逻辑与あずか

文ぶん氏し图 $A\land B$

在ざい逻辑和わ数学すうがく中なか，逻辑合あい取と或ある逻辑与あずか或ある且是ぜ一いち个二に元げん逻辑運算うんざん符ふ。如果其两个变量的てき真ま值都为“真しん”，其结果はて为“真しん”，否いや则其结果为“假かり”。

相あい关名称めいしょう

基本きほん符号ふごう：$\land$

英文えいぶん名めい：logical conjunction

中ちゅう文名ぶんめい：逻辑与，合ごう取と，交集，按位与あずか，逻辑乘じょう，与あずか门，...

命いのち题逻辑中なか的てき二元连接词合取，是ぜ一いち个两元もと算さん子こ，集合しゅうごう论中的てき交集算さん子こ，二进制中的逻辑乘算子，按位与あずか（Bitwise AND），逻辑门中的てき“与あずか”门（AND gate），编程语言中ちゅう的てき&或あるand运算符ふ等とう等とう。

基本きほん定てい义

逻辑与（logical conjunction）是ぜ两个逻辑变量的てき一いち种运算さん，经常是ぜ两个命いのち题的运算。它满足あし：当とう且仅当とう其两个变量的りょうてき真ま值都为真时，其结果はて为真。

逻辑与あずか$\land$是ぜ个二に元もと算さん子こ，运算结果取と值为真しん的てき条件じょうけん是ぜ，当とう且仅当とう两个命いのち题的取と值都真ま时。命いのち题是取と值要么是真ま要よう么是假かり的てき二に值语句く，没ぼつ有ゆう第だい三さん种取值，或ある说值域いき为{真しん，假かり}或ある是ぜ{T,F}或ある是ぜ{0,1}。未知みち真ま又また未知みち假かり的てき语句是ぜ猜想；既すんで真ま又また假かり，既すんで不ふ真しん又また不ふ假かり的てき语句是ぜ悖もと论。

复合命いのち题$~A\land B$，读作A合ごう取とB，在ざいGCT逻辑中なか，也叫联言命いのち题。也有やゆう称しょう为合ごう取と命いのち题的てき。

真ま值表定てい义

A与あずかB的てき真ま值表（也写作さくA$\land$B（逻辑学がく），A && B（计算机つくえ科学かがく），或あるA$\cdot$B（电子学がく））。

$~A\land B$ 的てき真ま值表:

输入		输出
$A$	$B$	$A\land B$
真しん	真しん	真しん
真しん	假かり	假かり
假かり	真しん	假かり
假かり	假かり	假かり

推理すいり規則きそく

合成ごうせい与あずか分解ぶんかい规则

合ごう取引とりひき入にゅう规则

合ごう取引とりひき入にゅう规则（∧+）（conjunction introduction rule）或ある联言推理すいり的てき合成ごうせい式しき，是ぜ经典逻辑中ちゅう简单且有效ゆうこう的てき论证形式けいしき。这个论证形式けいしき有ゆう两个前提ぜんてい，A和わB，可か以直观地推出他た们的合あい取と。

其形式しき如下：

A,

B.

因いん此A且B.

形式けいしき化か为：

$\mathbf {A} ,$

$\mathbf {B}$

$\vdash A\land B$

下面かめん的てき例れい子こ是ぜ满足联言推理すいり的てき合成ごうせい式しき的てき论证：

小しょう橘たちばな子こ是正ぜせい妹いもうと。

小しょう橘たちばな子こ是ぜ車しゃ神しん。

因いん此小橘たちばな子こ是正ぜせい妹いもうと也是車しゃ神しん。

另一いち個こ例れい子こ如下：

1小しょう于2

6大だい于5

因いん此，1小しょう于2，而且6大だい于5。

還かえ有ゆう一いち個こ例れい子こ如下：

有ゆう一いち些PSPACE問題もんだい不ふ是ぜNL問題もんだい

有ゆう一いち些EXPSPACE問題もんだい不ふ是ぜPSPACE問題もんだい

因いん此有一いち些EXPSPACE問題もんだい不ふ是ぜPSPACE問題もんだい，而且有ゆう一いち些PSPACE問題もんだい不ふ是ぜNL問題もんだい

合ごう取と消去しょうきょ规则

合ごう取と消去しょうきょ规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或ある联言推理すいり的てき分解ぶんかい式しき，是ぜ另一个在经典逻辑中简单且有效ゆうこう的てき论证形式けいしき。从任何なん合ごう取と式しき中ちゅう都と可か以直观地推论出で两个前提ぜんてい中ちゅう的てき任意にんい一いち个。

其形式しき如下：

A且B。

因いん此A。

...或ある者もの，

A且B.

因いん此B.

用よう逻辑运算符ふ描述为，

形式けいしき化か为:

$A\land B$

$\vdash A$

或ある者もの,

$A\land B$

$\vdash B$

例れい如:

有ゆう一いち些EXPSPACE問題もんだい不ふ是ぜPSPACE問題もんだい，而且有ゆう一いち些PSPACE問題もんだい不ふ是ぜNL問題もんだい

因いん此有一いち些PSPACE問題もんだい不ふ是ぜNL問題もんだい

或ある者もの

有ゆう一いち些EXPSPACE問題もんだい不ふ是ぜPSPACE問題もんだい，而且有ゆう一いち些PSPACE問題もんだい不ふ是ぜNL問題もんだい

因いん此有一いち些EXPSPACE問題もんだい不ふ是ぜPSPACE問題もんだい

另一いち個こ例れい子こ如下：

1小しょう于2，而且6大だい于5。

因いん此1小しょう于2。

或ある者もの

1小しょう于2，而且6大だい于5。

因いん此6大だい于5。

還かえ有ゆう一いち個こ例れい子こ如下：

小しょう橘たちばな子こ是正ぜせい妹いもうと也是車しゃ神しん。

因いん此小橘たちばな子こ是正ぜせい妹いもうと。

或ある者もの

小しょう橘たちばな子こ是正ぜせい妹いもうと也是車しゃ神しん。

因いん此小橘たちばな子こ是ぜ車しゃ神しん。

性せい质

逻辑与满足以下いか性せい质：

• 结合律りつ: $A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C$

• 交换律りつ: $A\land B\equiv B\land A$

• 分配ぶんぱい律りつ: $(A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))$

$(A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))$

• 幂等律りつ: $A\land A\equiv A$

• 单调性せい: $(A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))$

$(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))$

• 保ほ真性しんせい: 所有しょゆう变量的てき真ま值皆为“真しん”的てき命いのち题在逻辑与运算后きさき的てき结果为真。

• 保ほ假性かせい: 所有しょゆう变量的てき真ま值皆为“假かり”的てき命いのち题在逻辑与运算后きさき的てき结果为假。

如果用よう二に进制来らい表ひょう达真（1）和かず假かり（0），逻辑与运算与あずか算さん术乘法じょうほう运算一致いっち。

计算机つくえ科学かがく中ちゅう的てき运用

与あずか门

位くらい运算

逻辑与あずか常つね在位ざいい运算中ちゅう使用しよう，比ひ如：

• 0 and 0 = 0
• 0 and 1 = 0
• 1 and 0 = 0
• 1 and 1 = 1

• 1100 and 1010 = 1000

编程中ちゅう的てき使用しよう

在ざい高等こうとう计算机つくえ编程中ちゅう，逻辑合あい取と“与あずか”通常つうじょう由よし内ない置おけ算さん符ふand或ある&号ごう来らい表おもて达。很多编程语言还提供与きょうよ逻辑与相しょう应的短たん路ろ求もとめ值控制せい结构。

布ぬの尔“与あずか”也在SQL的てき运算符ふ中ちゅう使用しよう。有ゆう些数据すえ库区分くぶん大小だいしょう写うつし，需要じゅよう"AND"符号ふごう。

在ざい计算机つくえ科学かがく中ちゅう，AND运算符ふ可か以用来らい构造位い屏へい蔽，以选择二に进制序列じょれつ的てき一いち部分ぶぶん。比ひ如10011101 AND 00001000 = 00001000用もちい来き取ど二に进制序列じょれつ的てき第だい五ご位い。

交集运算

集合しゅうごう论中なか的てき交运算是ぜ用よう逻辑与あずか来らい定てい义的：x ∈ A ∩ B当とう且仅当とう(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因よし此逻辑与有ゆう很多与あずか交集运算相しょう同どう的まと性せい质，诸如结合律りつ，交换律りつ，分配ぶんぱい律りつ，及德とく·摩ま根ね定律ていりつ。

参まいり见

• 与あずか门

相あい关网页

• Wolfram Mathematics Conjunction （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• All Math Words Encyclopedia Conjunction （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Hazewinkel, Michiel (编), Conjunction, 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Property and truth table of AND propositions. （原始げんし内容ないよう存そん档于May 6, 2017）. 

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