

基もと於此結論けつろん，粘ねば接せっ在ざい拓ひらけ撲なぐ空間くうかん中ちゅう的てき開ひらけ或ある閉集合しゅうごう上じょう定義ていぎ的てき兩個りゃんこ連續れんぞく函數かんすう，可か以得到いた一いち個こ新しん的てき連續れんぞく函數かんすう。

層そう

層そう將はた函數かんすう的てき限きり制せい推廣到いた其他物件ぶっけん的てき限きり制せい。

層そう論ろん中なか，拓ひらけ撲なぐ空間くうかん $X$ 的まと每ごと個こ開ひらき集しゅう $U$ ，有ゆう另一いち個こ範疇はんちゅう中なか的てき物件ぶっけん $F(U)$ 與あずか之これ對應たいおう，其中要求ようきゅう $F$ 滿足まんぞく某ぼう些性質しつ。最さい重要じゅうよう的てき性質せいしつ是ぜ，若わか一個開集包含另一個開集，則のり對應たいおう的てき兩個りゃんこ物件ぶっけん之の間あいだ有ゆう限きり制せい態たい射しゃ，即そく若わか $V\subseteq U$ ，則のり有ゆう態たい射しゃ $\mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)$ ，且該些態射しゃ應おう仿照函數かんすう的てき限きり制せい，滿足まんぞく下か列れつ條件じょうけん：

對たい $X$ 的まと每ごと個こ開ひらき集しゅう $U$ ，限きり制せい態たい射しゃ $\mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)$ 為ため $F(U)$ 上うえ的てき恆等こうとう態たい射しゃ。
若わか有ゆう三さん個こ開ひらけ集しゅう $W\subseteq V\subseteq U$ ，則のり複ふく合あい $\mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}$ 。
（局部きょくぶ性せい）若わか $(U_{i})$ 為ため某ぼう個こ開ひらき集しゅう $U$ 的てき開ひらけ覆くつがえ蓋ぶた，且 $s,t\in F(U)$ 滿足まんぞく：對たい所有しょゆう $i$ ， $s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}$ ，則のり $s=t$ 。
（黏合) 若わか $(U_{i})$ 為ため某ぼう個こ開ひらき集しゅう $U$ 的てき開ひらけ覆くつがえ蓋ぶた，且對每ごと個こ $i$ ，給きゅう定てい截面 $s_{i}\in F(U_{i})$ ，使つかい得とく對たい任意にんい兩個りゃんこ $i,j$ ，都みやこ有ゆう $s_{i},s_{j}$ 在ざい定義ていぎ域いき重疊ちょうじょう部分ぶぶん重合じゅうごう（即そく $s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}$ ），則のり存在そんざい截面 $s\in F(U)$ 使つかい得とく對たい所有しょゆう $i$ ， $s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}$ 。

所謂いわゆる拓ひらけ撲なぐ空間くうかん $X$ 上うえ的てき層そう，就是該些物件ぶっけん $F(U)$ 和かず態たい射しゃ $\mathrm {res} _{V,U}$ 組成そせい的てき整體せいたい $(F,\mathrm {res} )$ 。若わか僅滿足まんぞく前ぜん兩りょう項こう條件じょうけん，則のり稱たたえ為ため預あずか層そう。

引注

^ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
^ Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.

[Stoll-1] Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9.

[2] Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).

[3] Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.

[4] Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

各種かくしゅ函數かんすう
$x \mapsto f (x)$
不同ふどう定義ていぎ域いき和わ陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英えい语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英えい语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英えい语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英えい语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英えい语：Function of several complex variables） $X$
函數かんすう類るい/性質せいしつ
常つね值恆等こうとう線せん性せい多項式たこうしき有理ゆうり代數だいすう解析かいせき光ひかり滑すべり連續れんぞく可か測はか單たん射い满射双そう射い
構造こうぞう
限きり制せい複ふく合あい λらむだ逆ぎゃく
推廣
偏へん（英えい语：Partial function）多た值隱かくれ
查论编