在 ざい 可 か 性 せい 理 り 中 なか 原始 げんし 函数 かんすう 英語 えいご primitive recursive functions ）对计算 さん 的 てき 完全 かんぜん 的 てき 形式 けいしき 化 か 是 ぜ 形成 けいせい 重要 じゅうよう 板 ばん 一 いち 数 すう 使用 しよう 递归 和 わ 复合 作 さく 中心 ちゅうしん 来 き 定 てい 是 ぜ 递归函数 かんすう 的 てき 的 てき 子 こ 集 しゅう 完全 かんぜん 是 ぜ 可 か 函数 かんすう 通 つう 充 たかし 允 まこと 偏 へん 函数 かんすう 和 わ 介入 かいにゅう 可 か 函数 かんすう 的 てき 更 さら 的 てき
通常 つうじょう 在 ざい 数 かず 中 ちゅう 研究 けんきゅう 的 てき 函数 かんすう 近似 きんじ 数 すう 数 すう 比 ひ 加法 かほう 除法 じょほう 阶乘 、指数 しすう 第 だい n 个素数 すう 等 とう 等 とう 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 上 じょう 不 ふ 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 函数 かんすう 尽 つき 管 かん 某 ぼう 数 すう 是 ぜ 已 やめ 知的 ちてき 比 ひ 阿 おもね 克 かつ 数 すう 所以 ゆえん 通 つう 研究 けんきゅう 我 わが 有 ゆう 影 かげ 的 てき 那 な
原始 げんし 函数 かんすう 可 か 停 とま 机 つくえ 的 てき 图灵机 つくえ 计算，而递归函数 すう 需要 じゅよう 图灵完全 かんぜん 系 けい
原始 げんし 函数 かんすう 的 てき 集合 しゅうごう 在 ざい 计算复杂性 せい 理 り 中 ちゅう 叫 さけべ PR 。
原始 げんし 函数 かんすう 接受 せつじゅ 自然 しぜん 数 すう 或 ある 自然 しぜん 数 すう 的 てき 元 もと 作 さく 数 すう 生成 せいせい 自然 しぜん 数 すう 接受 せつじゅ n 个参数 すう 的 てき 函数 かんすう 叫 さけべ n -元 もと 函数 かんすう 基本 きほん 原始 げんし 函数 かんすう 用 よう 公理 こうり
常数 じょうすう 函数 かんすう 元 げん 常数 じょうすう 函数 かんすう 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 后 きさき 数 すう 元 げん 后 きさき 数 すう S ，它接受 せつじゅ 皮 かわ 公理 こうり 的 てき 后 きさき 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 投影 とうえい 函数 かんすう 所有 しょゆう n ≥1 和 わ 每 ごと i ≤n 的 てき i ，n 元 もと 投影 とうえい 函数 かんすう P i n 接受 せつじゅ n 个参数 すう 回 かい 中 ちゅう 的 てき 第 だい i 个参数 すう 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 更 さら 加 か 的 てき 函数 かんすう 可 か 用 よう 下 か 列 れつ 公理 こうり 的 てき 运算 来 らい
复合 : 给定k 元 もと 原始 げんし 函数 かんすう f ，和 わ k 个 m 元 もと 原始 げんし 函数 かんすう g 1 ,...,g k f 和 わ g 1 ,...,g k 的 てき 复合 ，也就是 ぜ m 元 もと 函数 かんすう h (x 1 ,...,x m f (g 1 (x 1 ,...,x m g k x 1 ,...,x m 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 原始 げんし k 元 もと 原始 げんし 函数 かんすう f ，和 わ k +2 元 げん 原始 げんし 函数 かんすう g ，定 てい f 和 わ g 的 てき 原始 げんし 的 てき k +1 元 げん 函数 かんすう 是 ぜ 函数 かんすう h 这里的 てき h (0,x 1 ,...,x k f (x 1 ,...,x k h (S (n ),x 1 ,...,x k g (h (n ,x 1 ,...,x k n ,x 1 ,...,x k 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 服 ふく 公理 こうり 的 てき 函数 かんすう 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 上述 じょうじゅつ 基本 きほん 函数 かんすう 之 の 一 いち 或 ある 者 もの 用 よう 有限 ゆうげん 次数 じすう 的 てき 自 じ 基本 きほん 函数 かんすう
投影 とうえい 函数 かんすう 可用 かよう 来 らい 采 さい 用 よう 上述 じょうじゅつ 明 あかり 板 いた 的 てき 函数 かんすう 元 もと 数 かず 方式 ほうしき 通 どおり 使用 しよう 各 かく 投影 とうえい 函数 かんすう 的 てき 有 ゆう 可能 かのう 把 わ 例 れい g 和 わ h 是 ぜ 二 に 元 げん 原始 げんし 函数 かんすう
f
(
a
,
b
,
c
)
=
g
(
h
(
a
,
c
)
,
h
(
a
,
b
)
)
{\displaystyle f(a,b,c)=g(h(a,c),h(a,b))\!}
也是原始 げんし 的 てき 使用 しよう 投影 とうえい 函数 かんすう 的 てき
f
(
a
,
b
,
c
)
=
g
(
h
(
P
1
3
(
a
,
b
,
c
)
,
P
3
3
(
a
,
b
,
c
)
)
,
h
(
P
1
3
(
a
,
b
,
c
)
,
P
2
3
(
a
,
b
,
c
)
)
)
{\displaystyle f(a,b,c)=g(h(P_{1}^{3}(a,b,c),P_{3}^{3}(a,b,c)),h(P_{1}^{3}(a,b,c),P_{2}^{3}(a,b,c)))}
在 ざい 某 ぼう 置 おけ 中 ちゅう 自然 しぜん 的 てき 考 こう 接受 せつじゅ 混合 こんごう 了 りょう 数 すう 真 ま 的 てき 参 さん 数 すう 或 ある 生成 せいせい 真 ま 出 で 的 てき 原始 げんし 函数 かんすう 参 まいり 真 ま 任 にん 何 なん 固定 こてい 方式 ほうしき 的 てき 数 すう 完成 かんせい 例 れい 通常 つうじょう 把 わ 真 しん t 识别为 1 和 かず 真 しん f 识别为 0 。一旦作出这种识别，集合 しゅうごう A 的 てき 特 とく 征 せい 函数 かんすう 文字 もじ 上 じょう 返 かえし 回 かい 1 或 ある 0 ，可 か 看 み 作 さく 判定 はんてい A 中 なか 的 てき 把 わ 数 すう 的 てき 方式 ほうしき 将 しょう 假定 かてい 本文 ほんぶん 余 あまり 下 か 部分 ぶぶん
直 ちょく 我 わが 把 わ 加法 かほう 的 てき 定 てい
add(0,x )=x
add(n +1,x )=add(n ,x )+1 为了使 し 合 あい 格 かく 的 てき 原始 げんし 定 てい 我 わが
add(0,x )=P 1 1 (x )
add(S(n ),x )=S (P 1 3 (add(n ,x ),n ,x )) (注意 ちゅうい 的 てき P 1 3 是 ぜ 一 いち 数 すう 接受 せつじゅ 数 すう 回 かい 第 だい 一 いち
P 1 1 是 ぜ 的 てき 恒等 こうとう 函数 かんすう 包含 ほうがん 上述 じょうじゅつ 原始 げんし 算定 さんてい 要求 ようきゅう 演 えんじ 了 りょう f 的 てき 角 かく 色 しょく S 和 わ P 1 3 的 てき 原始 げんし 的 てき 演 えんじ 了 りょう g 的 てき 角 かく 色 しょく
我 わが 有限 ゆうげん 到 いた 的 てき 因 いん 没 ぼつ 有 ゆう 的 てき 概念 がいねん 首 くび 先 さき 我 わが 前 ぜん 函数 かんすう 担任 たんにん 后 きさき 数 すう 的 てき 物 ぶつ
直 ちょく 我 わが 把 わ 前 まえ
pred(0)=0
pred(n +1)=n 为了使 し 合 あい 正式 せいしき 的 てき 原始 げんし 定 てい 我 わが
pred(0)=0
pred(S(n ))=P 2 2 (pred(n ),n ) 现在我 わが 加法 かほう 的 てき 方式 ほうしき 定 てい 法 ほう
sub(0,x )=P 1 1 (x )
sub(S(n ),x )=pred(P 1 3 (sub(n ,x ),n ,x )) 出 で 切 きり 定 てい 参 さん 数 すう 次序 じじょ 来 らい 原始 げんし 的 てき 要求 ようきゅう a ,b ) 对应于 b -a 。这可以轻易 えき 的 てき 使用 しよう 的 てき 投影 とうえい 来 らい
很多类似的 てき 函数 かんすう 可 か 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 一 いち 子 こ 包括 ほうかつ 条件 じょうけん 指数 しすう 素数 そすう 和 わ 数学 すうがく 法 ほう 原始 げんし 函数 かんすう 可 か 来 らい 在 ざい 上 うえ 比 ひ 数 すう 和 わ 有理数 ゆうりすう
在 ざい 整数 せいすう 和 わ 有理数 ゆうりすう 上 じょう 的 てき [ 编辑 ] 通 つう 使用 しよう 哥德尔数 ，原始 げんし 函数 かんすう 可 か 到 いた 在 ざい 比 ひ 数 すう 和 わ 有理数 ゆうりすう 上 うえ 的 てき 上 じょう 准 じゅん 方式 ほうしき 整数 せいすう 用 よう 算 さん 算 さん 包括 ほうかつ 加法 かほう 乘法 じょうほう 都 と 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 的 てき 德 とく 表示 ひょうじ 有理数 ゆうりすう 域 いき 都 と 是 ぜ 原始 げんし 的 てき
通 つう 介入 かいにゅう 无界查找算 さん 子 こ 可 か 定 てい 的 てき 偏 へん 函数 かんすう 算 さん 子 こ 的 てき 使用 しよう 可 か 偏 へん 函数 かんすう 数 すう 有 ゆう 最多 さいた 一 いち 但 ただし 是 ぜ 不同 ふどう 函数 かんすう 不 ふ 数 すう 有 ゆう 参 まいり 定 てい 图灵机 つくえ 就算的 てき 函数 かんすう 全 ぜん 函数 かんすう 是 ぜ 所有 しょゆう 有定 ありさだ 偏 へん 函数 かんすう
所有 しょゆう 原始 げんし 函数 かんすう 都 と 是 ぜ 全 ぜん 的 てき 但 ただし 不 ふ 是 ぜ 所有 しょゆう 全 ぜん 函数 かんすう 都 と 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 阿 おもね 克 かつ 数 すう A (m ,n )是 ぜ 周知 しゅうち 的 てき 不 ふ 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 全 ぜん 函数 かんすう 原始 げんし 函数 かんすう 有作 ゆうさく 使用 しよう 阿 おもね 克 かつ 数 すう 的 てき 全 ぜん 函数 かんすう 的 てき 子 こ 集 しゅう 的 てき 一 いち 征 せい 特 とく 征 せい 声 ごえ 称 たたえ 当 とう 当 とう 有 ゆう 一 いち 自然 しぜん 数 すう m 使 つかい 得 とく 函数 かんすう 可 か m ,n ) 或 ある 更 さら 少 しょう 步 ふ 停 とま 机 つくえ 的 てき 机 つくえ 的 てき n 是 ぜ 原始 げんし 函数 かんすう 的 てき 参 まいり 数 すう 的 てき
原始 げんし 函数 かんすう 意 い 密 みつ 可 か 函数 かんすう 的 てき 当然 とうぜん 函数 かんすう 的 てき 初 はつ 始 はじめ 集合 しゅうごう 在 ざい 直 ちょく 是 ぜ 可 か 的 てき 因 いん 非常 ひじょう 能 のう 用 よう 来 らい 建立 こんりゅう 新 しん 原始 げんし 函数 かんすう 的 てき 非常 ひじょう 直接的 ちょくせつてき 但 ただし 是 ぜ 原始 げんし 函数 かんすう 的 てき 集合 しゅうごう 不 ふ 包含 ほうがん 所有 しょゆう 可能 かのう 的 てき 可 か 函数 かんすう 作 さく 康 やすし 托 たく 对角论证法 ほう 的 てき 提供 ていきょう 了 りょう 的 てき 梗概 こうがい
原始 げんし 函数 かんすう 集合 しゅうごう 可 か 被 ひ 枚 まい 方案 ほうあん 在 ざい 函数 かんすう 定 てい 是 ぜ 唯一 ゆいいつ 的 てき 尽 つき 管 かん 在 ざい 函数 かんすう 自身 じしん 上 じょう 不 ふ 是 ぜ 唯一 ゆいいつ 的 てき 因 いん 所有 しょゆう 的 てき 函数 かんすう 都 と 可 か 数 すう 目的 もくてき 定 てい 考 こう 由 ゆかり 恒等 こうとう 函数 かんすう 在 ざい 可 か 性 せい 的 てき 形式 けいしき 模型 もけい 比 ひ 递归函数 かんすう 或 ある 图灵机 つくえ 下 した 定 てい 意 い 是 ぜ 可 か 的 てき 邱奇-图灵论题 涉 わたる 任 にん 何 なん 机 つくえ 器 き 都 と 可 か
现在考 こう 的 てき 行 ぎょう 是 ぜ 在 ざい 方案 ほうあん 下 か 的 てき 有 ゆう 是 ぜ 自然 しぜん 数 すう 元素 げんそ i , j ) 对应于计算 さん j 之 これ 上 じょう 的 てき 第 だい i 个一 いち 元 げん 原始 げんし 函数 かんすう 我 わが f i j )。
现在我 わが 数 すう g (x ) = S(f x x ))。g 位 くらい 的 てき 一 いち 函数 かんすう 是 ぜ 可 か 的 てき 上述 じょうじゅつ 定 てい 但 ただし 是 ぜ 明 あかり 没 ぼつ 有 ゆう 原始 げんし 函数 かんすう 存在 そんざい 因 いん 与 あずか 每 まい 可能 かのう 的 てき 原始 げんし 函数 かんすう 都 と 有 ゆう 至 いたり 少 しょう 一 いち 不同 ふどう 所以 ゆえん 必然 ひつぜん 存在 そんざい 不 ふ 是 ぜ 原始 げんし 的 てき 可 か 函数 かんすう
这个论证可 か 用 よう 用 よう 方式 ほうしき 枚 まい 任 にん 何 なん 一 いち 可 か 全 あきら 函数 かんすう 上 じょう 所以 ゆえん 任 にん 何 なん 可 か 全 あきら 函数 かんすう 的 てき 明 あかり 表 おもて 都 と 不可能 ふかのう 是 ぜ 完全 かんぜん 的 てき 比 ひ 判定 はんてい 器 き 的 てき 函数 かんすう 但 ただし 是 ぜ 要注意 ようちゅうい 偏 へん 可 か 函数 かんすう 集合 しゅうごう 那 な 需要 じゅよう 所有 しょゆう 参 さん 数 すう 有定 ありさだ 函数 かんすう 可 か 明 あかり 枚 まい 例 れい 图灵机 つくえ 编码。
可 か 展示 てんじ 的 てき 一 いち 元 もと 可 か 函数 かんすう 阿 おもね 克 かつ 數 すう 何 なん 自然 しぜん 数 すう 定 てい 但 ただし 不 ふ 是 ぜ 原始 げんし 的 てき
递归定 てい 以前 いぜん 在 ざい 数学 すうがく 中 ちゅう 或 ある 多 おお 或 ある 少 しょう 地 ち 被 ひ 正式 せいしき 使用 しよう 但 ただし 原始 げんし 的 てき 可 か 溯 さかのぼ 到 いた 理 り 金 きん 的 てき 工作 こうさく 是 ぜ 第 だい [ 1] [ 2] [ 3]
原始 げんし 算 さん 由 ゆかり Thoralf Skolem 首 くび 次 じ 提出 ていしゅつ 的 てき [ 4] 年 ねん
目前 もくぜん 的 てき 是 ぜ 由 ゆかり Rózsa Péter （1934年 ねん 在 ざい Wilkinson 之 これ 后 きさき 的 てき 在 ざい 阿 おもね 克 かつ 年 ねん 了 りょう 今 こん 天 てん 名字 みょうじ 命名 めいめい 的 てき 函数 かんすう 不 ふ 是 ぜ 原始 げんし 函数 かんすう 之 の 后 きさき 事件 じけん 人 じん 需要 じゅよう 重 おも 新 しん 命名 めいめい 在 ざい 那 な 之 の 前 ぜん 被 ひ 称 しょう 数 すう 的 てき
Brainerd, W.S., Landweber, L.H. (1974), Theory of Computation , Wiley, ISBN 0-471-09585-0 .
Robert I. Soare , Recursively Enumerable Sets and Degrees , Springer-Verlag, 1987. ISBN 0-387-15299-7 Stephen Kleene (1952) Introduction to Metamathematics , North-Holland Publishing Company, New York, 11th reprint 1971: (2nd edition notes added on 6th reprint). In Chapter XI. General Recursive Functions §57George Boolos , John Burgess , Richard Jeffrey (2002), Computability and Logic: Fourth Edition , Cambridge University Press, Cambridge, UK. Cf pp. 70-71.Robert I. Soare 1995 Computability and Recursion http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/History/compute.pdf （页面存 そん ，存 そん 互联网档案 あん ）
Daniel Severin 2008, Unary primitive recursive functions , J. Symbolic Logic Volume 73, Issue 4, pp. 1122-1138 arXiv （页面存 そん ，存 そん 互联网档案 あん ） projecteuclid （页面存 そん ，存 そん 互联网档案 あん ） Template:数学 すうがく
