數學すうがく證明しょうめい

幾何きか原本げんぽん中有ちゅうう許多きょた證明しょうめい的てき技巧ぎこう，圖ず中ちゅう是ぜBook II, Proposition 5.

在ざい數學すうがく上うえ，數學すうがく證明しょうめい（mathematical proof）是ぜ在ざい一いち個こ特定とくてい的てき公理こうり系統けいとう中なか，根ね据すえ一定的规则或标准，由よし公理こうり和わ定理ていり推導出どうしゅつ某ぼう些命題めいだい的てき過程かてい。比ひ起おこり证据，数学すうがく证明一いち般依靠もたれ演えんじ绎推理すいり，而不是ぜ依よ靠もたれ自然しぜん归纳和かず经验性せい的てき理り据すえ。這樣推導出來でき的てき命題めいだい也叫做該系統けいとう中ちゅう的てき定理ていり。

數學すうがく證明しょうめい建立こんりゅう在ざい逻辑之これ上じょう，但ただし通常つうじょう會かい包含ほうがん若干じゃっかん程度ていど的てき自然しぜん語ご言げん，因いん此可能會のうかい產さん生せい一いち些含糊のり的てき部分ぶぶん。

實際じっさい上じょう，用よう文字もじ形式けいしき寫うつし成なり的てき數學すうがく證明しょうめい，在ざい大だい多數たすう情況じょうきょう都と可か以視為ため非ひ形式けいしき邏輯的てき應用おうよう。在ざい證明しょうめい論ろん的てき範疇はんちゅう內，則のり考慮こうりょ那な些用純じゅん形式けいしき化か的てき语言写うつし出で的てき證明しょうめい。這個区く别导致了对過往到現在げんざい的てき數學すうがく实践、數學すうがく上じょう的てき擬なずらえ經驗けいけん論ろん和わ民俗みんぞく数学すうがく的てき大だい部分ぶぶん检验。

數學すうがく哲學てつがく就關注ちゅう語かたり言げん和かず邏輯在ざい數學すうがく證明しょうめい中ちゅう的てき角かく色しょく，和わ作為さくい語ご言げん的てき數學すうがく。

定義ていぎ

数学すうがく上じょう的てき证明包括ほうかつ两个不同ふどう的てき概念がいねん。

首くび先さき是非ぜひ形式けいしき化か的てき证明：一いち种以自然しぜん语言寫うつし成なり的てき严密論證ろんしょう，用もちい来らい说服听众或ある读者去さ接受せつじゅ某ぼう个定理ていり或ある论断的てき真ま確かく性せい。由よし于这种证明あかり使用しよう了りょう自然しぜん语言，因いん此對於非形式けいしき化か证明在ざい严謹性せい上じょう的てき標準ひょうじゅん，将はた取と决于听众或ある读者对課題かだい的てき理解りかい程度ていど。非ひ形式けいしき化か证明出で现在大だい多数たすう的てき应用场合中ちゅう，例れい如科か普ひろし讲座、口くち头辩论、初等しょとう教育きょういく或ある高等こうとう教育きょういく的てき某ぼう些部分ぶん。有ゆう时候非ひ形式けいしき化か的てき证明被ひ称しょう作さく“正式せいしき的てき”，但ただし這只是ぜ強調きょうちょう其中論證ろんしょう的てき嚴げん謹性。

而當逻辑学がく家か使用しよう“正式せいしき证明”一いち詞し时，指ゆび的てき是ぜ另一种完全不同的证明——形式けいしき化か证明。

形式けいしき化か證明しょうめい

在ざい数理すうり逻辑中なか，形式けいしき化か证明并不是ぜ以自然しぜん语言书写，而是以形式しき化か的てき语言书写：这种语言包含ほうがん了りょう由よし一いち个給定じょう的てき字母じぼ表ひょう中なか的てき字じ符ふ所しょ构成的てき字じ符ふ串くし。而证明あかり则是一种由該些字符串組成的有限长度的序列。这种定てい义使得とく人じん們可以談論ろん嚴格げんかく意義いぎ上じょう的てき「证明」，而不涉わたる及任何なん逻辑上じょう的てき模糊もこ之の处。

研究けんきゅう证明的てき形式けいしき化か和わ公理こうり化か的てき理り论称为证明论。

尽つき管理かんり论上来らい说，每まい个非形式けいしき化か的てき证明都と可か以转化か为形式しき化か证明，但ただし实际中ちゅう很少會かい這樣做。对形式しき化か证明的てき研究けんきゅう主要しゅよう应用在ざい探さがせ討關於可证明性せい的てき一般いっぱん性せい质，或ある说明某ぼう些命題めいだい的てき不可ふか证明性せい等とう等とう。

常見つねみ的てき證明しょうめい技巧ぎこう

直接ちょくせつ證明しょうめい

直接ちょくせつ证明也称为逻辑演绎，是ぜ指ゆび从公认的事ごと实或者しゃ公理こうり出で发，运用逻辑推演而导出で需要じゅよう证明的てき命いのち题的てき真ま伪的方法ほうほう。直接ちょくせつ证明法ほう一般いっぱん使用しよう谓词逻辑，运用存在そんざい量りょう词或ある全ぜん称しょう量りょう词。主要しゅよう的てき证明方式ほうしき有ゆう肯定こうてい前件ぜんけん论式、否定ひてい后きさき件けん论式、假かり言げん三さん段だん论式しき以及选言三さん段だん论式しき等とう等とう。比ひ如说要よう证明命いのち题：“任にん何なに奇数きすう乘の以另一いち个奇数きすう仍然是ぜ奇数きすう”，可か以直接ちょくせつ证明如下：

任にん何なん奇数きすう都と可か以写成なり$2a+1$的てき形式けいしき，其中$a$是これ整数せいすう。任にん取と两个奇数きすう，它们分ぶん别可以写作さく$2a+1$和わ$2b+1$，其中$a$和わ$b$是ぜ整数せいすう。它们的てき乘じょう积为$(2a+1)\times (2b+1)=4ab+2a+2b+1=2(2ab+a+b)+1$。所有しょゆう能のう写うつし成なり整数せいすう的てき两倍加ばいか1的てき数すう都と是ぜ奇数きすう。$2ab+a+b$是ぜ整数せいすう，所以ゆえん$(2a+1)\times (2b+1)$是ぜ奇数きすう。证明完かん毕。

構造こうぞう法ほう

构造法ほう一般いっぱん用よう于证明あきら存在そんざい性せい定理ていり，运用构造法的ほうてき证明称しょう为构造性せい证明。具体ぐたい做法是ぜ構造こうぞう一個帶有命题裡所要求的特定性質的實例，以顯示けんじ具有ぐゆう該性質せいしつ的てき物體ぶったい或ある概念的がいねんてき存在そんざい性せい。也可以构造づくり一いち个反例はんれい，来らい证明命いのち题是错误的てき。例れい如证明あかり命いのち题“2的てき质数次じ幂减一后不总是质数”，便びん可用かよう构造法ほう：

只ただ需证明あかり存在そんざい某ぼう个质数すう$p$，使つかい得とく2的てき$p$次じ幂减一いち后きさき不ふ是ぜ质数。为此，考察こうさつ质数11。2的てき$11$次じ幂减一等いっとう于$2047$。$2047=23\times 89$不ふ是ぜ质数。因よし此命题得证。

有ゆう些构造づくり法ほう证明中ちゅう并不直接ちょくせつ构造满足命いのち题要求ようきゅう的てき例れい子こ，而是构造某ぼう些辅助すけ性的せいてき工具こうぐ或ある对象，使つかい得とく问题更さら容易ようい解かい决。一个典型的例子是常微分じょうびぶん方かた程ほど稳定性せい理り论中的てき李り亚普诺夫函数かんすう的てき构造。又また如许多た几何证明题中常つね常用じょうよう到いた的てき添加てんか辅助线或辅助图形的てき办法。

非ひ构造性せい证明

与あずか构造法ほう证明相しょう对的是ぜ非ひ构造性せい证明，即そく不ふ给出具体ぐたい的てき构造而证明あかり命いのち题所要求ようきゅう对象的てき存在そんざい性せい的てき证明方法ほうほう。比ひ如下面めん例れい子こ：

命いのち题：存在そんざい两个无理数すう$x$和わ$y$，使つかい得とく$x^{y}$是これ有理数ゆうりすう。

证明：考こう虑${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$，若わか它是有理数ゆうりすう，则命题得证。若わか${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$不ふ是ぜ有理数ゆうりすう，则一定いってい是ぜ无理数すう。考こう虑它的てき${\sqrt {2}}$次じ幂：

$({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2$为有理数りすう，命いのち题仍然しか正せい确。

于是无论如何いか，都と存在そんざい满足命いのち题要求ようきゅう的てき无理数すう。

在ざい这个证明里さと并没有ゆう给出使し得とく$x^{y}$是これ有理数ゆうりすう的てき两个具体ぐたい的てき无理数すう。

穷举法ほう

穷举法ほう是ぜ一种列举出命题所包含的所有情况从而证明命题的方法。例れい如证明あきら“所有しょゆう两位数すう中ちゅう只ただ有ゆう25和わ76的てき平方へいほう是ぜ以自己じこ作さく为尾数すう”，只ただ需计算さん所有しょゆう两位数すう：10至いたり99的てき平方へいほう，一いち一いち验证即そく可か。显然，使用しよう穷举法的ほうてき条件じょうけん是ぜ命いのち题所包含ほうがん的てき可能かのう情じょう况为有限ゆうげん种，否いや则无法ほう一いち一いち罗列。

换质位い法ほう

在ざい谓词逻辑裡うら，若わか同どう时否定ひてい一个命题的主词和谓词，则其结果称しょう为原命いのち题的换质。若わか交换主ぬし词和谓词的てき位置いち，则其结果被ひ称しょう作さく换位。先さき换质再さい换位则被称しょう为换质位い，同どう理り先さき换位再さい换质则被称しょう为换位质。例れい如“所有しょゆう的てきS是ぜP”的てき换质位い是ぜ“所有しょゆう的てき不ふ是ぜP的てき不ふ是ぜS”。换质位い法ほう是ぜ指ゆび利用りよう换质及换位い，将はた一个命题改为一个与其逻辑等とう价的てき命いのち题，因いん此只要よう证明了りょう后きさき者しゃ就证明あかり了りょう原ばら来らい的てき命いのち题。例れい如，要よう证明鸽笼原理げんり：“如果n个鸽笼裡装そう有ゆう多た于n隻せき鸽子，那な么至少しょう有ゆう一个笼子裡有两隻或者两隻以上鸽子”，可か以转证与其等价的逆ぎゃく否ひ命いのち题：“如果n个鸽笼的每ごと一个中至多装有一隻鸽子，那な么n个鸽笼裡至いたり多た装そう有ゆうn隻せき鸽子”。而后者しゃ是ぜ明あかり顯あらわ的てき。

個こ案あん分析ぶんせき

个案分析ぶんせき或ある分ぶん类讨论，是ぜ指ゆび將しょう結論けつろん分ぶん成なり有限ゆうげん的てき個こ案あん，然しか後こう逐個證明しょうめい的てき方法ほうほう。

算さん兩次りょうじ

算さん两次是ぜ一种對同一個量進行兩種雖不同但都正確的分析，得とく到いた兩個りゃんこ雖不同どう但ただし相等そうとう的てき表ひょう達たち式しき的てき方法ほうほう，常用じょうよう于证明あきら恒等こうとう式しき。

間接かんせつ證明しょうめい

反證はんしょう法ほう

反はん证法是ぜ一种古老的证明方法，其思想しそう为：欲よく證明しょうめい某ぼう命題めいだい是ぜ假かり命題めいだい，则反过来假設かせつ該命題めいだい為真ためざに。在ざい这种情じょう况下，若わか能のう通どおり过正确有效ゆうこう的てき推理すいり導しるべ致逻辑上的てき矛盾むじゅん（如导出で该命题自身じしん为假，于是陷おちい入にゅう命いのち题既真ま且假的てき矛盾むじゅん），則のり能のう證明しょうめい原ばら来らい的てき命題めいだい為ため假かり。無矛盾むむじゅん律りつ和わ排中律はいちゅうりつ是ぜ反證はんしょう法的ほうてき邏輯基礎きそ。反はん证法的てき好こう处是在ざい反はん过来假かり设该命いのち题为真しん的てき同どう时，等とう于多了りょう一いち个已知ち条件じょうけん，这样对题目的もくてき证明常つね有ゆう帮助。

例れい子こ：证明命いのち题“${\sqrt {2}}$不ふ是ぜ有理数ゆうりすう”。

命いのち题：${\sqrt {2}}$不ふ是ぜ有理数ゆうりすう。

证明：假かり设${\sqrt {2}}$是ぜ有理数ゆうりすう，那な么存在そんざい正せい整数せいすう$p$使つかい得とく$p{\sqrt {2}}$为整数すう。不ふ妨さまたげ设$a$为其中ちゅう最小さいしょう的てき（根ね据すえ良りょう序じょ原理げんり，必然ひつぜん存在そんざい最小さいしょう的てき$a$）。考こう虑$b=a{\sqrt {2}}-a$。$b$是ぜ一いち个比$a$小しょう的てき正せい整数せいすう，但ただし$\ b{\sqrt {2}}=2a-a{\sqrt {2}}$也是整数せいすう。这与$a$的てき最小さいしょう性せい矛盾むじゅん。所以ゆえん根号こんごう2不ふ是ぜ有理数ゆうりすう。

數學すうがく歸納きのう法ほう

骨牌こっぱい一いち个接一いち个倒下か，就如同どう一个值到下一个值的过程。

數學すうがく歸納きのう法ほう是ぜ一いち種しゅ证明可か數すう無窮むきゅう個こ命題めいだい的てき技巧ぎこう。欲よく證明しょうめい以自然しぜん數すう$n$編へん號ごう的てき一いち串くし命題めいだい，先さき證明しょうめい命題めいだい1成立せいりつ，並なみ證明しょうめい當とう命題めいだい$n$成立せいりつ時じ命題めいだい$n+1$也成立せいりつ，则对所有しょゆう的てき命題めいだい都と成立せいりつ。在ざい皮かわ亚诺公理こうり系けい统中，自然しぜん数すう集合しゅうごう的てき公理こうり化か定てい义就包括ほうかつ了りょう数学すうがく归纳法ほう。数学すうがく归纳法ほう有ゆう不ふ少しょう变体，比ひ如从0以外いがい的てき自然しぜん数すう开始归纳，证明当とう命題めいだい对小于等于n的てき自然しぜん数すう成立せいりつ时命題めいだい$n+1$也成立せいりつ，反はん向こう归纳法ほう，递降归纳法ほう等とう等とう。广义上じょう的てき数学すうがく归纳法ほう也可以用于证明あかり一般いっぱん良基よしもと结构，例れい如集合しゅうごう论中なか的てき树。另外，超ちょう限きり歸納きのう法ほう提供ていきょう了りょう一いち種しゅ處理しょり不可ふか數すう無窮むきゅう個こ命題めいだい的てき技巧ぎこう，是ぜ數學すうがく歸納きのう法ほう的てき推廣。

例れい子こ：證明しょうめい对所有しょゆう自然しぜん数すう$n$，命いのち题$P(n):\;\;1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

當とう$n=1$，左邊さへん=1，右邊うへん=$P(1):\;\;{\frac {1(1+1)(2+1)}{6}}=1$

假設かせつ对某个自然しぜん数すう$k$，命いのち题$P(k)$成立せいりつ：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}$，以下いか證明しょうめい$P(k+1)$成立せいりつ，即そく：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$：

左邊さへん$=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}$

$={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}$

$={\frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6)}{6}}$

$={\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$

$=$右邊うへん

所以ゆえん，对任意にんい自然しぜん数すう$n$，都みやこ有ゆう$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

其他证明方式ほうしき

直ちょく观证明あきら

主しゅ条目じょうもく：无字证明

勾股定理ていり的てき一个图示证明

直ちょく观证明あきら或ある可か视化证明是ぜ指ゆび用よう图像或ある表ひょう格かく等とう直ちょく观的手段しゅだん证明命いのち题的方法ほうほう。这类证明可か以达到いた不ふ借か助じょ语言而证明あかり的てき效果こうか。如右图是勾股定理ていり的てき一个图示证明。

计算机つくえ辅助证明

主しゅ条目じょうもく：電腦でんのう協きょう助じょ證明しょうめい

電腦でんのう協きょう助じょ證明しょうめい是ぜ二に十じゅう世紀せいき出現しゅつげん的てき證明しょうめい方式ほうしき。直ちょく到いた二に十じゅう世せい纪中，人にん们一直认为任何的数学证明都应当能够被一个水平足够的数学すうがく家か检验，以证实其正せい确性。然しか而，今こん天てん的てき数学すうがく家か已やめ经能够运用よう计算机つくえ来らい证明定理ていり，并且完成かんせい人じん类難以做到的てき计算。1976年ねん四よん色しょく定理ていり的てき证明是ぜ计算机つくえ辅助证明的てき经典例れい子こ。证明的てき方法ほうほう是ぜ将しょう地ち图上的てき无限种可能かのう情じょう况减少しょう为1936种状态，并由计算机つくえ对每个可能かのう的てき情じょう况进行ぎょう验证。有ゆう不ふ少数しょうすう学がく家か对于计算机つくえ证明持じ谨慎态度，因いん为很多た证明太めんたい长，不能ふのう由よし人手ひとで直接ちょくせつ验证。此外，算法さんぽう上うえ的てき错误，输入时的失しつ误甚至いたり计算机つくえ运行期き间出现的错误都と有ゆう可能かのう导致错误的てき结果。

證明しょうめい的てき結尾けつび

主しゅ条目じょうもく：證明しょうめい完かん畢

有ゆう時じ在ざい證明しょうめい的てき結尾けつび會かい加か上じょうQ.E.D.三さん個こ字母じぼ，這是拉ひしげ丁ちょう文あやQuod Erat Demonstrandum的てき縮寫しゅくしゃ，意思いし是ぜ「證明しょうめい完かん畢」。現在げんざい的てき證明しょうめい完かん畢符號ごう，通常つうじょう是ぜ■（實じつ心しん黑色こくしょく正方形せいほうけい），稱しょう之の為ため「墓碑ぼひ」或ある「哈爾莫斯（Halmos symbol）」（因いん保ほ羅ら·哈爾莫斯最さい先さき採用さいよう此做法ほう）。墓碑ぼひ有ゆう時じ是ぜ空そら心しん的てき□。另一いち個こ簡單かんたん方法ほうほう是ぜ寫うつし「proven」、「shown」或ある「證あかし畢」之これ類るい的てき文字もじ。

參まいり見み

• 證明しょうめい論ろん
• 模型もけい論ろん
• 自動じどう定理ていり證明しょうめい
• 無效むこう證明しょうめい
• Q.E.D.
• 墓碑ぼひ符号ふごう

外部がいぶ連結れんけつ

• 證明しょうめい，曹亮吉きち （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）