组合子こ逻辑

组合子こ逻辑是これMoses Schönfinkel和わ哈斯凱爾·加里かり介入かいにゅう的てき一种符号系统，用よう来らい消しょう除じょ数理すうり逻辑中ちゅう对变量的てき需要じゅよう。它最近在きんざい计算机つくえ科学かがく中ちゅう被ひ用よう做计算さん的てき理り论模型がた和わ设计函数かんすう式しき编程语言的てき基もと础。它所基もと于的组合子こ是ぜ只ただ使用しよう函数かんすう应用或ある早はや先さき定てい义的组合子来こらい定てい义从它们的てき参まいり数すう得とく出で的てき结果的てき高こう阶函数すう。

数学すうがく中ちゅう的てき组合子こ逻辑

组合子こ逻辑意い图作为简单的元もと逻辑，它能澄きよし清きよし在ざい逻辑符号ふごう中ちゅう的てき量りょう化か变量的てき意い义，并真正しんせい的てき消けし除じょ对它们的需要じゅよう。消しょう除じょ量りょう化か变量的てき另一种方式しき是ぜ蒯因的てき谓词函はこ子こ。尽つき管かん多数たすう组合子こ逻辑系けい统超出で了りょう一阶逻辑的表达能力，蒯因的てき谓词函はこ子こ的てき表ひょう达能力のうりょく等とう价于一いち阶逻辑（Quine [1960] 1966）。

组合子こ逻辑的てき最初さいしょ发明者しゃSchönfinkel，在ざい1929年ねん之の后きさき基本きほん停止ていし了りょう发表著作ちょさく。Curry在ざい1927年ねん晚期ばんき于哥廷根ね大学だいがく读博士はかせ的てき时候重おも新しん发现了りょう组合子こ。在ざい1930年代ねんだい后きさき期き，邱奇和かず他た的てき学生がくせい在ざい普ふ林りん斯顿发明了りょう一个竞争的函数抽象的形式化，就是lambda演算えんざん，它比组合子こ逻辑更さら加か流行りゅうこう。这些历史上しじょう的てき意外いがい事件じけん的てき结果是ぜ直ちょく到いた在ざい1960年代ねんだい和わ1970年ねん代理だいり论计算さん机つくえ科学かがく开始感かん兴趣于组合ごう子こ逻辑，关于这个主ぬし题的几乎所有しょゆう工作こうさく都と是ぜ哈斯凯尔·柯里和かず他た的てき学生がくせい们，或ある比ひ利り时的Robert Feys做的。Curry和わFeys (1958)和かずCurry等とう人じん（1972） 纵览了りょう组合子こ逻辑的てき早期そうき历史。组合子こ逻辑和わlambda演算えんざん的てき更さら现代的てき平行へいこう处置参さん见Barendregt（1984），他た还评论了达纳·斯科特とく在ざい1960年代ねんだい和わ1970年代ねんだい为组合ごう子こ逻辑设计的てき模型もけい。

计算中ちゅう的てき组合子こ逻辑

在ざい计算机つくえ科学かがく中ちゅう，组合子こ逻辑被ひ用よう做可か计算性せい理り论中なか计算和わ证明论的てき简化模型もけい。这个理り论尽管かん简单，但ただし捕と获了计算本ほん质的很多根本こんぽん特とく征せい。

组合子こ逻辑可か以被看み作さく是ぜlambda演算えんざん的てき变体，它把lambda表ひょう达式（用もちい来らい允まこと许函数すう抽象ちゅうしょう）替がえ代だい为组合子こ的てき有限ゆうげん集合しゅうごう，它们是ぜ不ふ包含ほうがん自由じゆう变量的てき原始げんし函数かんすう。很容易ようい把わlambda表ひょう达式变换成なり组合子こ表ひょう达式，并且因いん为组合ごう子こ归约比ひlambda归约要よう简单，它已经被用よう做用软件中ちゅう的てき某ぼう些非ひ严格的てき函数かんすう式しき编程语言和わ硬かた件けん的てき图归约机的てき实现基もと础。

还可以用很多其他方式ほうしき来らい看み待まち它，很多早年そうねん的てき论文证明了りょう各かく种组合ごう子こ到いた各かく种逻辑公理こうり的てき等とう价性[Hindley and Meredith, 1990]。

lambda演算えんざん概要がいよう

主しゅ条目じょうもく：lambda演算えんざん

lambda演算えんざん关注的てき是ぜ叫さけべ做lambda-项的对象，它们是ぜ下か列れつ形式けいしき之の一いち的てき符号ふごう串くし：

• v
• λらむだv.E1
• (E1 E2)

这里的てきv是ぜ变量名字みょうじ，它取自じ预定义变量りょう名字みょうじ的てき无限集合しゅうごう，而E1和わE2是ぜlambda-项。形かたち如λらむだv.E1的てき项叫做抽象ちゅうしょう。变量v叫さけべ做抽象ちゅうしょう的てき形式けいしき参さん数すう，而E1是ぜ抽象ちゅうしょう的てき“主体しゅたい”。

项λらむだv.E1表示ひょうじ一いち个函数すう，它应用よう于一个参数すう，绑定形式けいしき参さん数すうv到いた这个参さん数すう，接着せっちゃく计算E1的てき结果值---就是说，它返回かいE1，带有v的てき所有しょゆう出で现被参さん数すう所しょ替がえ代だい。

形かたち如 (E1 E2)的てき项叫做应用。应用建けん模も函数かんすう调用或ある执行：调用E1所しょ代表だいひょう的てき函数かんすう，带有E2作さく为它的てき参さん数すう，并计算さん结果。如果E1（有ゆう时叫做applicand）是ぜ一いち个抽象ちゅうしょう，则这个项可か以被归约：参さん数すうE2可か以被代だい换如E1的てき主体しゅたい中ちゅうE1的てき形式けいしき参さん数すう的てき位置いち上じょう，而结果はて是ぜ一いち个新的てきlambda项，它等价于旧きゅう的てき。如果一いち个lambda项不包含ほうがん形がた如 (λらむだv.E1 E2)的てき子こ项，则它不能ふのう被ひ归约，而被称しょう为是范式。

表おもて达式E[v := a]表示ひょうじ接受せつじゅ项E并把v的てき所有しょゆう自由じゆう出で现替代だい为a的てき结果。所以ゆえん我わが们写

(λらむだv.E a) => E[v := a]

出で于方便びん，我わが们用 (a b c d ... z)来らい简写 (...(((a b) c) d) ... z)。（就是说，应用是ぜ左ひだり结合的てき）。

归约的てき这个定てい义的动机是ぜ捕と获所有数ゆうすう学がく函数かんすう的てき本ほん质行为。例れい如，考こう虑计算数さんすう的てき平方へいほう的てき函数かんすう。我わが们写

x的てき平方ひらかた是ただしx*x

（使用しよう"*"来らい指示しじ乘法じょうほう）。这里的てきx是ぜ这个函数かんすう的てき形式けいしき参さん数すう。要よう计算一个特定参数的平方，比ひ如3，我わが们把它插入そうにゅう到いた这个定てい义中形式けいしき参さん数すう的てき位置いち上じょう：

3的てき平方へいほう是ぜ3*3

要求ようきゅう值表达式3*3的てき结果，我わが们必须诉诸我们关于乘法ほう和わ数すう3的てき知ち识。因よし为任何なん计算都と简单的てき就是在ざい适当基本きほん参さん数すう上じょう的てき适当函数かんすう的てき计算的てき复合，这个简单代だい换原理げんり足あし够捕获计算さん的てき本ほん质机制せい。此外，在ざいlambda演算えんざん中ちゅう，概念がいねん比ひ如3和わ*，不ふ需要じゅよう任にん何なん额外定てい义基本きほん运算符ふ或ある常つね量りょう就可以表示ひょうじ出来でき。有ゆう可能かのう在ざいlambda表ひょう达式中ちゅう确定一いち些项，在ざい做适合あい的てき解かい释的时候，它们的てき表ひょう现得如同数すう3和わ乘法じょうほう运算符ふ。

已やめ知ちlambda演算えんざん在ざい计算性せい上等じょうとう价于关于计算的てき任にん何なん其他似に乎为真しん的てき模型もけい（包括ほうかつ图灵机つくえ）的てき能力のうりょく；就是说，可か以在任ざいにん何なん这些模型もけい中ちゅう完成かんせい的てき计算都と可か以用lambda演算えんざん表ひょう达，反たん之の亦また然しか。根ね据すえ邱奇-图灵论题，这些模型もけい都と可か以表达任何なん可能かのう的てき计算。

可能かのう令れい人じん惊奇，只ただ使用しよう基もと于对项中变量的てき简单文字もじ代だい换的函数かんすう抽象ちゅうしょう和わ应用的てき简单概念がいねん，lambda演算えんざん可か以表达任何なん可か想そう象ぞう出来でき的てき计算。但ただし是ぜ更さら加か不ふ寻常的てき是ぜ甚至抽象ちゅうしょう都と是ぜ不ふ需要じゅよう的てき。组合子こ逻辑就是等とう价于lambda演算えんざん的てき计算模型もけい，它不需要じゅよう抽象ちゅうしょう。

组合子こ演算えんざん

因いん为在lambda演算えんざん中ちゅう抽象ちゅうしょう是ぜ制せい造づくり函数かんすう的てき唯ただ一いち方式ほうしき，在ざい组合子こ演算えんざん中ちゅう必须有ゆう某ぼう种东西にし替がえ代だい它。不ふ再さい使用しよう抽象ちゅうしょう，组合子こ演算えんざん提供ていきょう了りょう有限ゆうげん的てき基本きほん函数かんすう的てき集合しゅうごう，其他函数かんすう可か以用它们来らい构建。

组合子こ项

组合子こ项是下か列れつ形式けいしき之の一いち：

• v
• P
• (E1 E2)

这里的てきv是ぜ一いち个变量りょう，P是ぜ基本きほん函数かんすう之の一いち，而E1和わE2是ぜ组合子こ项。基本きほん函数かんすう自身じしん是ぜ组合子こ，或ある不ふ包含ほうがん自由じゆう变量的てき函数かんすう。

组合子こ的てき例れい子こ

组合子こ的てき最さい简单的てき例れい子こ是ぜI，恒等こうとう组合子こ，定てい义为

(I x) = x

对于所有しょゆう的てき项x。另一个简单的组合子是K，制せい造づくり常つね量りょう函数かんすう：(K x)是ぜ对于任にん何なん参さん数すう都と返かえし回かいx的てき函数かんすう，所以ゆえん我わが们定义

((K x) y) = x

对于所有しょゆう的てき项x和わy。或ある者もの，服ふく从同lambda演算えんざん中ちゅう多重たじゅう应用同どう样的约定，

(K x y) = x

第だい三个组合子是S，它是应用的てき一般いっぱん化か版本はんぽん：

(S x y z) = (x z (y z))

S首くび先さき将はたz分ぶん别代换到x和わy，然しか后きさき再さい将しょう两个结果进行应用操作そうさ。

给出S和わK，I自身じしん就不是ぜ必须的てき了りょう，因いん为可以建造けんぞう自じ其他两个：

((S K K) x)

=(S K K x)

= (K x (K x))

= x

对于任にん何なん的てき项x。注意ちゅうい尽つき管かん((S K K)x) = (I x)对于任にん何なにx，(S K K)自身じしん不等ふとう于I。我わが们称这种项是外延がいえん相等そうとう的てき。外延がいえん相等そうとう捕と获了函数かんすう的てき等式とうしき的てき数学すうがく概念がいねん：两个函数かんすう是ぜ相等そうとう的てき，如果它们对于相しょう同どう的てき参まいり数すう总是生成せいせい相しょう同どう的てき结果。相反あいはん的てき，项自身じしん捕と获了函数かんすう的てき内ない涵相等とう的てき概念がいねん：两个函数かんすう是ぜ相等そうとう的てき，当とう且仅当とう它们有ゆう相しょう同どう的てき实现。有ゆう很多实现恒等こうとう函数かんすう的てき方式ほうしき；(S K K)和わI是ぜ其中的てき方式ほうしき，(S K S)也是。我わが们将使用しよう词等とう价来らい指示しじ外延がいえん相等そうとう，保留ほりゅう等とう于给同一的组合子项。

更さら有ゆう趣おもむき的てき组合子こ是ぜ不ふ动点组合子こ或あるY组合子こ，它可以用来らい实现递归。

S-K基もと的てき完かん备性

可能かのう会かい令れい人じん惊奇，事こと实上S和わK可か以组合あい起おこり来らい生成せいせい外延がいえん相等そうとう于任何なんlambda项的组合子こ，所しょ以依据すえ邱奇-图灵论题，等とう价于任にん何なん可か计算的てき函数かんすう。证明是ぜ提出ていしゅつ一いち个变换T[ ]，它转换一个任意にんい的てきlambda项到等とう价的组合子こ。

T[ ]可か定てい义如下か：

1. T[V] = > V
2. T[(E1 E2)] = >(T[E1] T[E2])
3. T[λらむだx.E] = > (K T[E])（如果x在ざいE中ちゅう没ぼつ有ゆう自由じゆう出で现）
4. T[λらむだx.x] = > I
5. T[λらむだx.λらむだy.E] = > T[λらむだx.T[λらむだy.E]]（如果x在ざいE中ちゅう自由じゆう出で现）
6. T[λらむだx.(E1 E2)] =>（S T[λらむだx.E1] T[λらむだx.E2]）

把わlambda项转换成组合子こ项

例れい如，我わが们可以转换λらむだx.λらむだy.(y x)为组合ごう子こ：

T[λらむだx.λらむだy.(y x)]

= T[λらむだx.T[λらむだy.(y x)]]（通つう过5）

= T[λらむだx.(S T[λらむだy.y] T[λらむだy.x])]（通つう过6）

= T[λらむだx.(S I T[λらむだy.x])]（通つう过4）

= T[λらむだx.(S I (K x))]（通つう过3）

= (S T[λらむだx.(S I)] T[λらむだx.(K x)])（通つう过6）

= (S (K (S I)) T[λらむだx.(K x)])（通つう过3）

= (S (K (S I)) (S T[λらむだx.K] T[λらむだx.x]))（通つう过6）

= (S (K (S I)) (S (K K) T[λらむだx.x]))（通つう过3）

= (S (K (S I)) (S (K K) I))（通つう过4）

如果我わが们应用よう这个组合子こ于任何なん两个项x和わy，它可以归约到如下：

(S (K (S I)) (S (K K) I) x y)

= (K (S I) x (S (K K) I x) y)

= (S I (S (K K) I x) y)

= (I y (S (K K) I x y))

= (y (S (K K) I x y))

= (y (K K x (I x) y))

= (y (K (I x) y))

= (y (I x))

=(y x)

组合子こ表示ひょうじ (S (K (S I)) (S (K K) I))比ひ相しょう应的lambda项λらむだx.λらむだy.(y x)要よう长很多た，这是典型てんけい的てき。一般いっぱん的てき，T[ ]构造可か以把长度为n的てきlambda项展开为长度为Θしーた（3ⁿ）的てき组合子こ项。

T[ ]变换的てき解かい释

T[ ]变换的てき目的もくてき是ぜ要よう消けし除じょ抽象ちゅうしょう。两个特殊とくしゅ情じょう况，规则3和わ4是ぜ平凡へいぼん的てき：λらむだx.x明あかり显等价于I，而λらむだx.E明あかり显等价于（K E），如果x在ざいE中ちゅう不ふ是ぜ自由じゆう出で现的。

前ぜん两个规则也是简单的てき：变量转换为自身じしん；通どおり过简单的转换applicand和わ参さん数すう到いた组合子こ，把わ在ざい组合子こ项中允まこと许的应用转换为组合ごう子こ。

有ゆう趣おもむき的てき是ぜ规则5和わ6。规则5简单的てき声こえ称たたえ要よう转换一个复杂的抽象为组合子，我わが们必须首先さき把わ它的主体しゅたい转换成なり组合子こ，接着せっちゃく消しょう除じょ这个抽象ちゅうしょう。规则6实际上じょう消しょう除じょ这个抽象ちゅうしょう。

λらむだx.(E1 E2)是ぜ一いち个函数すう，它接受せつじゅ一个参数比如a，并把它代换到lambda项 (E1 E2)中ちゅうx的てき位置いち上じょう，生成せいせい (E1 E2)[x : = a]。但ただし是ぜ代だい换a到いた (E1 E2)中ちゅうx的てき位置いち上じょう同どう于代换它到E1和わE2二に者しゃ中ちゅう，所以ゆえん

(E1 E2)[x := a] =(E1[x := a] E2[x := a])

(λらむだx.(E1 E2) a) = ((λらむだx.E1 a) (λらむだx.E2 a))

=(S λらむだx.E1 λらむだx.E2 a)

= ((S λらむだx.E1 λらむだx.E2) a)

通つう过外延がいえん相等そうとう，

λらむだx.(E1 E2) =(S λらむだx.E1 λらむだx.E2)

所以ゆえん，要よう找到等とう价λらむだx.(E1 E2)的てき组合子こ，找到等とう价于 (S λらむだx.E1 λらむだx.E2)的てき组合子こ就足够了，而

(S T[λらむだx.E1] T[λらむだx.E2])

显然合あい适。E1和わE2每まい个都包含ほうがん严格的てき比ひ (E1 E2)更さら少すくな的てき应用，所以ゆえん递归必定ひつじょう终止于根本こんぽん没ぼつ有ゆう应用的てきlambda项之上じょう---要よう么是一いち个变量りょう，要よう么是形がた如λらむだx.E的てき项。

变换的てき简化

ηいーた-归约

通つう过T[ ]变换生成せいせい的てき组合子こ可か以做的てき更さら小しょう，如果我わが们采用ようηいーた-归约规则：

T[λらむだx.(E x)] = T[E]（如果x在ざいE中ちゅう不ふ是ぜ自由じゆう的てき）

λらむだx.(E x)是ぜ一いち个函数すう，它接受せつじゅ一いち个参数すうx并应用よう函数かんすうE于它之の上うえ；这外延がいえん相等そうとう于函数すうE自身じしん。因よし此足够转换E到いた组合子こ形式けいしき。

采さい用よう这种简化，上面うわつら的てき例れい子こ变成：

T[λらむだx.λらむだy.(y x)]

= ...

= (S (K (S I)) T[λらむだx.(K x)])

= (S (K (S I)) K) （通つう过ηいーた-归约）

这个组合子こ等とう价于早はや先さき的てき更さら长的那な个：

(S (K (S I)) K x y)

= (K (S I) x (K x) y)

= (S I (K x) y)

= (I y (K x y))

= (y (K x y))

=(y x)

类似的てき，T[ ]变换的てき最初さいしょ版本はんぽん把わ恒等こうとう函数かんすうλらむだf.λらむだx.(f x)变换成なり (S (S (K S) (S (K K) I)) (K I))。通つう过ηいーた-归约规则，λらむだf.λらむだx.(f x)被ひ变换成なりI。

一いち点てん基もと

有ゆう一いち点てん基もと（one point basis），所有しょゆう组合子こ都と可か从它复合而外延がいえん等とう于任何なんlambda项。这种基もと的てき最さい简单的てき例れい子こ是ぜ{X}:

X ≡ λらむだx.((xS)K)

不ふ难验证：

X (X (X X)) =^{ηいーたβべーた} K而

X (X (X (X X)))) =^{ηいーたβべーた} S.

因いん为{K, S}是ぜ基もと，得とく出で{X}也是基もと。

B和わC组合子こ

除じょ了りょう组合子こS和わK之これ外がい，Schönfinkel的てき著作ちょさく中ちゅう包含ほうがん了りょう现在叫さけべ做B和わC的てき两个组合子こ，带有如下归约：

(C a b c) =(a c b)

(B a b c) = (a (b c))

他た还解释了如何いか只ただ使用しようS和わK来らい表ひょう达它们。

这些表ひょう达式在ざい把わ谓词逻辑或あるlambda演算えんざん转换成なり组合子こ表ひょう达式的てき时候非常ひじょう有用ゆうよう。它们也被Curry和わ更さら后きさき来らい的てきDavid Turner所ところ使用しよう，他た们的名字みょうじ已やめ经关联到了りょう它们的てき应用上うえ了りょう。使用しよう这些组合子こ，我わが们可以扩展てん变换规则为如下か：

1. T[V] = > V
2. T[(E1 E2)] = >(T[E1] T[E2])
3. T[λらむだx.E] = > (K T[E]) （如果x在ざいE中ちゅう不ふ是ぜ自由じゆう的てき）
4. T[λらむだx.x] = > I
5. T[λらむだx.λらむだy.E] = > T[λらむだx.T[λらむだy.E]]（如果x在ざいE中ちゅう是ぜ自由じゆう的てき）
6. T[λらむだx.(E1 E2)] => (S T[λらむだx.E1] T[λらむだx.E2])（如果x在ざいE1和わE2二に者しゃ中ちゅう是ぜ自由じゆう的てき）
7. T[λらむだx.(E1 E2)] => (C T[λらむだx.E1] E2)（如果x在ざいE1中ちゅう是ぜ自由じゆう的てき，但ただし在ざいE2中ちゅう不ふ是ぜ自由じゆう的てき）
8. T[λらむだx.(E1 E2)] => (B E1 T[λらむだx.E2])（如果x在ざいE2中ちゅう是ぜ自由じゆう的てき，但ただし在ざいE1中ちゅう不ふ是ぜ自由じゆう的てき）

使用しようB和わC组合子こ，λらむだx.λらむだy.(y x)的てき变换如下：

T[λらむだx.λらむだy.(y x)]

= T[λらむだx.T[λらむだy.(y x)]]

= T[λらむだx.(C T[λらむだy.y] x)] （通つう过规则7）

= T[λらむだx.(C I x)]

= (C I) （ηいーた-归约）

= C_*（传统规范记号：X_* = X I）

= I'（传统规范记号：X' = C X）

(C I x y)的てき确归约到 (y x):

(C I x y)

=(I y x)

=(y x)

B和わC的てき目的もくてき是ぜS的てき有限ゆうげん版本はんぽん。S接受せつじゅ一いち个值，并把在ざい应用之の前ぜん，把わ它代换入applicand和わ它的参さん数すう内ない，C只ただ在ざいapplicand内ない进行代だい换，而B只ただ在ざい参さん数すう内ない进行代だい换。

这些组合子こ的てき现代名字みょうじ源げん于哈斯凱爾·加里かり在ざい1930年ねん的てき博士はかせ论文（参まいり见B,C,K,W系けい统）。在ざいSchönfinkel的てき最初さいしょ著作ちょさく中ちゅう，把わ现在的てきS, K, I, B和わC分ぶん别叫做S, C, I, Z和わT。

CL_K与あずかCL_I演算えんざん

在ざい本文ほんぶん描述的てきCL_K和わCL_I演算えんざん必须做出区分くぶん。这种区く别对应于在ざいλらむだ_K和わλらむだ_I演算えんざん之の间的区く别。不同ふどう于λらむだ_K演算えんざん，λらむだ_I演算えんざん限げん制せい抽象ちゅうしょう为：

λらむだv.E1这里的てきv在ざいE1中有ちゅうう至いたり少しょう一いち次じ自由じゆう出で现。

作さく为结论，组合子こK不出ふしゅつ现在λらむだ_I演算えんざん和わCL_I演算えんざん中ちゅう。CL_I的てき常つね量りょう有ゆう：I, B, C和わS，这形成けいせい了りょう所有しょゆうCL_I项可以从它复合あい出来でき的てき基もと，B和わC模かたぎ拟K。所有しょゆうλらむだ_I项可以转换成等とう价的CL_I组合子こ，依よ据すえ类似于前面めん提供ていきょう的てき把わλらむだ_K项转换成CL_K组合子こ的てき规则。参まいり见Barendregt (1984)第だい9章しょう。

逆ぎゃく转换

从组合ごう子こ项到lambda项的转换L[ ]是ぜ平凡へいぼん的てき：

L[I] = λらむだx.x

L[K] = λらむだx.λらむだy.x

L[C] = λらむだx.λらむだy.λらむだz.(x z y)

L[B] = λらむだx.λらむだy.λらむだz.(x (y z))

L[S] = λらむだx.λらむだy.λらむだz.(x z (y z))

L[(E1 E2)] =（L[E1] L[E2]）

但ただし是ぜ，要注意ようちゅうい这个变换不ふ是ぜ我わが们见到的てき任にん何なん版本はんぽん的てきT[ ]的てき逆ぎゃく变换。

组合子こ演算えんざん的てき不可ふか判定はんてい性せい

一个组合子项是否有规范形式，两个组合子こ项是否ひ是ぜ等とう价的等とう等とう都と是ぜ不可ふか判定はんてい的てき。者しゃ等とう价于 lambda项相应问题的不可ふか判定はんてい性せい。但ただし是ぜ，有ゆう一个直接证明如下：

首くび先さき，观察到项

Ωおめが = (S I I (S I I))

没ぼつ有ゆう规范形式けいしき，因いん为它在ざい三个步骤之后归约到自身，如下：

(S I I (S I I))

= (I (S I I) (I (S I I)))

= (S I I (I (S I I)))

= (S I I (S I I))

而且没ぼつ有ゆう其他归约次序じじょ可か以使表ひょう达式更さら短たん些。

现在，假かり设N是ぜ检测范式的てき组合子こ，使つかい得とく

(N x) => T,如果x有ゆう规范形式けいしき

F,没ぼつ有ゆう规范形式けいしき。

(这里的てきT和わF是ぜ常つね规的lambda演算えんざん的てき真ま假定かてい义λらむだx.λらむだy.x和わλらむだx.λらむだy.y的てき变换。 组合子こ版本はんぽん是ぜT = K和わF = (K I))。

现在设

Z = (C (C (B N (S I I)) Ωおめが) I)

现在考こう虑项（S I I Z）。(S I I Z)有ゆう规范形式けいしき吗?它有规范形式けいしき，当とう且仅当とう下した列れつ也有やゆう：

(S I I Z)

= (I Z (I Z))

= (Z (I Z))

=(Z Z)

= (C (C (B N (S I I)) Ωおめが) I Z) （Z的てき定てい义）

= (C (B N (S I I)) Ωおめが Z I)

= (B N (S I I) Z Ωおめが I)

= (N (S I I Z) Ωおめが I)

现在我わが们需要よう应用N于(S I I Z)。(S I I Z)要よう么有规范形式けいしき，要よう么没有ゆう。如果它确实有规范形式けいしき，则前述ぜんじゅつ归约为如下か：

(N (S I I Z) Ωおめが I)

= (K Ωおめが I) （N的てき定てい义）

= Ωおめが

但ただし是これΩおめが没ぼつ有ゆう规范形式けいしき，所以ゆえん我わが们得到いた矛盾むじゅん。但ただし是ぜ如果 (S I I Z)没ぼつ有ゆう规范形式けいしき，则前述ぜんじゅつ归约为如下か：

(N (S I I Z) Ωおめが I)

= (K I Ωおめが I) （N的てき定てい义）

=(I I)

= I

这意味いみ着ぎ (S I I Z)的てき范式简单的てき是ぜI，这是另一个矛盾むじゅん。所以ゆえん，假かり设的范式组合子こN不ふ存在そんざい。

应用

函数かんすう式しき语言的てき编译

函数かんすう式しき编程语言经常基もと于lambda演算えんざん的てき简单而普遍ふへん的てき语义。

David Turner使用しよう它的组合子こ实现了りょうSASL编程语言。

Kenneth E. Iverson在ざい他た的てきJ编程语言中ちゅう使用しよう了りょう基もと于Curry的てき组合子こ的てき原げん语（primitive），J语言是ぜAPL语言的てき后きさき继者。这使得とくIverson达成了りょう隐式编程，就是说，编程采さい用よう不ふ包含ほうがん变量的てき函数かんすう表ひょう达式，并一起使用与这种程序共同工作的强力工具。结果是ぜ在任ざいにん何なん带有用よう户定义算子こ的てき类APL语言中ちゅう隐式编程都と是ぜ可能かのう的てき。

逻辑

Curry-Howard同どう构蕴涵了りょう在ざい逻辑和わ编程之の间的联系：每まい个直ちょく觉逻辑的てき有效ゆうこう的てき定理ていり证明都と直接ちょくせつ对应于一个有类型的てきlambda项的归约，反たん之の亦また然しか。定理ていり自身じしん也通过函数すう类型标志（signature）来らい识别。特とく别是，有ゆう类型的てき组合子こ逻辑对应于证明论中なか的てき希まれ尔伯特とく系けい统。

K和わS组合子こ对应于公理こうり

AK: A → (B → A),

AS: (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)),

而函数すう应用对应于肯定こうてい前件ぜんけん规则

MP:从A且A → B推出B。

由ゆかりAK, AS和わMP组成的てき演算えんざん对于直ちょく觉逻辑的蕴涵片へん段だん是ぜ完かん备的。考こう虑所有しょゆう演えんじ绎闭合あい的てき公式こうしき的てき集合しゅうごうW，按包含ほうがん排はい序じょ。则$\langle W,\subseteq \rangle$是ぜ直ちょく觉Kripke框かまち架か，我わが们定义在这个框かまち架か内ない的てき模型もけい$\langle W,\subseteq ,\Vdash \rangle$为

$X\Vdash A\iff A\in X.$

这个定てい义服从对→的てき满足的てき条件じょうけん：在ざい一いち方面ほうめん，如果$X\Vdash A\to B$，并且$Y\in W$使つかい得とく$Y\supseteq X$且$Y\Vdash A$，则通过肯定こうてい前件ぜんけん而$Y\Vdash B$。在ざい另一方面ほうめん，如$X\not \Vdash A\to B$，则通过演えんじ绎定理ていり而$X,A\not \vdash B$，因いん此$X\cup \{A\}$的てき演えんじ绎闭包つつみ是ぜ$Y\in W$的てき一个元素使得$Y\supseteq X$, $Y\Vdash A$和わ$Y\not \Vdash B$。

设A是ぜ在ざい演算えんざん中ちゅう不能ふのう证明的てき任にん何なん公式こうしき。则A不ふ属ぞく于非空そら集合しゅうごう的てき演えんじ绎闭包つつみX，所以ゆえん$X\not \Vdash A$，而A不ふ是ぜ直ちょく觉有效ゆうこう的てき。

参まいり见

• SKI组合子こ演算えんざん
• B,C,K,W系けい统
• 不ふ动点组合子こ
• 图归约机
• 超ちょう组合子こ
• 柯里化か
• λらむだ演算えんざん
• 极小化か求もとめ值
• 求もとめ值策略さくりゃく

引用いんよう

• Moses Schönfinkel, 1924, "Über die Bausteine der mathematischen Logik," translated as "On the Building Blocks of Mathematical Logic" in From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879-1931, Jean van Heijenoort, ed. Harvard University Press, 1967. ISBN 978-0-674-32449-7 The article that founded combinatory logic.
• Curry, Haskell B.; Robert Feys. Combinatory Logic Vol. I 1. Amsterdam: North Holland. 1958. 
• Curry, Haskell B.; J. Roger Hindley and Jonathan P. Seldin. Combinatory Logic Vol. II 2. Amsterdam: North Holland. 1972. ISBN 978-0-7204-2208-5. 
• Field, Anthony J. and Peter G. Harrison, 1998. Functional Programming. . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-19249-0
• Paulson, Lawrence C., 1995. Foundations of Functional Programming. （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） University of Cambridge.
• Sørensen, Morten Heine B. and Paweł Urzyczyn, 1999. Lectures on the Curry-Howard Isomorphism. University of Copenhagen and University of Warsaw, 1999.
• 1920-1931 Currys block notes
• Hindley, Roger, and Meredith, 1990, "Principal Type-Schemes and Condensed Detachment," Journal of Symbolic Logic 55: 90-105
• Hendrik Pieter Barendregt, 1984. The Lambda Calculus, Its Syntax and Semantics. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 103, North-Holland. ISBN 978-0-444-87508-2
• Quine, W. V., [1960] 1966. "Variables explained away." Chapter 23 in W. V. Quine, Selected Logic Papers, 227–235. New York: Random House. Originally read by invitation to the American Philosophical Association in April 1960 and published in their Proceedings.