皮かわ亚诺公理こうり

皮かわ亚诺公理こうり（英語えいご：Peano axioms；義よし大利おおとし語ご：Assiomi di Peano），也称皮かわ亚诺公こう设，是ぜ意い大利おおとし数学すうがく家か朱しゅ塞ふさが佩·皮がわ亚诺提出ていしゅつ的てき关于自然しぜん数すう的てき五ご条じょう公理こうり系けい统。根ね据すえ这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮がわ亚诺算さん术系统。

内容ないよう

图中所しょ示しめせ的てき多米ため诺骨牌こっぱい结构（浅あさ色しょく最近さいきん的てき一いち块为0）符合ふごう皮がわ亚诺的てき前ぜん四条しじょう公理こうり，第だい五ご条じょう公理こうり则确保ほ数学すうがく归纳法ほう正せい确性，即そく排除はいじょ与あずか浅あさ色しょく不ふ相あい关的深ふか色しょく骨牌こっぱい的てき结构。

皮かわ亚诺的てき这五条ごじょう公理こうり用よう非ひ形式けいしき化か方法ほうほう叙述じょじゅつ如下：

1. 0是ぜ自然しぜん数すう；
2. 每まい一个确定的自然数a，都と有ゆう一个确定的后继数a' ，a' 也是自然しぜん数すう；
3. 对于每ごと个自然しぜん数すうb、c，b=c当とう且仅当とうb的てき后きさき继数=c的てき后きさき继数；
4. 0不ふ是ぜ任にん何なん自然しぜん数すう的てき后きさき继数；
5. 任意にんい关于自然しぜん数すう的てき命いのち题，如果证明：它对自然しぜん数すう0是ぜ真しん的てき，且假定かてい它对自然しぜん数すうa为真时，可か以证明あかり对a' 也真。那な么，命いのち题对所有しょゆう自然しぜん数すう都と真しん。

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例れい如，0的てき后きさき继数是ぜ1，1的てき后きさき继数是ぜ2等とう等とう；公理こうり5保ほ证了数学すうがく归纳法ほう的てき正せい确性，从而被ひ称しょう为归纳法原理げんり。

若わか不ふ将しょう0视作自然しぜん数すう，则公理こうり1,4,5中ちゅう的てき“0”要よう换成“1”。

更正こうせい式しき的てき定てい义如下か：

一いち个戴德金きん-皮かわ亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X, x, f）：

• X是ぜ一いち集合しゅうごう，x为X中ちゅう一いち元素げんそ，f是これX到いた自身じしん的てき映うつ射しゃ。
• x不在ふざいf的てき值域内ない。（對應たいおう上面うわつら的てき公理こうり4）
• f为一单射。（對應たいおう上面うわつら的てき公理こうり3）
• 若わかA为X的てき子こ集しゅう并满足あし：
  • x属ぞく于A,且
  • 若わかa属ぞく于A,则f（a） 亦また属ぞく于A

则A = X。

正式せいしき定てい义可以用谓词逻辑表示ひょうじ如下:

戴德金きん-皮かわ亚诺结构可か以描述じゅつ为满足あし所有しょゆう以下いか条件じょうけん的てき三さん元げん组 (S, f, e)

• $(e\in S)$
• $(\forall a\in S)(f(a)\in S)$
• $(\forall b\in S)(\forall c\in S)(f(b)=f(c)\implies b=c)$
• $(\forall a\in S)(f(a)\neq e)$
• $(\forall A\subseteq S)(((e\in A)\land (\forall a\in A)(f(a)\in A))\implies (A=S))$

皮かわ亚诺算さん术

皮かわ亚诺算さん术(PA)的てき公理こうり:

• $\forall x(Sx\neq 0)$。
• $\forall x,y((Sx=Sy)\Rightarrow x=y)$。
• $(\varphi [0]\wedge \forall x(\varphi [x]\Rightarrow \varphi [Sx]))\Rightarrow \forall x(\varphi [x])$，对于在ざい PA 的てき语言中ちゅう的てき任にん何なん公式こうしき $\varphi$。
• $\forall x(x+0=x)$。
• $\forall x,y(x+Sy=S(x+y))$。
• $\forall x(x\cdot 0=0)$。
• $\forall x,y(x\cdot Sy=(x\cdot y)+x)$。

参まいり见

• 自然しぜん数すう
• 数学すうがく基もと础
• 古德ことく斯坦定理ていり
• 邏輯主義しゅぎ
• 印しるし符ふ数すう论

延伸えんしん阅读

• Buss, Samuel R. Chapter II: First-Order Proof Theory of Arithmetic. Buss, Samuel R. (编). Handbook of Proof Theory. New York: Elsevier Science. 1998. ISBN 9780444898401. 

• Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic (Discrete Mathematics and Its Applications) 6th. Chapman and Hall/CRC. June 2015 [December 1979]. ISBN 9781482237726. 

• Smullyan, Raymond M. The Gödelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs. Dover Publications. December 2013. ISBN 978-0-486-49705-1. 

• Takeuti, Gaisi. Proof theory Second. Mineola, New York. 2013. ISBN 978-0486490731. 

外部がいぶ链接

• Murzi, Mauro. Henri Poincaré. 《互联网哲学がく百科ひゃっか全ぜん书》.  Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.
• Podnieks, Karlis. 3. First Order Arithmetic. What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around. 2015-01-25: 93–121 [2022-12-29]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2023-03-26）. 
• Hazewinkel, Michiel (编), Peano axioms, 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Peano's Axioms. MathWorld. 
• Burris, Stanley N. What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind. 2001 [2022-12-29]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2022-10-26）.  Commentary on Dedekind's work.

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