垂直すいちょく

垂直すいちょく是ぜ一いち个几何术语。在ざい平面へいめん几何中なか，如果一いち条じょう直ちょく线与あずか另一条いちじょう直ただし线相あい交，且它们构成なり的てき任意にんい相しょう邻两个角かく相等そうとう，那な么这两条直ちょく线相互そうご垂直すいちょく。术语“垂直すいちょく”（符號ふごう：⊥）衍生一いち个形容けいよう词（垂直すいちょく）或ある者もの名めい词（垂たれ线）。因よし此，根ね据すえ圖ず一いち，直ちょく线AB通どおり过B点てん与あずか直ちょく线CD相互そうご垂直すいちょく。像ぞう图一这样，如果一条直线与另一条直线垂直，那な么它们构成なり的てき两个角かく称しょう为直角ちょっかく，或ある者もの90°角かく。

垂たれ足あし指ゆび两条互相垂直すいちょく的てき线相交的点てん。

垂直すいちょく的てき概念がいねん对线段和わ射しゃ线也通用つうよう，只ただ需看一者所在的直线是否与另一者所在的直线垂直就可以了。如图一いち中ちゅう，线段AB和わ线段CD相互そうご垂直すいちょく。甚至线段AB的てき一端不一定要在线段CD上じょう（即そく可か定てい向むかい伸しん缩），它们仍被认为是ぜ垂直すいちょく的てき。

空そら间几何なん中ちゅう，有ゆう直ちょく线与直ちょく线、直ちょく线与平面へいめん、平面へいめん与平よへい面めん之の间的垂直すいちょく关系。垂直すいちょく可か以看做是欧おう几里得とく空そら间（或ある内うち积空间）中ちゅう的てき正せい交关系在ざい二に维和三さん维空间中なか的てき特例とくれい。

解析かいせき几何中ちゅう的てき垂直すいちょく

在ざい笛ふえ卡儿坐标系中なか，两条被ひ如下等式とうしき所しょ表示ひょうじ的てき直ちょく线 $L$ 和わ $M$

({\mathcal {D}}_{1}):y=ax+b

({\mathcal {D}}_{2}):y=cx+d

那な么垂直すいちょく的てき情じょう况有两种：

只ただ要よう没ぼつ有ゆう一いち条じょう是ぜ竖直（斜はす率りつ=∞）的てき，那な么 $a$ 和わ $c$ 就是这两条じょう直ちょく线的斜はす率りつ。当とう且仅当とう直ちょく线 $({\mathcal {D}}_{1})$ 和わ $({\mathcal {D}}_{2})$ 的てき斜はす率りつ的てき积为-1时，即そく $ac=-1$ 时，这两条じょう直ちょく线在这个平面へいめん垂直すいちょく。
除じょ此之外がい，若わか有ゆう一条直线是竖直的，那な么另一条直线与它垂直当且仅当其斜率为0。

如果两条直ちょく线的表ひょう达式为：

({\mathcal {D}}_{1}):a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0

({\mathcal {D}}_{2}):a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0

那な么只有ゆう一いち种情况：两条直ちょく线在这个平面へいめん相互そうご垂直すいちょく当とう且仅当とう $a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$

假かり如用 $V_{1}=(a_{1},b_{1})$ 和わ $V_{2}=(a_{2},b_{2})$ 来らい表示ひょうじ两条直ちょく线的方向ほうこう向むかい量りょう，那な么上面めん垂直すいちょく的てき充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん就是两个方向ほうこう向むこう量りょう正せい交的てき充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん。这说明あきら了りょう垂直すいちょく实际上じょう是正ぜせい交关系けい（在ざい二维和三维空间）的てき一いち个特例れい。

空そら间几何なん中ちゅう的てき垂直すいちょく

三维空间中不仅有直线与直线的垂直，也有やゆう直ちょく线与平面へいめん、平面へいめん与平よへい面めん的てき垂直すいちょく。

直ちょく线与直ちょく线的垂直すいちょく：在ざい三さん维空间中，判断はんだん两条直ちょく线之间的垂直すいちょく关系比ひ在ざい平面へいめん上じょう要よう困こま难。过其中ちゅう一条直线作平行于另一条直线的平面，将はた另一条直线投影到这个平面上。如果这个投影とうえい与あずか第だい一条いちじょう直ただし线垂直すいちょく，那な么就说两条じょう直ちょく线垂直すいちょく。

直ちょく线与平面へいめん的てき垂直すいちょく：一条いちじょう直ただし线与一个平面垂直当且仅当它与平面中的每一条直线都垂直。一いち个等价的说法是ぜ两者垂直すいちょく当とう且仅当直とうちょく线平行へいこう于平面めん的てき法ほう向むこう量りょう。

平面へいめん与平よへい面めん的てき垂直すいちょく：两个平面へいめん相互そうご垂直すいちょく当とう且仅当とう它们的てき法ほう向むこう量りょう相互そうご垂直すいちょく。一个更几何的方法是看两个平面的交线（如果没ぼつ有ゆう说明两平面めん平行へいこう）。选择一いち个平面めん，过两平面へいめん交线上じょう的てき一点作一条垂直于交线并在平面中的直线，如果这条直ちょく线与另一个平面めん垂直すいちょく，那な么两平面へいめん垂直すいちょく。

垂たれ线的作さく图

用よう尺せき规作さく一いち条じょう过点P与あずか直ちょく线AB相互そうご垂直すいちょく的てき直ちょく线，过程如下（见圖二に）：

步ふ骤一（红色）：以点P为圆心しん作さく一いち个圆交直线AB于点A'和わB'，点てんA'和わB'与あずか点てんP等とう距。
步ふ骤二（绿色）：以点A'和わB'为圆心しん，以PA'和わPB'为半径はんけい作さく圆。令れい两圆的てき另一交点こうてん为Q。
步ふ骤三（蓝色）：连接PQ以作出所しゅっしょ求もとめ垂たれ线。

为证明あきら直ちょく线PQ与あずか直ちょく线AB垂直すいちょく，使用しよう三角形さんかっけいSSS全ぜん等とう定理ていり证明三角形さんかっけいQPA'和かずQPB'全ぜん等とう以求得とく三角形さんかっけいOPA'和かずOPB'也全等とう。然しか后きさき使用しよう三角形さんかっけいSAS全ぜん等とう定理ていり证明角かくPOA和わPOB相等そうとう。

参看さんかん

参考さんこう来らい源げん

R.A.约翰逊著ちょ，单壿译. 近代きんだい欧おう氏し几何学がく. 上海しゃんはい教育きょういく出版しゅっぱん社しゃ. 1999. ISBN 9787532063925.
盛もり为民. 解析かいせき几何学がく. 浙江せっこう大学だいがく出版しゅっぱん社しゃ. 2008. ISBN 9787308061490.