相等そうとう

在ざい數學すうがく的てき領域りょういき中ちゅう，若わか兩個りゃんこ数学すうがく对象在ざい各かく个方面かたも都と相しょう同どう，则称他た们是相等そうとう的てき。这就定てい义了一いち个二元にげん谓词等とう于，写うつし作さく“$=$”；$x=y$当とう且仅当とう$x$和わ$y$相等そうとう。通常つうじょう意い义上，等とう于是通どおり过两个元素げんそ间的等とう价关系けい来らい构造的てき。将はた两个表おもて达式用よう等とう于符号ごう连起来らい，就构成なり了りょう等式とうしき，例れい如$6-2=4$，即そく$6-2$與あずか$4$是ぜ相等そうとう的てき。

注意ちゅうい，有ゆう些时候こう“$A=B$”并不表示ひょうじ等式とうしき。例れい如，$T(n)=O(n^{2})$表示ひょうじ在ざい数量すうりょう级$n^{2}$上うえ渐进。因よし為ため这裡的てき符号ふごう“$=$”不ふ滿足まんぞく若わか且唯若わか的てき定義ていぎ，所しょ以它不等ふとう於等于符号ごう；实际上じょう，$O(n^{2})=T(n)$是ぜ没ぼつ有意ゆうい义的。请参见大だいO符号ふごう了解りょうかい这部分ぶぶん内容ないよう。

等とう价二元关系的表格

集合しゅうごう$A$上うえ的てき等とう于关系けい是ぜ种二元にげん关系，满足自じ反はん性せい，对称性せい，反はん对称性せい和わ传递性せい。 实际上じょう，这是$A$ 上うえ唯ただ一满足所有这些性质的关系。 去さ掉对反はん对称性的せいてき要求ようきゅう，就是等とう价关系けい。 相あい应的，给定任意にんい等とう价关系けい$R$，可か以构造づくり商しょう集しゅう$A/R$，并且这个等とう价关系けい将はた‘下降かこう为’$A/R$上うえ的てき等とう于。

在任ざいにん何なん条件下じょうけんか都と成立せいりつ的てき等式とうしき称しょう为恒等こうとう式しき，包含ほうがん未知数みちすう的てき等式とうしき称しょう为方程式ほうていしき。

邏輯形式けいしき

謂いい詞し邏輯含有がんゆう標準ひょうじゅん的てき關せき於相等とう的てき公理こうり來らい形式けいしき化か萊布尼あま茨いばら律りつ。萊布尼あま茨いばら律りつ是ぜ由ゆかり哲學てつがく家か萊布尼あま茨いばら在ざい17世紀せいき提出ていしゅつ來らい的てき。 萊布尼あま茨いばら的てき想そう法ほう是ぜ，兩樣りょうよう物體ぶったい是ぜ同どう一いち的てき，當とう且僅當とう它們有ゆう完全かんぜん相しょう同どう的てき性質せいしつ。 形式けいしき化か這一說法せっぽう，可か以寫成なり

對たい任意にんい$x$和わ$y$，$x=y$當とう且僅當とう對たい任意にんい謂いい詞し$P$ ，$P(x)$當とう且僅當とう$P(y)$。

然しか而，在ざい一いち階かい邏輯中なか，不能ふのう對たい謂いい詞し進行しんこう量りょう化か。因よし此，需要じゅよう使用しよう下か述じゅつ公理こうり：

對たい任意にんい$x$和わ$y$，若わか$x$等とう於$y$，則のり$P(x)$當とう且僅當とう$P(y)$。

這條公理こうり對たい任意にんい單たん變量へんりょう的てき謂いい詞し$P$都と有效ゆうこう，但ただし只ただ定義ていぎ了りょう萊布尼あま茨いばら律りつ的てき一いち個こ方向ほうこう：若わか$x$和わ$y$相等そうとう，則のり它們具有ぐゆう相しょう同どう的てき性質せいしつ。 可か以通過つうか簡單かんたん的てき假設かせつ來らい定義ていぎ萊布尼あま茨いばら律りつ的てき另一いち個こ方向ほうこう：

對たい任意にんい$x$，$x$等とう於$x$。

則のり若わか$x$和わ$y$具有ぐゆう相しょう同どう的てき性質せいしつ，則のり特定とくてい的てき它們關せき於謂詞し$P$是ぜ相しょう同どう的てき。這裡謂いい詞し$P$為ため：$P(z)$當とう且僅當とう$x=z$。 由よし於$P(x)$成立せいりつ，$P(y)$必定ひつじょう也成立せいりつ（相あい同どう的てき性質せいしつ），所以ゆえん$x=y$（' '$P$的てき變量へんりょう為ため$y$）.

等とう于的一些基本性质

替がえ代だい性せい

参まいり见：等量とうりょう公理こうり

对任意にんい量りょう$a$和わ$b$和かず任つとむ意表いひょう达式$F(x)$，若わか$a=b$，则$F(a)=F(b)$（设等式しき两边都と有意ゆうい义）。 在ざい一いち阶逻辑中なか，不能ふのう量りょう化か像ぞう$F$这样的てき表ひょう达式（它可能かのう是ぜ个函数かんすう谓词）。 一いち些例子こ：

• 对任意にんい实数$a,b,c$，若わか$a=b$，则$a+c=b+c$（这里$F(x)$为$x+c$）
• 对任意にんい实数$a,b,c$，若わか$a=b$，则$a-c=b-c$（这里$F(x)$为$x-c$）
• 对任意にんい实数$a,b,c$，若わか$a=b$，则$ac=bc$（这里$F(x)$为$xc$）
• 对任意にんい实数$a,b,c$，若わか$a=b$且$c\neq 0$，则$a/c=b/c$（这里$F(x)$为$x/c$）

自じ反はん性せい

对任意にんい量りょう$a$，$a=a$。

这个性せい质通常つうじょう在ざい数学すうがく证明中ちゅう作さく为中间步骤。

对称性せい

例れい子こ：如果$a=b$，那な么$b=a$

传递性せい

例れい子こ：如果$a=b$，$b=c$，那な么$a=c$

实数或ある其他对象上じょう的てき二元にげん关系“约等于”，即そく使つかい进行精せい确定义，也不具有ぐゆう传递性せい（即そく使つかい看み上じょう去さ有ゆう，但ただし许多小しょう的てき差さ能のう够叠加か成なり非常ひじょう大だい）。然しか而，在ざい绝大多数たすう情じょう况下，等とう于具有ぐゆう传递性せい。

尽つき管かん对称性せい和わ传递性せい通常つうじょう看み上じょう去さ是ぜ基本きほん性せい质，但ただし它们能のう够通过替代だい性せい和わ自じ反はん性せい证明得え到いた。

符号ふごう的てき历史

主しゅ条目じょうもく：等號とうごう

「等とう于」符号ふごう或ある 「$=$」被ひ用もちい来らい表示ひょうじ一いち些算さん术运算的てき结果，是ぜ由ゆかり罗伯特とく·雷かみなり科か德とく在ざい1557年ねん发明的てき。

由よし于觉得とく书写文字もじ过于麻あさ烦，雷かみなり科か德とく在ざい他た的てき作品さくひん The Whetstone of Witte 中ちゅう采さい用よう了りょう这一符号ふごう。原因げんいん是ぜ符号ふごう中ちゅう的てき两条线一样长，表明ひょうめい其连接せっ的てき两个量りょう也相等とう。这一发明在ざい威い尔士的てきSt Mary教きょう堂どう有ゆう记录。

约等于的てき符号ふごう是ぜ$\approx$或ある≒，不等ふとう于的てき符号ふごう是ぜ$\neq$。

参まいり见

• 等号とうごう

外部がいぶ链接

• 关系符号ふごう的てき早期そうき使用しよう（英文えいぶん）