希まれ尔伯特とく公理こうり

希まれ尔伯特とく公理こうり（Hilbert's Axioms）是これ欧おう几里得とく几何的てき现代化か基もと石せき，由ゆかり大だい卫·希まれ尔伯特とく于1899年ねん在ざい其著作ちょさく Grundlagen der Geometrie（中ちゅう译：《几何なん基き础》）中ちゅう提出ていしゅつ。

除じょ本ほん套公理こうり以外いがい，亦また有ゆう其他对欧几里得とく几何的てき公理こうり化か尝试，如塔とう斯基公理こうり以及伯はく克かつ霍夫公理こうり。

公理こうり内容ないよう

希まれ尔伯特とく的てき公理系こうりけい统由よし六种基本符号组成。其中，有ゆう三さん种基本きほん对象：点てん、直ちょく线（简称「线」）、平面へいめん（简称「面めん」）；以及三さん种基本きほん关系：

• 夹（betweenness）：一种联系点的三元关系；
• 落（lies on）/含（containment）：一いち组三さん种二元にげん关系，分ふん别联系けい点てん与あずか直ちょく线、点てん与平よへい面めん，以及平面へいめん与あずか直ちょく线；
• 同どう（congruence）：一组两种二元关系，分ふん别联系けい两条线段或ある两个角かく，均ひとし以中缀符号ごう ≅ 表示ひょうじ。

上面うわつら提ひっさげ到いた的てき线段、角すみ，以及更さら多た诸如三角形さんかっけい之の类的概念がいねん，均ひとし可か在ざい点てん线面的てき基本きほん对象上じょう，运用夹与含这两种基本きほん关系加か以定义。下面かめん所しょ列れつ出で的てき公理こうり中ちゅう，除じょ非ひ特とく别声明せいめい，所有しょゆう提ひさげ及的对象都と是ぜ互异的てき。

一いち、所在しょざい

1. 给定任意にんい两点 A、B，存在そんざい一いち条じょう直ちょく线 a 同どう时包含其二に者しゃ。这记作さく AB=a 或ある BA=a。 除じょ了りょう「a 包含ほうがん A 与あずか B」，也可以用其他方式ほうしき表ひょう述じゅつ，例れい如：「A 是これ a 上うえ的てき点てん」「a 穿ほじ过了 A 与あずか B」「a 连接了りょう A 与あずか B」。 若わか点てん A 同どう时落于两条じょう直ちょく线 a 与あずか b 上うえ，也可以说「直ちょく线 a 与あずか b 有ゆう公共こうきょう点てん A」。
2. 给定任意にんい两点 A、B，最多さいた只ただ存在そんざい一条直线同时包含其二者。这也是ぜ说，若わか对于相しょう异两点てん B、C，同どう时有 AB=a 与あずか AC=a，那な么有 BC=a。
3. 一条直线上至少存在两个点；又また，至いたり少しょう存在そんざい不ふ共きょう线的三さん个点。
4. 对于任意にんい不ふ共きょう线三さん点てん A、B、C，存在そんざい一同时包含其三者的平面 αあるふぁ。这记作さく ABC=αあるふぁ。 亦また可か说是「A、B、C 落于 αあるふぁ 上うえ」「A、B、C 是これ αあるふぁ 上うえ的てき点てん」。
5. 对于任意にんい不ふ共きょう线三さん点てん A、B、C，最多さいた只ただ存在そんざい一个平面同时包含其三者。
6. 若わか在ざい直ちょく线 a 上うえ的てき两点 A、B 同どう时落于平面めん αあるふぁ 上うえ，那な么 a 上うえ的てき任意にんい点てん均ひとし落于 αあるふぁ 上うえ。又また说「直ちょく线 a 落于平面へいめん αあるふぁ 上うえ」。
7. 若わか平面へいめん αあるふぁ、βべーた 均ひとし包含ほうがん点てん A，那な么它们至少しょう共同きょうどう包含ほうがん另一いち点てん B。
8. 至いたり少しょう存在そんざい不ふ共とも面めん的てき四よん个点。

二に、顺序

1. 对于互异三さん点てん A、B、C，若わか B 夹在 A、C 间，则 B 亦また夹在 C、A 间，且存在そんざい一条直线同时包含 A、B、C。
2. 对于互异两点 A、C，至いたり少しょう存在そんざい一いち点てん B 落于直ちょく线 AC 上うえ，使つかい得とく C 夹在 A、B 之これ间。
3. 直ちょく线上的てき任意にんい三点最多只能有一个夹在其余两者之间。
4. 给定三さん点てん A、B、C 与平よへい面めん ABC 上うえ不ふ穿ほじ过三点中任意一个的直线 αあるふぁ，若わか αあるふぁ 穿ほじ过线段だん AB，则其必然ひつぜん同どう时穿过线段だん AC 或ある BC 其中之の一いち。（Pasch 公理こうり）

三さん、等とう同どう

1. 若わか点てん A、B 在ざい直ちょく线 a 上うえ且点 A' 在ざい直ちょく线 a' 上うえ（可か与あずか a 相あい同どう），总可以在 a' 上うえ关于 A' 的てき任意にんい一いち侧找到点てん B'，使つかい得とく线段 AB 与あずか A'B' 等とう同どう。这记作さく AB ≅ A'B'。 每まい条じょう线段均ひとし与あずか其自身じしん等とう同どう，也就是ぜ说 AB ≅ AB。（自じ反はん性せい） 此公理こうり就是在ざい说，给定任意にんい线段，可か以将其“摆”在ざい任意にんい直ちょく线上的てき任意にんい点てん的てき任意にんい一いち侧。
2. 若わか线段 AB 同どう时与线段 A'B'、A''B'' 等ひとし同どう，那な么 A'B' 亦また等ひとし同どう于 A''B''。（传递性せい）
3. 令れい AB、BC 为同一直线上仅共点于 B 的てき两条线段，以及 A'B'、B'C' 为另一いち直ちょく线（可か与あずか前ぜん同どう）上じょう仅共点てん于 B' 的てき两条线段；若わか AB ≅ A'B' 且 BC ≅ B'C'ou，则 AC ≅ A'C'。
4. 令れい ∠(h,k) 为一角いっかく。给定一いち端点たんてん O' 的てき射しゃ线 h' 以及其一侧的半平はんぺん面めん αあるふぁ'，αあるふぁ' 上うえ存在そんざい且仅存在そんざい一いち条じょう射い线 k' 使つかい得とく ∠(h,k) 或ある ∠(k,h) 与あずか ∠(h',k') 等とう同どう。这记作さく ∠(h,k) ≅ ∠(h',k')。
5. 若わか角かく ∠(h,k) 等とう同どう于角 ∠(h',k')，且 ∠(h',k') 等とう同どう于角 ∠(h'',k'')，那な么 ∠(h,k) 等とう同どう于 ∠(h'',k'')。（传递性せい）
6. 若わか在ざい三角形さんかっけい ABC 与あずか A'B'C' 中有ちゅうう AB ≅ A'B'、AC ≅ A'C'、∠BAC ≅ ∠B'A'C'，那な么可以得到いた ∠ABC ≅ ∠A'B'C'（替がえ换字母はは即そく可知かち ∠ACB ≅ ∠A'C'B' 亦また成立せいりつ）。

四よん、平行へいこう

1. 对于直ちょく线 a 与あずか其外一いち点てん A，其二そのじ者しゃ所しょ确定的てき平面へいめん内ない至いたり多た有ゆう一条直线经过 A 而不与あずか a 相あい交。（欧おう几里得とく公理こうり）

五ご、连续

1. 令れい AB、CD 为任意にんい两条线段，总存在そんざい一いち数すう n，使つかい得とく从 A 出で发沿射しゃ线 AB 连续构造的てき n 条じょう与あずか CD 等ひとし同どう的てき线段会かい经过 B。（阿おもね基もと米まい德とく公理こうり）
2. 欲よく从既有ゆう直ちょく线上的てき点てん构造新しん的てき直ちょく线，使つかい得とく其仍然しか满足原あしはら先さき元素げんそ之の间的关系且符合ふごう公理こうり一到三以及四-1，这样的てき尝试是ぜ不可能ふかのう的てき。（直ちょく线完备性公理こうり）