对数

各かく种底数すう的てき对数函数かんすう图像：红色函数かんすう底そこ数すう是ぜ「e」, 绿色函数かんすう底そこ数すう是ぜ2，蓝色函数かんすう底そこ数すう是ぜ0.5，刻こく度ど是ぜ半はん个单位い。

在ざい数学すうがく中ちゅう，對數たいすう（英語えいご：logarithm）是これ冪べき運算うんざん的てき逆ぎゃく運算うんざん。

定てい义

当とう$x=\beta ^{y}$时，則のり有ゆう

$y=\log _{\beta }x\!$

其中$\beta$是ぜ對數たいすう的てき底そこ（也稱為ため基數きすう），而 $y$就是$x$（对于底そこ数すう$\beta$）的てき对数，$x$也称为真しん数すう。

底そこ数すう$\beta$的てき值在实数范围内ない常つね取と$e$、 10、2等とう，但ただし一定いってい不能ふのう是ぜ1或ある0

当とう$x$和わ$\beta$进一いち步ほ限げん制せい为正实数的てき时候，对数是ぜ唯一ゆいいつ的てき实数。 例れい如，因いん为

$3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$，

我わが们可以得出で

$4=\log _{3}81\!$，

用よう日常にちじょう语言说，即そく「81以3为底的てき对数是ぜ4」。 这个意思いし就是说，3的てき4次じ方かた是ぜ81。

历史

对数

15世せい纪时，法ほう国こく数学すうがく家か尼あま古こ拉ひしげ·丘おか凯和德わとく国こく数学すうがく家か米べい夏なつ埃ほこり尔·施ほどこせ蒂费尔在ざい开展研究けんきゅう工作こうさく时产生せい了りょう发展对数的てき思想しそう，他た们，尤ゆう其是后きさき者しゃ，对等差さ数列すうれつ和わ等比とうひ数列すうれつ的てき关系作さく了りょう一いち些研究けんきゅう。但ただし他た们并没ぼつ有ゆう使し其得到いた更さら进一いち步ほ的てき发展。

一般认为对数于16世せい纪末至いたり17世せい纪初期き间由苏格兰数学がく家か约翰·纳皮尔男爵だんしゃく和かず瑞みずほ士し工程こうてい师约斯特とく·比ひ尔吉发明。比ひ尔吉曾担任たんにん过著名めい天文学てんもんがく家か开普勒的てき助手じょしゅ，因いん此会经常接触せっしょく到いた复杂的てき天文てんもん计算，他た也因此产生せい了りょう化か简数值计算さん的てき想そう法ほう。纳皮尔是一位苏格兰贵族，对数值的计算有ゆう很深的てき研究けんきゅう。为了找到简化球面きゅうめん三さん角かく计算的てき方法ほうほう，他た也产生せい了りょう发展对数的てき想そう法ほう。1614年ねん，他た在ざい自己じこ的てき书籍《奇妙きみょう的てき对数表ひょう的てき描述》上うえ发布了りょう自己じこ的てき对数表ひょう，相そう較比尔吉早さ了りょう6年ねん。纳皮尔发明あかり的てき纳皮尔算筹用よう加か减法代替だいたい了りょう乘除じょうじょ法ほう，成功せいこう简化了りょう乘除じょうじょ法的ほうてき运算，他た的てき对数被ひ后きさき人称にんしょう为纳皮がわ尔对数すう，记法为Nap·logx。

1624年ねん，英国えいこく数学すうがく家か亨とおる利り·布里ふり格かく斯书籍《对数算さん术》成功せいこう出版しゅっぱん，书中写うつし有ゆう14位い常用じょうよう对数表ひょう。布里ふり格かく斯率先さき采さい用よう了りょう以10为底的てき常用じょうよう对数，而现在ざい它已通用つうよう。他た还制作さく了りょう正弦せいげん和正かずまさ切きり的てき对数表ひょう。荷に兰数学がく家か兼けん出版しゅっぱん商しょう在ざい布里ふり格かく斯的基もと础上加か以改进，他た出版しゅっぱん的てき数すう个对数すう表ひょう在ざい欧おう洲しゅう迅速じんそく普及ふきゅう起おこり来らい。

17世せい纪中叶かのう（清朝せいちょう初年しょねん），中国ちゅうごく数学すうがく家か薛凤祚和波わなみ兰传教きょう士し穆きよし尼あま阁合作がっさく完成かんせい了りょう中国ちゅうごく最早もはや的てき对数著作ちょさく《比例ひれい对数表ひょう》（又また名な《历学会がっかい通どおり》），对数自じ此传入にゅう中国ちゅうごく。此书称しょう真しん数すう为“原はら数すう”，对数为“比例ひれい数すう”。而《数理すうり精せい蕴》中ちゅう则称作さく对数比例ひれい：“对数比例ひれい乃西士し若わか往·纳白尔所作さく，以借数すう与あずか真ま数すう对列成なり表ひょう，故こ名めい对数表ひょう。”中国ちゅうごく因いん此普遍ふへん称しょう之の为“对数”。

对数对科学かがく的てき进步有ゆう所しょ贡献，特とく别是对天文学てんもんがく，使つかい某ぼう些繁难的乘法じょうほう计算转换为加法ほう计算。在ざい计算器き和わ计算机つくえ发明之の前まえ，对数长期用よう于测量りょう、航海こうかい、和かず其他应用数学すうがく分ぶん支ささえ中ちゅう。

符号ふごう

对数符号ふごう$\log$出自しゅつじ拉ひしげ丁ちょう文あやlogarithmus，最早もはや由よし1632年ねん意い大利おおとし数学すうがく家か卡瓦列れつ里さと所ところ使用しよう。纳皮尔在表示ひょうじ对数时套用ようlogarithm整せい个词，并未作さく简化。1624年ねん，开普勒才ざい把わ对数符号ふごう简化为$\log$，奥おく特とく雷かみなり德とく在ざい1647年ねん也用简化了りょう的てきLog。

1893年ねん，皮かわ亚诺用よう$\ln x$及$\lg x$分ぶん别表示ひょうじ以$e$为底的てき对数和わ以10为底的てき对数。1902年ねん，施ほどこせ托たく尔茨等とう人ひと以$a\log .b$表示ひょうじ以$a$为底的てき$b$的てき对数。

20世せい纪初，形成けいせい了りょう对数的てき现代标准表示ひょうじ$\log _{\alpha }\mathrm {N}$，为了使用しよう方便ほうべん，自然しぜん对数$\ln N$的てき记法得え到いた了りょう普遍ふへん认可。

对数函数かんすう

主しゅ条目じょうもく：对数函数かんすう

函数かんすう$\log _{\alpha }x$依よ赖于$\alpha$和わ$x$二に者しゃ，但ただし是ぜ术语对数函数かんすう在ざい标准用法ようほう中ちゅう用よう来らい称呼しょうこ形がた如$\log _{\alpha }x$的てき函数かんすう，在ざい其中底そこ数すう$\alpha$是ぜ固定こてい的てき而只有ゆう一いち个參さん數すう$\alpha$。

对数函数かんすう图像和わ指数しすう函数かんすう图像关于直ちょく线$y=x$对称，互为逆ぎゃく函数かんすう。

对数函数かんすう的てき性せい质有：

1. 都と过$(1,0)$点てん；
2. $x=0$即そくy軸じく為ため其垂直ちょく漸近ぜんきん線せん。
3. 定てい义域为$(0,+\infty )$，值域为$\mathbb {R}$；
4. $\alpha >1$，在ざい$(0,+\infty )$上うえ是ただし增ぞう函数かんすう；$1>\alpha >0$时，在ざい$(0,+\infty )$上うえ是ただし减函数すう。
5. 當とう $0<\alpha <e^{-e}$時和ときわ$y=\alpha ^{x}$交於三さん點てん；$e^{-e}<\alpha <1$時どき交於一いち點てん；$1<\alpha <e^{\frac {1}{e}}$時どき交於兩りょう點てん；$\alpha =e^{\frac {1}{e}}$時どき交於一いち點てん；$\alpha >e^{\frac {1}{e}}$時どき則そく無む交點こうてん。

运算公式こうしき

名稱めいしょう	公式こうしき	證明しょうめい
和わ差さ	$\log _{\alpha }MN=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!N$	設しつらえ$M=\beta ^{m}$，$N=\beta ^{n}$ ${\begin{aligned}\log _{\alpha }\ M\!N&=\log _{\alpha }\ \beta ^{m}\!\beta ^{n}\\&=\log _{\alpha }\ \beta ^{m+n}\\&=(m+n)\log _{\alpha }\!\beta \\&=m\log _{\alpha }\!\beta +n\log _{\alpha }\!\beta \\&=\log _{\alpha }\ \beta ^{m}+\log _{\alpha }\ \beta ^{n}\\&=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!N\\\log _{\alpha }\!{\frac {M}{N}}&=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!{\frac {1}{N}}\\&=\log _{\alpha }\!M-\log _{\alpha }\!N\end{aligned}}$
基もと变換（换底公式こうしき）	$\log _{\alpha }\!x={\frac {\log _{\beta }\!x}{\log _{\beta }\!\alpha }}$	设 $\log _{\alpha }\!x=t$ ∴$x=\alpha ^{t}$ 两边取对数，则有$\log _{\beta }x=\log _{\beta }\alpha ^{t}$ 即そく $\log _{\beta }x=t\log _{\beta }\alpha$ 又また∵ $\log _{\alpha }x=t$ ∴ $\log _{\alpha }x={\frac {\log _{\beta }\!x}{\log _{\beta }\alpha }}$
指ゆび係がかり(次つぎ方かた公式こうしき)	$\log _{\alpha ^{n}}x^{m}={\frac {m}{n}}\log _{\alpha }\!x$	${\begin{aligned}\log _{\alpha ^{n}}\ {x^{m}}&={\frac {\ln \ x^{m}}{\ln \ \alpha ^{n}}}\\&={\frac {m\ln \!x}{n\ln \!\alpha }}\\&={\frac {m}{n}}\log _{\alpha }\!x\end{aligned}}$
还原	${\begin{aligned}\alpha ^{\log _{\alpha }\!x}&=\log _{\alpha }\!\alpha ^{x}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\alpha ^{\log _{\alpha }\!x}&=x\\&=\log _{\alpha }\!\alpha ^{x}\end{aligned}}$
互換ごかん	$M^{\log _{\alpha }\!N}=N^{\log _{\alpha }\!M}$	设 $b={\log _{\alpha }\!N}$,$c={\log _{\alpha }\!M}$ 则有 $N=\alpha ^{b}$,$M=\alpha ^{c}$ 即そく $M^{\log _{\alpha }\!N}=(\alpha ^{c})^{b}$,$N^{\log _{\alpha }\!M}=(\alpha ^{b})^{c}$
倒たおせ数すう	$\log _{\alpha }\!\theta ={\frac {1}{\log _{\theta }\!\alpha }}$	${\begin{aligned}\log _{\alpha }\!\theta &={\dfrac {1}{\dfrac {\ln \!\alpha }{\ln \!\theta }}}\\&={\frac {1}{\log _{\theta }\!\alpha }}\end{aligned}}$
链式	${\begin{aligned}\log _{\gamma }\!\beta \log _{\beta }\!\alpha &=\log _{\gamma }\!\alpha \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\log _{\gamma }\!\beta \log _{\beta }\!\alpha &={\frac {\ln \!\alpha }{\ln \!\beta }}\ {\frac {\ln \!\beta }{\ln \!\gamma }}\\&={\frac {\ln \!\alpha }{\ln \!\gamma }}\\&=\log _{\gamma }\!\alpha \end{aligned}}$

有理ゆうり和わ无理指数しすう

如果$n$是これ自然しぜん數すう，${\beta }^{n}$表示ひょうじ等とう于$\beta$的てき$n$个因子いんし的てき乘の积：

${\beta }^{n}=\underbrace {\beta \times \beta \times \cdots \times \beta } _{n}$。

但ただし是ぜ，如果$\beta$是ぜ不等ふとう于1的てき正せい实数，这个定てい义可以扩展てん到いた在ざい一いち个域いき中なか的てき任にん何なん实数$n$（参まいり见幂）。类似的てき，对数函数かんすう可か以定义于任にん何なん正せい实数。对于不等ふとう于1的てき每まい个正底そこ数すう$\beta$，有ゆう一いち个对数すう函数かんすう和わ一いち个指数しすう函数かんすう，它们互为反はん函数かんすう。

对数可か以简化か乘法じょうほう运算为加法ほう，除法じょほう为减法ほう，幂运算さん为乘法ほう，根ね运算为除法ほう。所以ゆえん，在ざい发明电子计算机つくえ之これ前まえ，对数对进行ぎょう冗长的てき数すう值运算さん是ぜ很有用よう的てき，它们广泛的てき用よう于天文てんもん、工程こうてい、航海こうかい和わ测绘等とう领域中ちゅう。它们有ゆう重要じゅうよう的てき数学すうがく性せい质而在ざい今こん天てん仍在广泛使用しよう中ちゅう。

特殊とくしゅ底そこ数すう

最さい常用じょうよう做底数すう的てき是ぜe、10和わ2。 在ざい数学すうがく分析ぶんせき中なか，以$e$为底对数很常见。另一方面ほうめん，以10为底对数在ざい十じゅう进制表示法ひょうじほう中ちゅう，手工しゅこう计算很容易ようい：

$\log _{10}10x=\log _{10}10+\log _{10}x=1+\log _{10}x.\$

所以ゆえん$\log _{10}x$表示ひょうじ正せい整数せいすう$x$的まと位い数すう：数字すうじ的てき十进制位数是严格大于$\log _{10}x$的てき最小さいしょう的てき整数せいすう。例れい如$\log _{10}1430\approx 3.15$，下した一いち个整数すう是ぜ4，即そく1430的てき位い数すう。

以2为底的てき对数常用じょうよう于计算さん机つくえ科学かがく，因いん为计算さん机つくえ中ちゅう二に进制很普及ふきゅう。当然とうぜん上面うわつら的てき算法さんぽう也可推广到二に进制：严格大だい于$\log _{2}x$的てき最小さいしょう整数せいすう是ぜ$x$在ざい二に进制下か的てき位い数すう。事こと实上经由简单推导即そく可か得知とくち，floor(log_px)+1 得とく到いた$x$在ざい$p$进制下か的てき位い数すう：若わか$x$在ざい$p$进制下か有ゆう$n$位くらい，则$p^{n-1}\leq x<p^{n}$；而$p$是ぜ不ふ小しょう于 2 的てき正せい整数せいすう导致以其为底的てき$\log _{p}x$是ぜ增ぞう函数かんすう，故こ三さん边取对数すう得とく$n-1\leq \log _{p}x<n$，取と下しも整せい正せい好こう得え到いた$n-1$。

下表かひょう列れつ出で了りょう这些底そこ数すう的てき常用じょうよう的てき对数符号ふごう以及他た们所使用しよう的てき领域。许多学科がっか都と写うつし$\log(x)$来らい代替だいたい$\log _{b}(x)$，而$b$的てき值根据すえ前ぜん后きさき文ぶん可か以确定じょう。记号$^{b}\log(x)$也出现过。“ISO表示法ひょうじほう”（ISO 31-11）一いち列れつ指定してい了りょうISO推荐的てき表示ひょうじ方法ほうほう。

底そこ数すう$b$	$\log _{b}x$的てき名称めいしょう	ISO表示法ひょうじほう	其它的てき表示ひょうじ方法ほうほう	适用领域
2	二に進しん制せい對數たいすう	$\operatorname {lb} x$	$\log x$、$\operatorname {lg} x$	计算机つくえ科学かがく、信しん息いき论、数学すうがく
$e$	自然しぜん对数	$\ln x$	$\log x$ （用よう于数学がく和わ许多程ほど序じょ设计语言）	数学すうがく分析ぶんせき、物理ぶつり学がく、化学かがく 统计学がく、经济学がく和かず其它工程こうてい领域
10	常用じょうよう对数	$\operatorname {lg} x$	$\log x$ （用よう于工程こうてい学がく、生物せいぶつ学がく、天文学てんもんがく）	多た种工程こうてい学がく领域 （见分ぶん贝）、 对数表ひょう、手持てもち式しき计算器き、 光ひかり谱学

底そこ数すう变换

尽つき管かん有ゆう很多有用ゆうよう的てき恒等こうとう式しき，对计算さん器き最さい重要じゅうよう的てき是ぜ找到不ふ是ぜ建造けんぞう于计算さん器き内的ないてき底そこ数すう（通常つうじょう是ぜ$\log _{e}$和わ$\log _{10}$）的てき其他底そこ数すう的てき对数。要よう使用しよう其他底そこ数すう$\beta$找到底そこ数すう$\alpha$的てき对数:

$\log _{\alpha }x={\frac {\log _{\beta }x}{\log _{\beta }\alpha }}$。

此外，这个结果蕴涵了りょう所有しょゆう对数函数かんすう（任意にんい底そこ数すう）都みやこ是ただし相互そうご类似的てき。所以ゆえん用よう计算器き计算对134217728底そこ数すう2的てき对数:

$\log _{2}134217728={\frac {\ln 134217728}{\ln 2}}={\frac {27\ln 2}{\ln 2}}=27$。

对数的てき用途ようと

对数对解幂是未み知的ちてき方かた程ほど是ぜ有用ゆうよう的てき。它们有ゆう简单的てき导数，所しょ以它们经常用じょうよう在ざい解かい积分中なか。对数是ぜ三个相关的函数中的一个。在ざい等式とうしき$b^{n}=x$中なか，$b$可か以从$x$的てき$n$次つぎ方ほう根ね，$n$从$x$的てき$b$底そこ数すう的てき对数，$x$从$b$的てき$n$次つぎ的てき幂来らい确定。参まいり见对数恒等こうとう式しき得え到いた掌てのひら控ひかえ对数函数かんすう的てき一いち些规则。

简便计算

对数すう把わ注意ちゅうい力りょく从平常へいじょう的てき数すう转移到いた了りょう幂。只ただ要よう使用しよう相しょう同どう的てき底そこ数すう，就会使し特定とくてい运算更さら容易ようい：

数すう的てき运算	幂的运算	对数恒等こうとう式しき
$\,xy$	$\,m+n$	$\,\log _{\theta }xy=\log _{\theta }x+\log _{\theta }y$
${\frac {x}{y}}$	$\,m-n$	$\log _{\theta }{\frac {x}{y}}=\log _{\theta }x-\log _{\theta }y$
$\,x^{y}$	$\,mn$	$\,\log _{\theta }x^{y}=y\log _{\theta }x$
${\sqrt[{y}]{x}}$	${\frac {m}{n}}$	$\log _{\theta }{\sqrt[{y}]{x}}={\frac {\log _{\theta }x}{y}}$

这些关系使し在ざい两个数すう上じょう的てき这种运算更さら快かい，在ざい加法かほう计算器き出で现之前ぜん正せい确的使用しよう对数是ぜ基本きほん技能ぎのう。

群ぐん论

从纯数学すうがく的てき观点来らい看み，恒等こうとう式しき： $\log _{\alpha }\mathrm {M} \mathrm {N} =\log _{\alpha }\mathrm {M} +\log _{\alpha }\mathrm {N} \!$， 在ざい两种意い义上是ぜ基本きほん的てき。首くび先さき，其他3个算术性质可以从它得出で。进一いち步ほ的てき，它表达了在ざい正せい实数的てき乘法じょうほう群ぐん和わ所有しょゆう实数的てき加法かほう群ぐん之これ间的同どう构。

对数函数かんすう是ぜ从正实数的てき乘法じょうほう群ぐん到いた实数的てき加法かほう群ぐん的てき唯ただ一いち连续同どう构。

复对数すう

主しゅ条目じょうもく：複ふく對數たいすう

复对数すう计算公式こうしき：

$\log _{c+di}(a+bi)={\frac {\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\cdot \ln \left(c^{2}+d^{2}\right)+4\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)+\left[2\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)\ln \left(c^{2}+d^{2}\right)-2\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]i}{\ln ^{2}\left(c^{2}+d^{2}\right)+4\left(\arctan {\frac {d}{c}}+2n\pi \right)^{2}}}$

$(a+bi)^{\left(c+di\right)}=e^{{\frac {c}{2}}\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)-\left(d+2n\pi \right)\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)}\left\{\cos \left[c\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)+{\frac {1}{2}}\left(d+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]+i\sin \left[c\left(\arctan {\frac {b}{a}}+2k\pi \right)+{\frac {1}{2}}\left(d+2n\pi \right)\ln \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]\right\}$

${\begin{cases}\arctan 0={\pi },&{\mbox{for }}a<0\!\,\\\arctan 0=0,&{\mbox{for }}a>0\!\,\\\end{cases}}$

$\mathbb {Z} =\{k,n\}$

微ほろ积分

主しゅ条目じょうもく：对数微分びぶん法ほう

自然しぜん对数函数かんすう的てき导数是これ

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}}$。

通つう过应用よう换底规则，其他底そこ数すう的てき导数是ぜ

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\log _{b}x={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}{\frac {\ln x}{\ln b}}={\frac {1}{x\ln b}}$。

自然しぜん对数$\ln x\,$的てき不定ふてい积分是これ

$\int \ln x\,{\rm {d}}x=x\ln x-x+C,$

而其他た底そこ数すう对数的てき不定ふてい积分是これ

$\int \log _{b}x\,{\rm {d}}x=x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C=x\log _{b}{\frac {x}{e}}+C$。

计算自然しぜん对数的てき级数

有ゆう一いち些级数用もちい来らい计算自然しぜん对数。最さい简单和わ低てい效こう的てき是ぜ:

$\ln z=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-{(-1)}^{n}}{n}}(z-1)^{n}$当とう$|z-1|<1\!$。

下しも做推导：

由ゆかり

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots$。

在ざい两边积分得え到いた

$-\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\cdots$

$\ln(1-x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}-\cdots$。

设$z=1-x\!$并因此$x=-(z-1)\!$，得え到いた

$\ln z=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots$

更さら有效ゆうこう率りつ的てき级数是ぜ基もと於反はん雙そう曲きょく函數かんすう的てき

$\ln z=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2n+1}$

对带有正ありまさ实部的てき$z$。

推导：代だい换$-x$为$x$，得え到いた

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$。

做减法ほう，得とく到いた

$\ln {\frac {1+x}{1-x}}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2{\frac {x^{3}}{3}}+2{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots$。

设$z={\frac {1+x}{1-x}}\!$并因此$x={\frac {z-1}{z+1}}\!$，得え到いた

$\ln z=2\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right]$。

例れい如，应用这个级数于

$z={\frac {11}{9}},$

得え到いた

${\frac {z-1}{z+1}}={\frac {{\frac {11}{9}}-1}{{\frac {11}{9}}+1}}={\frac {1}{10}},$

并因此

$\ln 1.{\dot {2}}={\frac {1}{5}}\left(1+{\frac {1}{3\cdot 100}}+{\frac {1}{5\cdot 10000}}+{\frac {1}{7\cdot 1000000}}+\cdots \right)$

$=0.2\cdot (1.0000000\dots +0.00{\dot {3}}+0.00002+0.000000{\dot {1}}4285{\dot {7}}+\cdots )$

$=0.2\cdot 1.00335\cdots =0.200670\cdots$

在ざい这里我わが们在第だい一行的总和中提出了因数${\frac {1}{10}}$。

对于任にん何なん其他底そこ数すう$\beta$，我わが们使用しよう

$\log _{\beta }x={\frac {\ln x}{\ln \beta }}$。

计算机つくえ

多数たすう计算机つくえ语言把わ$\log(x)$用よう做自然しぜん对数，而常用じょうよう对数典型てんけい的てき指示しじ为log10(x)。参まいり数すう和わ返かえし回かい值典型がた的てき是ぜ浮点数すう据すえ类型。

因いん为参数すう是ぜ浮点数すう，可か以有用よう的てき做如下か考こう虑：

浮点数すう值$x$被ひ表示ひょうじ为尾数すう$m$和かず指数しすう$n$所ところ形成けいせい的てき

$x=m2^{n}$。

因いん此

$\ln(x)=\ln(m)+n\ln(2)$。

所以ゆえん，替がえ代だい计算$\ln(x)$，我わが们计算さん对某个$m$的てき$\ln(m)$使つかい得とく$1\leq m\leq 2$。有ゆう在ざい这个范围内ない的てき$m$意味いみ着ぎ值$u={\frac {m-1}{m+1}}$总是在ざい范围$0\leq u<{\frac {1}{3}}$内うち。某ぼう些机器き使用しよう在ざい范围$0.5\leq m<1$内的ないてき尾お数すう，并且在ざい这个情じょう况下$u$的てき值将在ざい范围$-{\frac {1}{3}}<u\leq 0$内うち。在任ざいにん何なん一いち种情况下，这个级数都と是ぜ更さら容易ようい计算的てき。

一般いっぱん化か

普通ふつう的てき正せい实数的てき对数一般化为负数和复数参さん数すう，尽つき管かん它是多た值函数すう，需要じゅよう终止在ざい分ぶん支点してん0上うえ的てき分ぶん支ささえ切きり割わり，来らい制作せいさく一个普通函数或主分支。复数$z$的てき（底そこ数すう$e$）的てき对数是ぜ复数$\ln(\left\vert z\right\vert )+i\arg(z)$，这裡的てき$\left\vert z\right\vert$是これ$z$的てき模も，$\arg(z)$是これ辐角，而$i$是これ虚きょ单位；详情参さん见复对数すう。

离散对数是ぜ在ざい有限ゆうげん群ぐん理り论中的てき相しょう关概念がいねん。它涉及到解方ときかた程ほど$b^{n}=x$，这裡的てき$b$和わ$x$是ぜ这个群ぐん的てき元素げんそ，而$n$是ぜ指定してい在ざい群ぐん运算上じょう的てき幂。对于某ぼう些有限げん群ぐん，据すえ信しんじ离散对数是非ぜひ常つね难计算さん的てき，而离散指数しすう非常ひじょう容易ようい。这种不ふ对称性せい可用かよう于公おおやけ开密钥加密みつ。

矩のり阵对数すう是これ矩のり阵指数すう的てき反はん函数かんすう。

对于不等ふとう于1的てき每まい个正数すう$b$，函数かんすう$\log _{b}(x)$是ぜ从在乘法じょうほう下か的てき正せい实数的てき群ぐん到いた在ざい加法かほう下か（所有しょゆう）实数的てき群ぐん的てき同どう构。它们是ぜ唯ただ一的连续的这种同构。对数函数かんすう可か以扩展てん为在乘法じょうほう下か正せい实数的てき拓つぶせ扑空间的てき哈尔测度。

对数表ひょう

20世せい纪的常用じょうよう对数表ひょう的てき一いち个实例れい。

主しゅ条目じょうもく：对数表ひょう

在ざい發明はつめい计算器き之これ前まえ，使用しよう对数意味いみ着ぎ查对数表ひょう，它必须手工こう建立こんりゅう。

参まいり见

• 对数恒等こうとう式しき
• 自然しぜん对数
• 常用じょうよう对数
• 离散对数
• 芮氏地震じしん规模
• 分ぶん贝

外部がいぶ链接

• Explaining Logarithms （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Log Calculator for all bases.
• Logarithm （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） on MathWorld
• Jost Burgi, Swiss Inventor of Logarithms （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Logarithm calculators and word problems with work shown, for school students （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Translation of Napier's work on logarithms
• Logarithms - from The Little Handbook of Statistical Practice
• Algorithm for determining Log values for any base
• 常用じょうよう對數たいすう表ひょう（文字もじ版ばん）