复合函数かんすう

复合函数かんすう（英語えいご：Function composition），又また稱たたえ作づく合成ごうせい函數かんすう，在ざい数学すうがく中ちゅう是ぜ指ゆび逐点地ち把わ一いち个函数かんすう作用さよう于另一个函数的结果，所得しょとく到いた的てき第だい三さん个函数すう。例れい如，函数かんすう $f : X \to Y$ 和わ $g : Y \to Z$ 可か以复合あい，得とく到いた从 $X$ 中なか的てき $x$ 映うつ射い到いた $Z$ 中なか $g (f (x))$ 的てき函数かんすう。直ちょく观来说，如果 $z$ 是これ $y$ 的てき函数かんすう， $y$ 是これ $x$ 的てき函数かんすう，那な么 $z$ 是これ $x$ 的てき函数かんすう。得え到いた的てき复合函数かんすう记作 $g \circ f : X \to Z$ ，定てい义为对 $X$ 中なか的てき所有しょゆう $x$ ， $(g \circ f)(x) = g (f (x))$ 。^{[note 1]} 直ちょく观地说，复合两个函数かんすう是これ把わ两个函数かんすう链接在ざい一いち起おこり的てき过程，内ない函数かんすう的てき输出就是外がい函数かんすう的てき输入。

函数かんすう的てき复合是ぜ关系复合的てき一いち个特例れい，因いん此复合あい关系的てき所有しょゆう性せい质也适用于函数すう的てき复合。^[1] 复合函数かんすう还有一些其他性质。

定義ていぎ[编辑]

考慮こうりょ到いた函數かんすう的てき值域跟定てい义域，要よう簡單かんたん的てき以“計算けいさん式しき”，如把所有しょゆう $(x,\,x+1)$ 和わ $(y,\,{\sqrt {y}})$ 的てき有ゆう序じょ对頭あたま接尾せつび的てき這樣直觀ちょっかん定義ていぎ“合成ごうせい”是ぜ會かい遇ぐう到いた問題もんだい的てき，像ぞう是これ把わ $x$ 取と為ため实数，這樣把わ $x+1$ 很自然しぜん的てき對たい接せっ到いた $y$ 然しか後ご開ひらけ根號こんごう成なり ${\sqrt {y}}$ ，是ぜ會かい遇ぐう到いた對たい負數ふすう開ひらき根號こんごう，出現しゅつげん非ひ單一たんいつ值的問題もんだい（請參見み棣莫弗どる公式こうしき），就算不ふ考慮こうりょ單一たんいつ值的問題もんだい，我わが們期望もち的てき“合成ごうせい函數かんすう”的てき值域到底とうてい該不該包含ほうがん複數ふくすう呢？所以ゆえん (1) 我わが們一開始かいし就要把わ準備じゅんび“合成ごうせい”的てき兩個りゃんこ函數かんすう的てき值域跟定義ていぎ域いき劃分清楚せいそ (2) 要よう考慮こうりょ到いた對たい接せっ的てき時候じこう，前面ぜんめん的てき值域跟後面めん的てき值域不ふ一定いってい相等そうとう的てき問題もんだい。

如果我わが們有兩個りゃんこ函數かんすう $f$ 和わ $g$ ，而兩者しゃ的てき定義ていぎ域いき分別ふんべつ是ぜ $D_{f}$ 和わ $D_{g}$ ；值域分別ふんべつ是ぜ $I_{f}$ 和わ $I_{g}$ 。如果 $I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing$ ，那な我わが們定義ていぎ合成ごうせい函數かんすう為ため

g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}

直觀ちょっかん上じょう來き說せつ，如果 $f$ 的てき“輸出ゆしゅつ範圍はんい”是ぜ有ゆう一いち部分ぶぶん在ざい $g$ 的てき“輸入ゆにゅう範圍はんい”，那な我わが們就可か以定義ていぎ“先さき作用さよう $f$ 再さい作用さよう $g$ ”的てき函數かんすう，但ただし這個“新しん合成ごうせい”的てき函數かんすう的てき定義ていぎ域いき可能かのう會かい因いん此被限げん縮ちぢみ（輸出ゆしゅつ值處在ざい兩者りょうしゃ交集的てき那な些 $x$ 而已）。注意ちゅうい到いた每まい個こ $x$ 只ただ會かい有ゆう一いち個こ輸出ゆしゅつ值 $y$ ，而每個こ $y$ 只ただ會かい有ゆう一いち個こ輸出ゆしゅつ值 $z$ ，所以ゆえん這樣“先さき作用さよう $f$ 再さい作用さよう $g$ ”的てき話ばなし，每まい個こ $x$ 只ただ會かい有ゆう一いち個こ輸出ゆしゅつ值 $z$ 而已，這確保かくほ了りょう $g\circ f$ 符合ふごう我わが們對函數かんすう的てき要求ようきゅう。

当とう $g\circ f=f\circ g$ 时（注意ちゅうい這是集合しゅうごう的てき相等そうとう！），我わが们会说 $g$ 和わ $f$ 是これ可か交换的てき。

兩個りゃんこ一對一いちたいいち函數かんすう的てき合成ごうせい函數かんすう也是一對一いちたいいち的てき。

涉わたる及到可か导函数すう的てき复合函数かんすう的てき导数，可か以用链式法ほう则求もとめ得う。Faà di Bruno公式こうしき给出了りょう复合函数かんすう的てき高こう阶导数すう的まと表ひょう达式。

例れい子こ[编辑]

$g \circ f$ ， $f$ 与あずか $g$ 的てき复合。例れい如， $(g \circ f)(c) = #$ .

有限ゆうげん集しゅう上じょう的てき函数かんすう复合：若わか $f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)}$ ， $g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}$ ，则 $g \circ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}$ .
无限集しゅう上うえ的てき函数かんすう复合：若わか $f : ℝ \to ℝ$ （其中 $ℝ$ 是ぜ所有しょゆう实数的てき集合しゅうごう）表おもて达式为 $f (x) = 2 x + 4$ ，而 $g : ℝ \to ℝ$ 表おもて达式为 $g (x) = x 3$ ，则：

(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4

, and

(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3

.

如果一いち架か飞机在ざい $t$ 时刻的てき海拔かいばつ为 $h (t)$ ，而海拔かいばつ $x$ 处的氧气浓度为 $c (x)$ ，那な么 $(c \circ h)(t)$ 描述了りょう $t$ 时刻飞机周しゅう围的氧气浓度。

复合幺半群ぐん[编辑]

假かり设我们有两个（或ある多た个）函数かんすう $f : X \to X,$ $g : X \to X$ ，定てい义域与あずか到いた达域相しょう同どう；这些函数かんすう一般いっぱん称しょう作さく变换。于是，我わが们可以构造づくり多た个变换复合あい而成的てき链，比ひ如 $f \circ f \circ g \circ f$ 。这种链具有ぐゆう幺半群ぐん的てき代数だいすう结构，称しょう作さく变换幺半群ぐん或ある者もの复合幺半群ぐん。通常つうじょう，变换幺半群ぐん可か以具有ぐゆう非常ひじょう复杂的てき结构。一个很有名的例子是德とく拉ひしげ姆曲线。所有しょゆう函数かんすう $f : X \to X$ 的てき集合しゅうごう称しょう作さく $X$ 上うえ的てき全ぜん变换半はん群ぐん^[2]或ある对称半はん群ぐん^[3]。（我わが们其实可以定义两个半群ぐん，这取决于定てい义半群ぐん运算为函数すう左ひだり复合和わ右みぎ复合的てき方式ほうしき。^[4]）

如果变换是ぜ双そう射い（也就可逆かぎゃく），则这些函数すう所有しょゆう可能かのう的てき组合就构成なり了りょう一いち个变换群ぐん；可か以说这个群ぐん是ぜ由よし这些函数かんすう生成せいせい的てき。这就引出了りょう群ぐん论里面めん的てき凱萊定理ていり从本质上表明ひょうめい，（在ざい同どう构意い义下）任にん何なん群ぐん都みやこ是ただし某ぼう一置换群的子群。^[5]

所有しょゆう双そう射い函数かんすう $f : X \to X$ （称しょう作さく置換ちかん）的てき集合しゅうごう构成了りょう一个关于复合算子的群。这就是ぜ对称群ぐん，有ゆう时称作さく复合群ぐん。

在ざい（所有しょゆう变换的てき）对称半はん群ぐん中ちゅう，我わが们还可か以发现一个较弱じゃく的てき、非ひ唯ただ一いち的てき逆ぎゃく变换（称しょう作さく伪逆），因いん为对称しょう子こ群ぐん是ぜ一いち个正则半群ぐん。^[6]

函数かんすう幂[编辑]

如果 $Y \subseteq X$ ，则 $f : X \to Y$ 有ゆう可能かのう可か以与自身じしん复合；这有时候记作 $f 2$ 。即そく：

(f \circ f)(x) = f (f (x)) = f 2 (x)

(f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (x))) = f 3 (x)

(f \circ f \circ f \circ f)(x) = f (f (f (f (x)))) = f 4 (x)

更さら一般いっぱん地ち，对于 $n \geq 2$ 的てき自然しぜん数すう， $n$ 次つぎ函数かんすう冪べき可か以归纳定义为 $f n = f \circ f n -1 = f n -1 \circ f$ . 这种函数かんすう与あずか自身じしん的てき反はん复复合あい称しょう作さく迭代函数かんすう。

习惯上じょう， $f 0$ 定てい义为 $f$ 定てい义域上じょう的てき恒つね同どう映うつ射い， $id X$ .
如果 $Y = X$ ，而 $f : X \to X$ 存在そんざい反はん函數かんすう $f -1$ ，那な么对于 $n > 0$ ，负函数かんすう幂 $f - n$ 定てい义为反はん函数かんすう的てき幂： $f - n = (f -1) n$ .

注意ちゅうい：若わか $f$ 在ざい一いち个环内うち取と值（特とく别是对于实值或ある复值 $f$ ），存在そんざい混淆こんこう的てき风险，因いん为 $f n$ 也可以表示ひょうじ $f$ 的てき $n$ 次つぎ乘じょう积，比ひ如 $f 2 (x) = f (x) \cdot f (x)$ . 对于三さん角かく函数かんすう，通常つうじょう会かい使用しよう后きさき者しゃ的てき含义，至いたり少しょう对于正せい指数しすう是ぜ这样。例れい如，在ざい三角みすみ学まなぶ中なか，使用しよう三角さんかく函数かんすう $sin 2 (x) = sin(x) \cdot sin(x)$ 的てき时候，这个上じょう标记号ごう表示ひょうじ标准的てき指数しすう运算。不ふ过，对于负指数すう（特とく别是 −1），则通常つうじょう指ゆび的てき是ぜ反はん函数かんすう，例れい如， $tan -1 = arctan \neq 1/tan$ .

在ざい一いち些情况下，对于给定函数かんすう $f$ ，方ぽう程ほど $g \circ g = f$ 只ただ有ゆう一いち个解 $g$ 的てき时候，该函数すう可か以定义为 $f$ 的てき函数かんすう平方根へいほうこん，记作 $g = f 1/2$ .

更さら一般いっぱん地ち，当とう $g n = f$ 只ただ有ゆう唯ただ一いち解かい时（自然しぜん数すう $n > 0$ ）， $f m / n$ 可か以定义为 $g m$ .

在ざい额外的てき限きり制せい下か，这个想そう法ほう还可以推广，使つかい得とく迭代函数かんすう可か以是一个连续的参数；在ざい此情形がた下か，这样的てき系けい统称作さく流ながれ，由ゆかり施ほどこせ罗德方かた程ほど定てい义。迭代函数かんすう和わ流りゅう很自然しぜん地ち出で现在分ぶん形かたち和わ动力系けい统的てき研究けんきゅう中ちゅう。

为避免めん混淆こんこう，有ゆう些数学がく家か把わ $f$ 的てき n 次じ迭代写うつし作さく $f ° n$ .

其他记法[编辑]

许多数学すうがく家か，特とく别是群ぐん论方面ほうめん的てき数学すうがく家か，省はぶけ去ざ复合符号ふごう，把わ $g \circ f$ 写うつし作さく $gf$ .^[7]

在ざい20世せい纪中叶かのう，一些数学家认为用“ $g \circ f$ ”来らい表示ひょうじ“首くび先さき施ほどこせ加か $f$ ，然しか后きさき施ほどこせ加か $g$ ”太ふとし令れい人じん困惑こんわく，于是决定改あらため变记法ほう。他た们用“ $xf$ ”来らい代表だいひょう“ $f (x)$ ”，用もちい“ $(xf) g$ ”来らい代表だいひょう“ $g (f (x))$ ”。^[8] 这在某ぼう些领域いき会かい比ひ函数かんすう写うつし在ざい左ひだり面めん更さら加か自然しぜん和わ简便—比ひ如在线性代数だいすう中なか，当とう $x$ 为行くだり向むこう量りょう， $f$ 和わ $g$ 表示ひょうじ矩のり阵，而复合あい是ぜ通どおり过矩のり陣じん乘法じょうほう完成かんせい的てき时候。这种替がえ代だい记法称しょう作さく后きさき缀表示法ひょうじほう。顺序很重要じゅうよう，因いん为函数すう复合不ふ一定いってい是ぜ可か交换的てき（比ひ如矩阵乘法ほう）。向こう右みぎ进行施ほどこせ加か函数かんすう和わ复合的てき写うつし法ほう复合从左到いた右みぎ的てき阅读顺序。

使用しよう后きさき缀表示法ひょうじほう的てき数学すうがく家か可能かのう会かい写うつし“ $fg$ ”，表示ひょうじ先さき施ほどこせ加か $f$ 再さい施ほどこせ加か $g$ ，这样就能与あずか后きさき缀表示法ひょうじほう中ちゅう的てき符号ふごう的てき顺序保持ほじ一致いっち，不ふ过这就会让“ $fg$ ”这个记号有ゆう歧义了りょう。计算机つくえ科学かがく家か可能かのう用よう $f; g$ 来らい表示ひょうじ [1] ，这样就能区分くぶん出で复合的てき顺序了りょう。要よう把わ左ひだり复合算がっさん子こ和文わぶん本分ほんぶん好こう区分くぶん开来，在ざいZ表示法ひょうじほう（Z notation）中ちゅう ⨾ 字じ符ふ用よう于左关系复合。^[9] 由よし于所有しょゆう函数かんすう都と是ぜ二に元げん关系，在ざい函数かんすう复合中也ちゅうや应该用よう[粗あら]分ぶん号ごう（参まいり见关系复合条目じょうもく了解りょうかい此记法的ほうてき详细内容ないよう）。

复合算がっさん子こ[编辑]

给定函数かんすう $g$ ，复合算がっさん子こ $C g$ 定てい义为使し得とく

C_{g}f=f\circ g.

的てき从函数すう映うつ射い到いた函数かんすう的てき算さん子こ。在ざい算さん子こ理り论领域いき会かい研究けんきゅう复合算がっさん子こ。

多元たげん函数かんすう[编辑]

对于多元たげん函数かんすう来らい说，部分ぶぶん复合是ぜ有ゆう可能かのう的てき。当とう函数かんすう $f$ 的てき部分ぶぶん参さん数すう $x i$ 由ゆかり $g$ 换掉后きさき得え到いた的てき结果在ざい一些计算机工程文献中，记作 $f | x i = g$

f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

当とう $g$ 是ぜ一いち个常数すう $b$ 时，复合退化たいか为一个（部分ぶぶん）求もとめ值，其结果はて就会是ぜ限きり制せい或ある者もの辅因子こ。^[10]

f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).

通常つうじょう，多元たげん函数かんすう的てき复合可能かのう涉わたる及若干じゃっかん其他函数かんすう作さく为参数すう，如原始げんし递归函数かんすう的てき定てい义。给定 $f$ ，一いち个 $n$ 元もと函数かんすう， $n$ 个 $m$ 元もと函数かんすう $g 1, ..., g n$ ， $f$ 与あずか $g 1, ..., g n$ 的てき复合是ぜ $m$ 元もと函数かんすう

h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))

.

这有时称作さく f 与あずか $g 1, ..., g n$ 的てき广义复合。^[11] 在ざい这个一般いっぱん化か的てき情じょう形がた中ちゅう，可か以通过把所有しょゆう这些用作ようさく参さん数すう的てき函はこ数すう合ごう适地选为射影しゃえい函数かんすう，只ただ保留ほりゅう一いち个参数すう函数かんすう，就能得え到いた前面ぜんめん提ひっさげ到いた的てき只ただ有ゆう一个参数部分复合的函数。还要注意ちゅうい，在ざい这个一般いっぱん化か情じょう形がた中ちゅう， $g 1, ..., g n$ 可か以看作さく是ぜ单个向むこう量りょう或ある元もと组值函数すう，这样理解りかい的てき话，这就是ぜ复合函数かんすう的てき标准定てい义。^[12]

某ぼう些基本きほん集しゅう X 上うえ的てき一いち些有限げん性せい运算称しょう作さく克かつ隆たかし，它们需要じゅよう包含ほうがん所有しょゆう射影しゃえい，并且在ざい广义复合下か封ふう闭。请注意ちゅうい，克かつ隆たかし通常つうじょう包含ほうがん各かく种元もと数かず（arity）的てき运算。^[11] 交换的てき概念がいねん在ざい多元たげん情じょう形がた中ちゅう叶かのう有一ゆういち个有意思いし的てき推广：如果元もと数かず n的てき函数かんすう f 是ぜ保持ほじ g 的てき同どう态函数かんすう（g 的てき元もと数すう为 m），则可以说 f与あずか g 是ぜ可か交换的てき，反たん之の亦また然しか。例れい如：^[13]

f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))

.

一元运算总是与自己可交换，但ただし二に元げん（或ある者もの更さら多元たげん）运算不ふ一定いってい如此。与あずか自身じしん可か交换的てき二に元げん（或ある更さら多元たげん）运算称しょう为medial或あるentropic。^[13]

推广[编辑]

复合可か以推广到任意にんい二に元げん关系。若わか $R \subseteq X \times Y$ 与あずか $S \subseteq Y \times Z$ 是ぜ两个二に元げん关系，则它们的复合 $S \circ R$ 是ぜ定てい义为 ${(x, z) \in X \times Z : \exists y \in Y . (x, y) \in R \land (y, z) \in S}$ . 考こう虑二元关系的一个特殊情形（函数かんすう关系），复合函数かんすう满足关系复合的てき定てい义。

偏へん函数かんすう的てき复合可か是ぜ用よう相しょう同どう方式ほうしき定てい义的定てい义，有ゆう一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的てき定理ていり叫さけべ做Wagner-Preston定理ていり。^[14]

具有ぐゆう态射函数かんすう的てき集合しゅうごう范畴叫さけべ做原型がた范畴（prototypical category）。范畴的てき公理こうり实际上じょう受到了りょう复合函数かんすう的てき性せい质（和かず定じょう义）启发。^[15] 由よし复合形成けいせい的てき结构在ざい范畴论中ちゅう被ひ公理こうり化か和わ推广，函数かんすう的てき概念がいねん换成了りょう范畴论中的てき态射。公式こうしき $(f \circ g) -1 = (g -1 \circ f -1)$ 中なか的てき反はん序じょ复合，同どう样适用よう于使用しよう逆ぎゃく关系的てき关系复合，因いん此在群ぐん论中ちゅう也适用よう。这些结构形成けいせい了りょうdagger范畴。

排はい版ばん[编辑]

复合算がっさん子こ $\circ$ 编码为U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。参まいり见Degree symbol条目じょうもく中外ちゅうがい观类似に的てきUnicode字じ符ふ。在ざいTeX中なか，写うつし作さく\circ。

参まいり见[编辑]

组合子こ逻辑
函数かんすう分解ぶんかい（英えい语：Functional decomposition）
迭代函数かんすう
解析かいせき函数かんすう的てき无限复合（英えい语：Infinite compositions of analytic functions）
流ながれ
高こう阶函数すう
蛛网图（英えい语：Cobweb plot），函数かんすう复合的てき图形方法ほうほう
Λらむだ演算えんざん
函数かんすう平方根へいほうこん（英えい语：Functional square root）
复合环（英えい语：Composition ring），复合运算的てき形式けいしき公理こうり化か
随ずい机つくえ变量函数かんすう

注ちゅう释[编辑]

^ 有ゆう些作者しゃ使用しよう $f \circ g : X \to Z$ ，定てい义为 $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ 。

参考さんこう文献ぶんけん[编辑]

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外部がいぶ链接[编辑]

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"Composition of Functions （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[1] 有ゆう些作者しゃ使用しよう $f \circ g : X \to Z$ ，定てい义为 $(f \circ g)(x) = g (f (x))$ 。

[Velleman2006-2] Daniel J. Velleman. How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. 2006: 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[3] Christopher Hollings. Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. 2014: 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.

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[10] ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23

[11] Bryant, R.E. Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis (PDF). IEEE Transactions on Computers. August 1986, C–35 (8): 677–691 [2018-08-05]. doi:10.1109/tc.1986.1676819. （原始げんし内容ないよう存そん档 (PDF)于2020-11-29）.

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[15] S. Lipscomb, "Symmetric Inverse Semigroups", AMS Mathematical Surveys and Monographs (1997), ISBN 0-8218-0627-0, p. xv

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各種かくしゅ函數かんすう
$x \mapsto f (x)$
不同ふどう定義ていぎ域いき和わ陪域
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $\mathbb {B}$ $X$ →（英えい语：integer-valued function） $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z} ^{+}$ → $X$ $X$ →（英えい语：real-valued function） $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ →（英えい语：function of several real variables） $X$ $X$ →（英えい语：complex-valued function） $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ →（英えい语：Function of several complex variables） $X$
函數かんすう類るい/性質せいしつ
常つね值恆等こうとう線せん性せい多項式たこうしき有理ゆうり代數だいすう解析かいせき光ひかり滑すべり連續れんぞく可か測はか單たん射い满射双そう射い
構造こうぞう
限きり制せい複ふく合あい λらむだ逆ぎゃく
推廣
偏へん（英えい语：Partial function）多た值隱かくれ
查论编