当とう且仅当とう

「当とう且仅当とう」的てき各地かくち常用じょうよう名稱めいしょう
中国ちゅうごく大陸たいりく	当とう且仅当とう
臺灣たいわん	若わか且唯若わか
港みなと澳	當とう且僅當とう

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当とう且仅当とう的てき逻辑符号ふごう

当とう且仅当とう（英語えいご：if and only if，iff），在ざい數すう位い邏輯中ちゅう，逻辑算さん符ふ反はん互斥或ある閘（英語えいご：Exclusive NOR）是ぜ对两个运算元もと的てき一いち种邏輯分析ぶんせき类型，符号ふごう为XNOR或あるENOR或ある$\Leftrightarrow$。与あずか一般いっぱん的てき邏輯或ある非ひNOR不同ふどう，當とう兩兩りょうりょう數すう值相同どう為ため是ぜ，而數值不同時どうじ為ため否ひ。在ざい数学すうがく、哲学てつがく、逻辑学がく以及其他一些技术性领域中被用来表示“在ざい这个条件じょうけん成立せいりつ，并且仅在这个条件じょうけん成立せいりつ时”之の意い。当とう命いのち题$p,q$满足“当とう$p$则$q$”且“仅当$p$则$q$”时，称しょう为“当とう且仅当とう$p$则$q$”，其他等とう价的てき说法有ゆう“$q$当とう且仅当とう$p$”；“$p$是これ$q$的てき充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん（充たかし要よう條件じょうけん）”；“$p$等とう价于$q$”。

一般いっぱん而言，當とう我わが們看到いた“当とう且仅当とう$p$则$q$”，我わが們可以知道どう“如果$p$成立せいりつ時じ，則のり$q$一定いってい成立せいりつ；如果$q$成立せいりつ時じ，則のり$p$也一定いってい成立せいりつ”；“如果$p$不成立ふせいりつ時じ，則のり$q$一定いってい不成立ふせいりつ；如果$q$不成立ふせいりつ時じ，則のり$p$也一定いってい不成立ふせいりつ”。

当とう且仅当とう

标记

与あずか此相对应的てき逻辑符号ふごう是ぜ$\leftrightarrow$和わ$\Leftrightarrow$。这两个通常つうじょう被ひ当とう作さく是ぜ相等そうとう的てき。但ただし是ぜ，一些数学教科书，特とく别是那な些关于一いち阶逻辑而非命いのち题逻辑对此有ゆう所しょ区く别，在ざい那な里前さとまえ者しゃ被ひ用もちい来らい表示ひょうじ逻辑公式こうしき，后きさき者しゃ表示ひょうじ那な些公式しき的てき推理すいり（譬たとえ如说在ざい元もと逻辑中なか）。

证明

设$p$与あずか$q$為ため两命いのち题，在ざい证明“当とう且仅当とう$p$则$q$”时，这相当とう于去同どう时证明あかり陈述“如果$p$成立せいりつ，则$q$成立せいりつ”和かず“如果$q$成立せいりつ，则$p$成立せいりつ”。另外，也可以证明あきら“如果$p$成立せいりつ，则$q$成立せいりつ”和かず“如果$p$不成立ふせいりつ，则$q$不成立ふせいりつ”，后きさき者しゃ作さく为对偶，等とう价于“如果$q$成立せいりつ，则$p$成立せいりつ”。

有ゆう关英语缩写うつしiff的てき开端

在ざい出版しゅっぱん物ぶつ中ちゅう，英えい语iff的てき表示ひょうじ标记最さい早出そうしゅつ现在约翰·L·凯利的てき《一般いっぱん拓つぶせ扑学》中ちゅう。它的发明通常つうじょう被ひ认为是ぜ归于数学すうがく家か保ほ罗·哈尔莫斯，但ただし在ざい哈尔莫斯的てき自じ传中却声明せいめい该标记另有ゆう出で处，他た只ただ是ぜ首くび先さき在ざい数学すうがく领域使用しよう。

“当とう”与あずか“当とう且仅当とう”

简单地ち，如下的てき两个例れい子こ可か以说明あかり这两者しゃ的てき不同ふどう：

1. 当とう冰淇淋是これ香こう草口くさぐち味あじ的てき，小しょう王おう会かい吃ども。

   換言かんげん之の：如果冰淇淋是香が草口くさぐち味あじ的てき，那な么小王おう一定いってい会かい吃ども。

2. 当とう且仅当とう冰淇淋是香が草口くさぐち味あじ的てき，小しょう王おう会かい吃ども。

   換言かんげん之の：如果冰淇淋是香が草口くさぐち味あじ的てき，那な么小王おう一定いってい会かい吃ども；且如果はて小しょう王おう有ゆう吃ども冰淇淋，那な么冰淇淋一定いってい是ぜ香が草口くさぐち味あじ的てき。

第だい1句く指ゆび小しょう王おう一定会吃香草口味的冰淇淋，但ただし没ぼっ有ゆう排除はいじょ他た会かい吃ども香こう草口くさぐち味あじ以外いがい冰淇淋的可能かのう性せい，能のう肯定こうてい的てき是ぜ他た不ふ会かい拒こばめ绝香草口くさぐち味あじ的てき冰淇淋。

第だい2句く指ゆび小しょう王おう一定吃且只吃香こう草口くさぐち味あじ的てき，他た不ふ会かい吃ども其它口こう味あじ的てき冰淇淋。

进一いち步ほ的てき思考しこう

用もちい「当とう且仅当とう」连接两个句く子こ造成ぞうせい的てき句く子こ被ひ称しょう为是“双そう条件じょうけん句く”。“当とう且仅当とう”把わ两个句く子こ结合成ごうせい新しん的てき句く子こ。它不应该跟描述じゅつ两个句く子こ之の间关系けい的てき“逻辑等とう价”混淆こんこう。

双そう条件じょうけん句く“当とう且仅当とう$p$则$q$”，是ぜ用よう$p$和わ$q$来らい陈述$p$和わ$q$所ところ描述的てき事件じけん状じょう况之间的关系。

相あい对照的てき，“$p$逻辑等とう价于$q$”则注重じゅう两个句く子こ：它只是ぜ陈述两个句く子こ之の间的关系，而不是ぜ它们所しょ介かい绍的什么事情じじょう。

这里的てき区く别非常ひじょう容易ようい混淆こんこう，已やめ经使得とく很多哲学てつがく家か迷惑めいわく。当然とうぜん，在ざい“$p$逻辑等とう价于$q$”时，“当とう且仅当とう$p$则$q$”为真，但ただし是ぜ它的逆ぎゃく并不成立せいりつ。让我们重新しん考こう虑上面めん的てき句く子こ：

• 当とう且仅当とう冰淇淋是香が草口くさぐち味あじ，则小王おう会かい吃ども这个冰淇淋。

很清楚すわえ，对于这个特定とくてい的てき双そう条件じょうけん句く，两个半はん句く之の间并没ぼつ有ゆう逻辑等とう价。

在ざい哲学てつがく和わ逻辑学がく中ちゅう，“当とう且仅当とう”通常つうじょう用作ようさく定てい义，因いん为定义被认为是ぜ全ぜん称しょう量りょう化か的てき双そう条件じょうけん句く。但ただし在ざい数学すうがく中ちゅう，相そう比ひ起おこり“当とう且仅当とう”，如果通常つうじょう被ひ用よう于定义。这里给出一いち些使用しよう到いた“当とう且仅当とう的まと”真ま陈述，也是真ま双そう条件じょうけん句く（第だい一句是一个定义的例子）：

• 当とう且仅当とう一个人是未婚且可结婚的男人，则他是ぜ单身男性だんせい。
• 当とう且仅当とう$x=1$，则$x+1=2$。
• 对于任意にんい命いのち题$p,q,r$，当とう且仅当とう$(p\land q)\land r$，则$p\land (q\land r)$。

更さら一般いっぱん的てき用法ようほう

“当とう且仅当とう”在ざい逻辑领域以外いがい，在ざい数学すうがく出版しゅっぱん物ぶつ或ある者もの普通ふつう的てき谈话中也ちゅうや会かい用よう到いた。如同上面うわつら所しょ说，它指的てき是ぜ某ぼう个陈述じゅつ是ぜ另外一いち个的充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん。这是一个数学术语的例子。

参まいり见

• 充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん
• 等とう价关系けい
• 等とう价符号ごう