复合函数 かんすう (英語 えいご :Function composition ),又 また 稱 たたえ 作 づく 合成 ごうせい 函數 かんすう ,在 ざい 数学 すうがく 中 ちゅう 是 ぜ 指 ゆび 逐点 地 ち 把 わ 一 いち 个函数 かんすう 作用 さよう 于另一个函数的结果,所得 しょとく 到 いた 的 てき 第 だい 三 さん 个函数 すう 。例 れい 如,函数 かんすう f : X → Y 和 わ g : Y → Z 可 か 以复合 あい ,得 とく 到 いた 从 X 中 なか 的 てき x 映 うつ 射 い 到 いた Z 中 なか g (f (x )) 的 てき 函数 かんすう 。直 ちょく 观来说,如果 z 是 これ y 的 てき 函数 かんすう ,y 是 これ x 的 てき 函数 かんすう ,那 な 么 z 是 これ x 的 てき 函数 かんすう 。得 え 到 いた 的 てき 复合函数 かんすう 记作 g ∘ f : X → Z ,定 てい 义为对 X 中 なか 的 てき 所有 しょゆう x ,(g ∘ f )(x ) = g (f (x )) 。[note 1] 直 ちょく 观地说,复合两个函数 かんすう 是 これ 把 わ 两个函数 かんすう 链接在 ざい 一 いち 起 おこり 的 てき 过程,内 ない 函数 かんすう 的 てき 输出就是外 がい 函数 かんすう 的 てき 输入。
函数 かんすう 的 てき 复合是 ぜ 关系复合的 てき 一 いち 个特例 れい ,因 いん 此复合 あい 关系的 てき 所有 しょゆう 性 せい 质也适用于函数 すう 的 てき 复合。[1] 复合函数 かんすう 还有一些其他性质。
定義 ていぎ [ 编辑 ]
考慮 こうりょ 到 いた 函數 かんすう 的 てき 值域 跟定 てい 义域 ,要 よう 簡單 かんたん 的 てき 以“計算 けいさん 式 しき ”,如把所有 しょゆう
(
x
,
x
+
1
)
{\displaystyle (x,\,x+1)}
和 わ
(
y
,
y
)
{\displaystyle (y,\,{\sqrt {y}})}
的 てき 有 ゆう 序 じょ 对頭 あたま 接尾 せつび 的 てき 這樣直觀 ちょっかん 定義 ていぎ “合成 ごうせい ”是 ぜ 會 かい 遇 ぐう 到 いた 問題 もんだい 的 てき ,像 ぞう 是 これ 把 わ
x
{\displaystyle x}
取 と 為 ため 实数 ,這樣把 わ
x
+
1
{\displaystyle x+1}
很自然 しぜん 的 てき 對 たい 接 せっ 到 いた
y
{\displaystyle y}
然 しか 後 ご 開 ひらけ 根號 こんごう 成 なり
y
{\displaystyle {\sqrt {y}}}
,是 ぜ 會 かい 遇 ぐう 到 いた 對 たい 負數 ふすう 開 ひらき 根號 こんごう ,出現 しゅつげん 非 ひ 單一 たんいつ 值的問題 もんだい (請參見 み 棣莫弗 どる 公式 こうしき ),就算不 ふ 考慮 こうりょ 單一 たんいつ 值的問題 もんだい ,我 わが 們期望 もち 的 てき “合成 ごうせい 函數 かんすう ”的 てき 值域到底 とうてい 該不該包含 ほうがん 複數 ふくすう 呢?所以 ゆえん (1) 我 わが 們一開始 かいし 就要把 わ 準備 じゅんび “合成 ごうせい ”的 てき 兩個 りゃんこ 函數 かんすう 的 てき 值域跟定義 ていぎ 域 いき 劃分清楚 せいそ (2) 要 よう 考慮 こうりょ 到 いた 對 たい 接 せっ 的 てき 時候 じこう ,前面 ぜんめん 的 てき 值域跟後面 めん 的 てき 值域不 ふ 一定 いってい 相等 そうとう 的 てき 問題 もんだい 。
如果我 わが 們有兩個 りゃんこ 函數 かんすう
f
{\displaystyle f}
和 わ
g
{\displaystyle g}
,而兩者 しゃ 的 てき 定義 ていぎ 域 いき 分別 ふんべつ 是 ぜ
D
f
{\displaystyle D_{f}}
和 わ
D
g
{\displaystyle D_{g}}
;值域分別 ふんべつ 是 ぜ
I
f
{\displaystyle I_{f}}
和 わ
I
g
{\displaystyle I_{g}}
。如果
I
f
∩
D
g
≠
∅
{\displaystyle I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing }
,那 な 我 わが 們定義 ていぎ 合成 ごうせい 函數 かんすう 為 ため
g
∘
f
:=
{
(
x
,
z
)
|
(
∃
y
∈
I
f
∩
D
g
)
[
y
=
f
(
x
)
∧
z
=
g
(
y
)
]
}
{\displaystyle g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}}
直觀 ちょっかん 上 じょう 來 き 說 せつ ,如果
f
{\displaystyle f}
的 てき “輸出 ゆしゅつ 範圍 はんい ”是 ぜ 有 ゆう 一 いち 部分 ぶぶん 在 ざい
g
{\displaystyle g}
的 てき “輸入 ゆにゅう 範圍 はんい ”,那 な 我 わが 們就可 か 以定義 ていぎ “先 さき 作用 さよう
f
{\displaystyle f}
再 さい 作用 さよう
g
{\displaystyle g}
”的 てき 函數 かんすう ,但 ただし 這個“新 しん 合成 ごうせい ”的 てき 函數 かんすう 的 てき 定義 ていぎ 域 いき 可能 かのう 會 かい 因 いん 此被限 げん 縮 ちぢみ (輸出 ゆしゅつ 值處在 ざい 兩者 りょうしゃ 交集的 てき 那 な 些
x
{\displaystyle x}
而已)。注意 ちゅうい 到 いた 每 まい 個 こ
x
{\displaystyle x}
只 ただ 會 かい 有 ゆう 一 いち 個 こ 輸出 ゆしゅつ 值
y
{\displaystyle y}
,而每個 こ
y
{\displaystyle y}
只 ただ 會 かい 有 ゆう 一 いち 個 こ 輸出 ゆしゅつ 值
z
{\displaystyle z}
,所以 ゆえん 這樣“先 さき 作用 さよう
f
{\displaystyle f}
再 さい 作用 さよう
g
{\displaystyle g}
”的 てき 話 ばなし ,每 まい 個 こ
x
{\displaystyle x}
只 ただ 會 かい 有 ゆう 一 いち 個 こ 輸出 ゆしゅつ 值
z
{\displaystyle z}
而已,這確保 かくほ 了 りょう
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
符合 ふごう 我 わが 們對函數 かんすう 的 てき 要求 ようきゅう 。
绝对值 函数 かんすう 与 あずか 三 さん 次 じ 函數 かんすう ,两个实 函数 かんすう 以不同 ふどう 的 てき 次序 じじょ 复合。这表明 ひょうめい 了 りょう 函数 かんすう 复合不 ふ 遵守 じゅんしゅ 交换律 りつ
当 とう
g
∘
f
=
f
∘
g
{\displaystyle g\circ f=f\circ g}
时(注意 ちゅうい 這是集合 しゅうごう 的 てき 相等 そうとう !),我 わが 们会说
g
{\displaystyle g}
和 わ
f
{\displaystyle f}
是 これ 可 か 交换的 てき 。
兩個 りゃんこ 一對一 いちたいいち 函數 かんすう 的 てき 合成 ごうせい 函數 かんすう 也是一對一 いちたいいち 的 てき 。
涉 わたる 及到可 か 导函数 すう 的 てき 复合函数 かんすう 的 てき 导数 ,可 か 以用链式法 ほう 则 求 もとめ 得 う 。Faà di Bruno公式 こうしき 给出了 りょう 复合函数 かんすう 的 てき 高 こう 阶导数 すう 的 まと 表 ひょう 达式。
例 れい 子 こ [ 编辑 ]
g ∘ f ,f 与 あずか g 的 てき 复合。例 れい 如,(g ∘ f )(c) = # .
两个函数 かんすう 复合的 てき 具体 ぐたい 例 れい 子 こ
有限 ゆうげん 集 しゅう 上 じょう 的 てき 函数 かんすう 复合:若 わか f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)} ,g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)} ,则 g ∘ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)} .
无限集 しゅう 上 うえ 的 てき 函数 かんすう 复合:若 わか f : ℝ → ℝ (其中 ℝ 是 ぜ 所有 しょゆう 实数 的 てき 集合 しゅうごう )表 おもて 达式为 f (x ) = 2x + 4 ,而 g : ℝ → ℝ 表 おもて 达式为 g (x ) = x 3 ,则:
(f ∘ g )(x ) = f (g (x )) = f (x 3 ) = 2x 3 + 4 , and
(g ∘ f )(x ) = g (f (x )) = g (2x + 4) = (2x + 4)3 .
如果一 いち 架 か 飞机在 ざい t 时刻的 てき 海拔 かいばつ 为 h (t ) ,而海拔 かいばつ x 处的氧气浓度为 c (x ) ,那 な 么 (c ∘ h )(t ) 描述了 りょう t 时刻飞机周 しゅう 围的氧气浓度 。
复合幺半群 ぐん [ 编辑 ]
假 かり 设我们有两个(或 ある 多 た 个)函数 かんすう f : X → X , g : X → X ,定 てい 义域与 あずか 到 いた 达域相 しょう 同 どう ;这些函数 かんすう 一般 いっぱん 称 しょう 作 さく 变换。于是,我 わが 们可以构造 づくり 多 た 个变换复合 あい 而成的 てき 链,比 ひ 如 f ∘ f ∘ g ∘ f 。这种链具有 ぐゆう 幺半群 ぐん 的 てき 代数 だいすう 结构 ,称 しょう 作 さく 变换幺半群 ぐん 或 ある 者 もの 复合幺半群 ぐん 。通常 つうじょう ,变换幺半群 ぐん 可 か 以具有 ぐゆう 非常 ひじょう 复杂的 てき 结构。一个很有名的例子是德 とく 拉 ひしげ 姆曲线 。所有 しょゆう 函数 かんすう f : X → X 的 てき 集合 しゅうごう 称 しょう 作 さく X 上 うえ 的 てき 全 ぜん 变换半 はん 群 ぐん [2] 或 ある 对称半 はん 群 ぐん [3] 。(我 わが 们其实可以定义两个半群 ぐん ,这取决于定 てい 义半群 ぐん 运算为函数 すう 左 ひだり 复合和 わ 右 みぎ 复合的 てき 方式 ほうしき 。[4] )
把 わ △EFA 变换为△ATB的 てき 相似 そうじ 性 せい 是 これ 位 くらい 似 に H 和 かず 以 S 为中心 ちゅうしん 的 てき 旋转 R 的 てき 复合。例 れい 如,A 在 ざい 旋转R下 した 的 てき 像 ぞう 是 これ U ,可 か 以写作 さく R (A ) = U 。而 H (U ) = B 表示 ひょうじ 映 うつ 射 い H 把 わ U 变换到了 りょう B 。因 よし 此,H (R (A )) = (H ∘ R ) (A ) = B 。
如果变换是 ぜ 双 そう 射 い (也就可逆 かぎゃく ),则这些函数 すう 所有 しょゆう 可能 かのう 的 てき 组合就构成 なり 了 りょう 一 いち 个变换群 ぐん ;可 か 以说这个群 ぐん 是 ぜ 由 よし 这些函数 かんすう 生成 せいせい 的 てき 。这就引出了 りょう 群 ぐん 论里面 めん 的 てき 凱萊定理 ていり 从本质上表明 ひょうめい ,(在 ざい 同 どう 构意 い 义下)任 にん 何 なん 群 ぐん 都 みやこ 是 ただし 某 ぼう 一置换群的子群。[5]
所有 しょゆう 双 そう 射 い 函数 かんすう f : X → X (称 しょう 作 さく 置換 ちかん )的 てき 集合 しゅうごう 构成了 りょう 一个关于复合算子的群。这就是 ぜ 对称群 ぐん ,有 ゆう 时称作 さく 复合群 ぐん 。
在 ざい (所有 しょゆう 变换的 てき )对称半 はん 群 ぐん 中 ちゅう ,我 わが 们还可 か 以发现一个较弱 じゃく 的 てき 、非 ひ 唯 ただ 一 いち 的 てき 逆 ぎゃく 变换(称 しょう 作 さく 伪逆),因 いん 为对称 しょう 子 こ 群 ぐん 是 ぜ 一 いち 个正则半群 ぐん 。[6]
函数 かんすう 幂[ 编辑 ]
如果 Y ⊆ X ,则 f : X →Y 有 ゆう 可能 かのう 可 か 以与自身 じしん 复合;这有时候记作 f 2 。即 そく :
(f ∘ f )(x) = f (f (x )) = f 2 (x )
(f ∘ f ∘ f )(x) = f (f (f (x ))) = f 3 (x )
(f ∘ f ∘ f ∘ f )(x) = f (f (f (f (x )))) = f 4 (x )
更 さら 一般 いっぱん 地 ち ,对于 n ≥ 2 的 てき 自然 しぜん 数 すう ,n 次 つぎ 函数 かんすう 冪 べき 可 か 以归纳定义为 f n = f ∘ f n −1 = f n −1 ∘ f . 这种函数 かんすう 与 あずか 自身 じしん 的 てき 反 はん 复复合 あい 称 しょう 作 さく 迭代函数 かんすう 。
习惯上 じょう ,f 0 定 てい 义为 f 定 てい 义域上 じょう 的 てき 恒 つね 同 どう 映 うつ 射 い ,id X .
如果 Y = X ,而 f : X → X 存在 そんざい 反 はん 函數 かんすう f −1 ,那 な 么对于 n > 0 ,负 函数 かんすう 幂 f −n 定 てい 义为反 はん 函数 かんすう 的 てき 幂:f −n = (f −1 )n .
注意 ちゅうい :若 わか f 在 ざい 一 いち 个环 内 うち 取 と 值(特 とく 别是对于实值或 ある 复值f ),存在 そんざい 混淆 こんこう 的 てき 风险,因 いん 为 f n 也可以表示 ひょうじ f 的 てき n 次 つぎ 乘 じょう 积,比 ひ 如 f 2 (x ) = f (x ) · f (x ) . 对于三 さん 角 かく 函数 かんすう ,通常 つうじょう 会 かい 使用 しよう 后 きさき 者 しゃ 的 てき 含义,至 いたり 少 しょう 对于正 せい 指数 しすう 是 ぜ 这样。例 れい 如,在 ざい 三角 みすみ 学 まなぶ 中 なか ,使用 しよう 三角 さんかく 函数 かんすう sin2 (x ) = sin(x ) · sin(x ) 的 てき 时候,这个上 じょう 标记号 ごう 表示 ひょうじ 标准的 てき 指数 しすう 运算。不 ふ 过,对于负指数 すう (特 とく 别是 −1),则通常 つうじょう 指 ゆび 的 てき 是 ぜ 反 はん 函数 かんすう ,例 れい 如,tan−1 = arctan ≠ 1/tan .
在 ざい 一 いち 些情况下,对于给定函数 かんすう f ,方 ぽう 程 ほど g ∘ g = f 只 ただ 有 ゆう 一 いち 个解 g 的 てき 时候,该函数 すう 可 か 以定义为 f 的 てき 函数 かんすう 平方根 へいほうこん ,记作 g = f 1/2 .
更 さら 一般 いっぱん 地 ち ,当 とう g n = f 只 ただ 有 ゆう 唯 ただ 一 いち 解 かい 时(自然 しぜん 数 すう n > 0 ),f m /n 可 か 以定义为 g m .
在 ざい 额外的 てき 限 きり 制 せい 下 か ,这个想 そう 法 ほう 还可以推广,使 つかい 得 とく 迭代函数 かんすう 可 か 以是一个连续的参数;在 ざい 此情形 がた 下 か ,这样的 てき 系 けい 统称作 さく 流 ながれ ,由 ゆかり 施 ほどこせ 罗德方 かた 程 ほど 定 てい 义。迭代函数 かんすう 和 わ 流 りゅう 很自然 しぜん 地 ち 出 で 现在分 ぶん 形 かたち 和 わ 动力系 けい 统 的 てき 研究 けんきゅう 中 ちゅう 。
为避免 めん 混淆 こんこう ,有 ゆう 些数学 がく 家 か 把 わ f 的 てき n 次 じ 迭代写 うつし 作 さく f °n .
其他记法 [ 编辑 ]
许多数学 すうがく 家 か ,特 とく 别是群 ぐん 论方面 ほうめん 的 てき 数学 すうがく 家 か ,省 はぶけ 去 ざ 复合符号 ふごう ,把 わ g ∘ f 写 うつし 作 さく gf .[7]
在 ざい 20世 せい 纪中叶 かのう ,一些数学家认为用“g ∘ f ”来 らい 表示 ひょうじ “首 くび 先 さき 施 ほどこせ 加 か f ,然 しか 后 きさき 施 ほどこせ 加 か g ”太 ふとし 令 れい 人 じん 困惑 こんわく ,于是决定改 あらため 变记法 ほう 。他 た 们用“xf ”来 らい 代表 だいひょう “f (x ) ”,用 もちい “(xf )g ”来 らい 代表 だいひょう “g (f (x )) ”。[8] 这在某 ぼう 些领域 いき 会 かい 比 ひ 函数 かんすう 写 うつし 在 ざい 左 ひだり 面 めん 更 さら 加 か 自然 しぜん 和 わ 简便—比 ひ 如在线性代数 だいすう 中 なか ,当 とう x 为行 くだり 向 むこう 量 りょう ,f 和 わ g 表示 ひょうじ 矩 のり 阵 ,而复合 あい 是 ぜ 通 どおり 过矩 のり 陣 じん 乘法 じょうほう 完成 かんせい 的 てき 时候。这种替 がえ 代 だい 记法称 しょう 作 さく 后 きさき 缀表示法 ひょうじほう 。顺序很重要 じゅうよう ,因 いん 为函数 すう 复合不 ふ 一定 いってい 是 ぜ 可 か 交换的 てき (比 ひ 如矩阵乘法 ほう )。向 こう 右 みぎ 进行施 ほどこせ 加 か 函数 かんすう 和 わ 复合的 てき 写 うつし 法 ほう 复合从左到 いた 右 みぎ 的 てき 阅读顺序。
使用 しよう 后 きさき 缀表示法 ひょうじほう 的 てき 数学 すうがく 家 か 可能 かのう 会 かい 写 うつし “fg ”,表示 ひょうじ 先 さき 施 ほどこせ 加 か f 再 さい 施 ほどこせ 加 か g ,这样就能与 あずか 后 きさき 缀表示法 ひょうじほう 中 ちゅう 的 てき 符号 ふごう 的 てき 顺序保持 ほじ 一致 いっち ,不 ふ 过这就会让“fg ”这个记号有 ゆう 歧义了 りょう 。计算机 つくえ 科学 かがく 家 か 可能 かのう 用 よう f ; g 来 らい 表示 ひょうじ [1] ,这样就能区分 くぶん 出 で 复合的 てき 顺序了 りょう 。要 よう 把 わ 左 ひだり 复合算 がっさん 子 こ 和文 わぶん 本分 ほんぶん 好 こう 区分 くぶん 开来,在 ざい Z表示法 ひょうじほう (Z notation)中 ちゅう ⨾ 字 じ 符 ふ 用 よう 于左关系复合。[9] 由 よし 于所有 しょゆう 函数 かんすう 都 と 是 ぜ 二 に 元 げん 关系,在 ざい 函数 かんすう 复合中也 ちゅうや 应该用 よう [粗 あら ]分 ぶん 号 ごう (参 まいり 见 关系复合条目 じょうもく 了解 りょうかい 此记法的 ほうてき 详细内容 ないよう )。
复合算 がっさん 子 こ [ 编辑 ]
给定函数 かんすう g ,复合算 がっさん 子 こ C g 定 てい 义为使 し 得 とく
C
g
f
=
f
∘
g
.
{\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}
的 てき 从函数 すう 映 うつ 射 い 到 いた 函数 かんすう 的 てき 算 さん 子 こ 。在 ざい 算 さん 子 こ 理 り 论领域 いき 会 かい 研究 けんきゅう 复合算 がっさん 子 こ 。
多元 たげん 函数 かんすう [ 编辑 ]
对于多元 たげん 函数 かんすう 来 らい 说,部分 ぶぶん 复合是 ぜ 有 ゆう 可能 かのう 的 てき 。当 とう 函数 かんすう f 的 てき 部分 ぶぶん 参 さん 数 すう x i 由 ゆかり g 换掉后 きさき 得 え 到 いた 的 てき 结果在 ざい 一些计算机工程文献中,记作 f |x i = g
f
|
x
i
=
g
=
f
(
x
1
,
…
,
x
i
−
1
,
g
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
,
x
i
+
1
,
…
,
x
n
)
.
{\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}
当 とう g 是 ぜ 一 いち 个常数 すう b 时,复合退化 たいか 为一个(部分 ぶぶん )求 もとめ 值,其结果 はて 就会是 ぜ 限 きり 制 せい 或 ある 者 もの 辅因子 こ 。[10]
f
|
x
i
=
b
=
f
(
x
1
,
…
,
x
i
−
1
,
b
,
x
i
+
1
,
…
,
x
n
)
.
{\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}
通常 つうじょう ,多元 たげん 函数 かんすう 的 てき 复合可能 かのう 涉 わたる 及若干 じゃっかん 其他函数 かんすう 作 さく 为参数 すう ,如原始 げんし 递归函数 かんすう 的 てき 定 てい 义。给定 f ,一 いち 个 n 元 もと 函数 かんすう ,n 个 m 元 もと 函数 かんすう g 1 , ..., g n ,f 与 あずか g 1 , ..., g n 的 てき 复合是 ぜ m 元 もと 函数 かんすう
h
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
f
(
g
1
(
x
1
,
…
,
x
m
)
,
…
,
g
n
(
x
1
,
…
,
x
m
)
)
{\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))}
.
这有时称作 さく f 与 あずか g 1 , ..., g n 的 てき 广义复合 。[11] 在 ざい 这个一般 いっぱん 化 か 的 てき 情 じょう 形 がた 中 ちゅう ,可 か 以通过把所有 しょゆう 这些用作 ようさく 参 さん 数 すう 的 てき 函 はこ 数 すう 合 ごう 适地选为射影 しゃえい 函数 かんすう ,只 ただ 保留 ほりゅう 一 いち 个参数 すう 函数 かんすう ,就能得 え 到 いた 前面 ぜんめん 提 ひっさげ 到 いた 的 てき 只 ただ 有 ゆう 一个参数部分复合的函数。还要注意 ちゅうい ,在 ざい 这个一般 いっぱん 化 か 情 じょう 形 がた 中 ちゅう ,g 1 , ..., g n 可 か 以看作 さく 是 ぜ 单个向 むこう 量 りょう 或 ある 元 もと 组 值函数 すう ,这样理解 りかい 的 てき 话,这就是 ぜ 复合函数 かんすう 的 てき 标准定 てい 义。[12]
某 ぼう 些基本 きほん 集 しゅう X 上 うえ 的 てき 一 いち 些有限 げん 性 せい 运算 称 しょう 作 さく 克 かつ 隆 たかし ,它们需要 じゅよう 包含 ほうがん 所有 しょゆう 射影 しゃえい ,并且在 ざい 广义复合下 か 封 ふう 闭。请注意 ちゅうい ,克 かつ 隆 たかし 通常 つうじょう 包含 ほうがん 各 かく 种元 もと 数 かず (arity)的 てき 运算。[11] 交换的 てき 概念 がいねん 在 ざい 多元 たげん 情 じょう 形 がた 中 ちゅう 叶 かのう 有一 ゆういち 个有意思 いし 的 てき 推广:如果元 もと 数 かず n 的 てき 函数 かんすう f 是 ぜ 保持 ほじ g 的 てき 同 どう 态函数 かんすう (g 的 てき 元 もと 数 すう 为 m ),则可以说 f 与 あずか g 是 ぜ 可 か 交换的 てき ,反 たん 之 の 亦 また 然 しか 。例 れい 如:[13]
f
(
g
(
a
11
,
…
,
a
1
m
)
,
…
,
g
(
a
n
1
,
…
,
a
n
m
)
)
=
g
(
f
(
a
11
,
…
,
a
n
1
)
,
…
,
f
(
a
1
m
,
…
,
a
n
m
)
)
{\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}
.
一元运算总是与自己可交换,但 ただし 二 に 元 げん (或 ある 者 もの 更 さら 多元 たげん )运算不 ふ 一定 いってい 如此。与 あずか 自身 じしん 可 か 交换的 てき 二 に 元 げん (或 ある 更 さら 多元 たげん )运算称 しょう 为medial或 ある entropic 。[13]
复合可 か 以推广到任意 にんい 二 に 元 げん 关系。若 わか R ⊆ X × Y 与 あずか S ⊆ Y × Z 是 ぜ 两个二 に 元 げん 关系,则它们的复合 S ∘R 是 ぜ 定 てい 义为 {(x , z ) ∈ X × Z : ∃ y ∈ Y . (x , y ) ∈ R ∧ (y , z ) ∈ S } . 考 こう 虑二元关系的一个特殊情形(函数 かんすう 关系 ),复合函数 かんすう 满足关系复合的 てき 定 てい 义。
偏 へん 函数 かんすう 的 てき 复合可 か 是 ぜ 用 よう 相 しょう 同 どう 方式 ほうしき 定 てい 义的定 てい 义,有 ゆう 一个类似凯莱定理(Cayley's theorem)的 てき 定理 ていり 叫 さけべ 做Wagner-Preston定理 ていり 。[14]
具有 ぐゆう 态射 函数 かんすう 的 てき 集合 しゅうごう 范畴叫 さけべ 做原型 がた 范畴 (prototypical category)。范畴的 てき 公理 こうり 实际上 じょう 受到了 りょう 复合函数 かんすう 的 てき 性 せい 质(和 かず 定 じょう 义)启发。[15] 由 よし 复合形成 けいせい 的 てき 结构在 ざい 范畴论 中 ちゅう 被 ひ 公理 こうり 化 か 和 わ 推广,函数 かんすう 的 てき 概念 がいねん 换成了 りょう 范畴论中的 てき 态射 。公式 こうしき (f ∘ g )−1 = (g −1 ∘ f −1 ) 中 なか 的 てき 反 はん 序 じょ 复合,同 どう 样适用 よう 于使用 しよう 逆 ぎゃく 关系的 てき 关系复合,因 いん 此在群 ぐん 论中 ちゅう 也适用 よう 。这些结构形成 けいせい 了 りょう dagger范畴 。
排 はい 版 ばん [ 编辑 ]
复合算 がっさん 子 こ ∘ 编码为U+2218 ∘ RING OPERATOR ,HTML:∘
。参 まいり 见Degree symbol 条目 じょうもく 中外 ちゅうがい 观类似 に 的 てき Unicode字 じ 符 ふ 。在 ざい TeX 中 なか ,写 うつし 作 さく \circ
。
参 まいり 见[ 编辑 ]
注 ちゅう 释[ 编辑 ]
^ 有 ゆう 些作者 しゃ 使用 しよう f ∘ g : X → Z ,定 てい 义为 (f ∘ g )(x ) = g (f (x )) 。
参考 さんこう 文献 ぶんけん [ 编辑 ]
外部 がいぶ 链接[ 编辑 ]