迭代函数かんすう

在ざい数学すうがく中なか，迭代函数かんすう是ぜ在ざい碎形和わ动力系けい统中ちゅう深入ふかいり研究けんきゅう的てき对象。迭代函数かんすう是重これしげ复的与あずか自身じしん复合的てき函数かんすう，这个过程叫さけべ做迭代。

定てい义

在ざい集合しゅうごう $X$ 上うえ的てき迭代函数かんすう的てき形式けいしき定てい义为:

设 $X$ 是ぜ集合しゅうごう和わ $f:X\rightarrow X$ 是これ函数かんすう。定てい义 $f$ 的てき $n$ 次じ迭代 $f^{n}$ 为 $f^{0}=\operatorname {id} _{X}$ 而 $f^{n+1}=f\circ f^{n}$，这里的てき $\operatorname {id} _{X}$ 是ぜ在ざい $X$ 上うえ的てき恒等こうとう函数かんすう。

在ざい上述じょうじゅつ中ちゅう，$f\circ g$ 指示しじ函数かんすう复合；就是说 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$。

換かわ句く話はなし說せつ，迭代函数かんすう也可以表示ひょうじ為ため以下いか的てき形式けいしき：

$f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))$

$f^{0}(x)$定義ていぎ為ため$x$。

$f^{-n}(x)$定義ていぎ為ため$f^{n}(x)$的てき反はん函數かんすう。（如果$f^{n}(x)$的てき反はん函數かんすう不ふ存在そんざい，則のり$f^{-n}(x)$也不存在そんざい）

因いん此，$f^{1}(x)$就是$f(x)$，$f^{2}(x)$是これ$f(f(x))$，$f^{0}(x)$是ぜ恆等こうとう函數かんすう$x$，$f^{-1}(x)$是これ$f(x)$的てき反はん函數かんすう（如果存在そんざい的てき話ばなし），而$f^{\frac {1}{2}}(x)$就是能これよし夠使得とく合成ごうせい函數かんすう$g(g(x))$正せい好こう是ぜ$f(x)$的てき函數かんすう$g(x)$。

注意ちゅうい，一般いっぱん情況じょうきょう下か，$f^{n}(x)$並なみ不等ふとう於$(f(x))^{n}$或ある$f(x^{n})$，而例如$\sin ^{-1}(x)$是これ$\sin(x)$的てき反はん函數かんすう，亦また即そく$\arcsin(x)$，而不是ぜ${\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)$。

例れい

一些特殊函數的冪次為（其中$a$、$b$、$n$可か為ため任意にんい複數ふくすう，亦また即そく$a,b,n\in \mathbb {C}$）：

$f(x)=a$，$f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0$（在ざい$n$是ぜ負ふ實數じっすう或ある虛數きょすう的てき時候じこう並なみ沒ぼつ有ゆう定義ていぎ，就好比ひ$0^{n}$在ざい$n$是ぜ負ふ實數じっすう或ある虛數きょすう的てき時候じこう也沒有ゆう定義ていぎ）

$f(x)=x+a$，$f^{n}(x)=x+na$

$f(x)=ax$，$f^{n}(x)=a^{n}x$

$f(x)=x^{a}$，$f^{n}(x)=x^{a^{n}}$（注意ちゅうい迭代冪べき次じ要よう由よし右みぎ往左算ざん）

$f(x)=ax+b$，$f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$（$a\neq 1$）

$f(x)=bx^{a}$，$f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}$（$a\neq 1$）

（注意ちゅうい任にん何なん非ひ零れい複數ふくすう的てき任にん何なん複數ふくすう次じ方かた都と有ゆう定義ていぎ：$a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))$，當とう$a$為ため負ふ實數じっすう或ある虛數きょすう時じ，$\ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)$，其中$|a|$為ため複數ふくすう$a$的てき絕對ぜったい值，${\text{arg}}(a)$為ため複數ふくすう$a$的てき主しゅ幅はば角かく，${\text{Re}}(a)$為ため複數ふくすう$a$的てき實み部ぶ，${\text{Im}}(a)$為ため複數ふくすう$a$的てき虛きょ部ぶ）

函數かんすう冪べき亦また有ゆう類似るいじ指數しすう律りつ的てき定理ていり，其中$m$、$n$可か為ため任意にんい複數ふくすう，亦また即そく$m,n\in \mathbb {C}$：

$f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)$

$(f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)$

注意ちゅうい函數かんすう的てき合成ごうせい是ぜ不可ふか交換こうかん的てき（$gf(x)$並なみ不ふ一定いってい等とう於$fg(x)$）但ただし因よし為ため可か結合けつごう（$h(gf)(x)$一定いってい等とう於$(hg)f(x)$），所以ゆえん會かい符合ふごう冪べき結合けつごう性せい，因いん此這兩りょう條じょう「函數かんすう冪べき的てき指數しすう律りつ」並なみ沒ぼつ有ゆう任にん何なん問題もんだい。

這跟例れい如指數しすう拓つぶせ展てん到いた次つぎ方かた為ため負ふ整數せいすう、分數ぶんすう、無理むり數すう、複數ふくすう，以及階かい乘じょう運算うんざん跟排列はいれつ組合くみあい運算うんざん$P_{n}^{m}$、$C_{n}^{m}$拓つぶせ展てん到いた非ひ整數せいすう和わ負數ふすう時じ（使用しよう伽とぎ瑪函數すう）一樣いちよう，二に項こう式しき定理ていり也可以用這種方式ほうしき拓つぶせ展てん到いた負ふ整數せいすう、分數ぶんすう、無理むり數すう、複數ふくすう，只ただ是ぜ會かい變成へんせい無窮むきゅう級數きゅうすう而不再さい是ぜ有限ゆうげん級數きゅうすう而已，包括ほうかつ矩のり陣じん的てき$n$次つぎ方かた以及微分びぶん$n$次つぎ（$n$為ため負ふ整數せいすう時じ等ひとし同どう於積分せきぶん$-n$次つぎ），也都可か以用這種方式ほうしき，把わ$n$拓つぶせ展てん到いた任意にんい複數ふくすう，或ある例れい如已知ち「首くび項こう」、「公差こうさ/公おおやけ比ひ」、「項こう數すう」的てき等差とうさ數列すうれつ或ある等比とうひ數列すうれつ要求ようきゅう出で全部ぜんぶ項こう的てき和わ或ある乘の積せき的てき公式こうしき，也都可か以用這種方式ほうしき，拓つぶせ展てん到いた項こう數すう為ため負ふ整數せいすう、分數ぶんすう、無理むり數すう、複數ふくすう的てき情況じょうきょう（包括ほうかつ一般いっぱん的てき$\sum _{x=m}^{n}f(x)$與あずか$\prod _{x=m}^{n}f(x)$中なか，$f(x)$為ため常見つねみ的てき函數かんすう如多項式たこうしき函數かんすう、指數しすう函數かんすう、對數たいすう函數かんすう、三角さんかく函數かんすう的てき時候じこう，$m$跟$n$也能拓つぶせ展てん到いた任意にんい複數ふくすう，就跟積分せきぶん式しき$\int _{m}^{n}f(x)$一樣いちよう），至いたり於超ちょう運算うんざん$a[n]b$能のう不能ふのう拓ひらけ展てん到いた分數ぶんすう、無理むり數すう或ある複數ふくすう，則のり是ぜ數學すうがく中ちゅう未み解決かいけつ的てき問題もんだい之これ一いち。

从迭代だい建立こんりゅう序列じょれつ

函数かんすう $f^{n}$ 的てき序列じょれつ叫さけべ做 Picard 序列じょれつ，得とく名めい于埃ほこり米まい尔·皮がわ卡。对于一いち个给定じょう $x\in X$，$f^{n}(x)$ 的てき值的序列じょれつ叫さけべ做 $x$ 的てき轨道。

如果对于某ぼう个整数すう $m$ 有ゆう $f^{n}(x)=f^{n+m}(x)$，则轨道どう叫さけべ做周期しゅうき轨道。对于给定 $x$ 最小さいしょう的てき这种 $m$ 值叫做轨道的てき周期しゅうき。点てん $x$ 自身じしん叫さけべ周期しゅうき点てん。

不ふ动点

如果m=1，就是说如果はて对于某ぼう个X中なか的てきx有ゆうf(x) = x，则x被ひ称しょう为迭代だい序列じょれつ的てき不ふ动点。不ふ动点的てき集合しゅうごう经常指示しじ为Fix（f）。存在そんざい一いち些不ふ动点定理ていり保ほ证在各かく种情况下不ふ动点的てき存在そんざい性せい，包括ほうかつ巴ともえ拿赫不ふ动点定理ていり和わBrouwer不ふ动点定理ていり。

有ゆう很多技わざ术通过不ふ动点迭代产生了りょう序列じょれつ收おさむ敛加速そく。例れい如，应用于一个迭代不动点的Aitken方法ほうほう叫さけべ做Steffensen方法ほうほう，生成せいせい二に次じ收おさむ敛。 不ふ动点理り论同样也适用于经济学领域。

极限行ぎょう为

通つう过迭代だい，可か以发现有向ゆうこう一个单一点收缩和会聚的一个集合。在ざい这种情じょう况下，会かい聚到的てき这个点てん叫さけべ做吸引きゅういん不ふ动点。反はん过来说，迭代也可以表现得从一个单一いち点てん发散；这种情じょう况叫不ふ稳定不ふ动点。

当とう轨道的てき点てん会かい聚于一个或多个极限的时候，轨道的てき会かい聚点的てき集合しゅうごう叫さけべ做极限集合しゅうごう或ある ωおめが-极限集合しゅうごう。

吸引きゅういん和わ排斥はいせき的てき想そう法ほう类似推广；依よ据すえ在ざい迭代下か小しょう邻域行くだり为，可か把わ迭代分ぶん类为稳定集合しゅうごう和わ不ふ稳定集合しゅうごう。

其他极限行ぎょう为也有ゆう可能かのう；比ひ如，游ゆう荡点是ぜ总是移うつり动永不ふ回かい到いた甚至接近せっきん起点きてん的てき点てん。

例れい子こ

著名ちょめい的てき迭代函数かんすう包括ほうかつ曼德博はく集合しゅうごう和わ迭代函数かんすう系けい统。

如果 f 是ぜ一个群元素在一个集合上的作用さよう，则迭代だい函数かんすう对应于自由じゆう群ぐん。

参まいり见

• 旋转数すう
• Sarkovskii定理ていり

引用いんよう

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7