Sammansatt funktion

En illustration av den sammansatta funktionen g ∘ f.

En sammansatt funktion är inom matematiken en funktion som kan bildas genom att sätta samman två funktioner. Tecknet ∘, en mittplacerad ring som uttalas "boll", används för att ange sammansatt funktion. De flesta funktioner som förekommer kan beskrivas som sammansättningar av olika funktioner.

Definition

Vid två givna funktioner f och g definieras sammansättningen av f(x) och g(x) genom

$f\circ g(x)=f(g(x))$

Här kallas funktionen $g(x)$ den inre funktionen och funktionen $f(x)$ den yttre funktionen.

Exempel

Exempel på sammansättning av två funktioner

Låt funktionerna $f(x)=x^{2}$ och $g(x)=x-3$ vara givna.

Vid sammansättning av f och g blir då den sammansatta funktionen $f\circ g(x)=(x-3)^{2}$. Variabeln x i funktionen f(x) byts ut mot funktionen g(x).

Betraktas istället sammansättningen av g och f får vi $g\circ f(x)=x^{2}-3$ som den sammansatta funktionen. I detta exempel har istället förekomsterna av x i funktionen g(x) bytts ut mot funktionen f(x).

Eftersom till exempel $f\circ g(4)=(4-3)^{2}=1^{2}=1$ men $g\circ f(4)=4^{2}-3=16-3=13$, är inte $f\circ g(x)$ samma funktion som $g\circ f(x)$. Med andra ord är $\circ$ inte en kommutativ operator.

Ett ytterligare exempel är fallet där $f(x)=3x$ och $g(x)={\frac {x}{3}}$. I detta exempel är funktionerna varandras inverser. Dessa funktioner möjliggör följande sammansättningar: $f\circ g(x)=3({\frac {x}{3}})=x$ och $g\circ f(x)={\frac {3x}{3}}=x$.

Detta visar att sammansättningen av en funktion och dess invers är en funktion som lämnar argumentet oförändrat. Sammansättningen avbildar alltså den inre funktionens definitionsmängd på sig själv.

Referenser

• Stewart James, "Calculus" 5th edition, (2003), s. 44-45
• Böiers Lars-Christer, Persson Arne, Analys i en variabel, Tredje upplagan, (2010), Lund: Studentlitteratur, s.92-94